1.6 Rasjonale uttrykk

Brøker med bokstaver i

Tenk deg at du deler en pizza med en venn. Dere kutter den i $x$ stykker og tar $2$ hver. Da har dere spist $\displaystyle \frac{2}{x}$ av pizzaen hver. Plutselig er du midt i et rasjonalt uttrykk – en brøk der bokstaver dukker opp i teller, nevner, eller begge deler.

I dette kapittelet skal vi lære å mestre slike brøker. Vi starter med å forkorte dem, akkurat som du forkorter $\displaystyle \frac{6}{9}$ til $\displaystyle \frac{2}{3}$. Deretter ser vi på multiplikasjon og divisjon, før vi takler den virkelige utfordringen: å trekke sammen brøker med ulik nevner. Alt bygger på én grunnidé: finn fellesfaktorene og bruk dem til din fordel.

Å forkorte algebraiske brøker

Når du forkorter en vanlig brøk som $\displaystyle \frac{12}{18}$, leter du etter en felles faktor i teller og nevner. Begge er delelige med $6$, så $\displaystyle \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. Med algebraiske brøker er prinsippet nøyaktig det samme – du må bare faktorisere først.

La oss starte enkelt. Hva blir $\displaystyle \frac{2x}{3x}$? Både teller og nevner inneholder faktoren $x$. Vi stryker den: $\displaystyle \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$. Legg merke til at vi bare kan stryke faktorer, aldri ledd som er koblet med pluss eller minus.

Hva med $\displaystyle \frac{3x - 6}{6}$? Her kan vi faktorisere telleren: $3x - 6 = 3(x - 2)$. Nå ser brøken slik ut: $\displaystyle \frac{3(x - 2)}{6}$. Både $3$ i telleren og $6$ i nevneren deler på $3$, så vi får $\displaystyle \frac{x - 2}{2}$.

Nå et steg vanskeligere. Hva med $\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$? Her må vi faktorisere begge deler. Telleren er et andregradsuttrykk: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Nevneren er en konjugatsetning: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Begge inneholder faktoren $(x - 2)$, som vi stryker: $\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x - 3}{x + 2}$.

Hovedregelen er alltid den samme: faktoriser teller og nevner, og stryk felles faktorer. Du kan aldri stryke et enkeltledd som bare er en del av en sum – du må finne hele faktoren først. Uttrykket $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ forkortes ved å skrive telleren som $(x-3)(x+3)$, og da forsvinner $(x+3)$: svaret er $x - 3$.

Multiplikasjon og divisjon av algebraiske brøker

Når du ganger vanlige brøker, ganger du teller med teller og nevner med nevner: $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$. Algebraiske brøker følger akkurat samme regel – men her lønner det seg å faktorisere og forkorte før du ganger, slik at du slipper å jobbe med store uttrykk.

Ta for eksempel $\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x}$. Før vi ganger, faktoriserer vi nevneren i den første brøken: $2x + 8 = 2(x + 4)$. Nå ser uttrykket slik ut: $\displaystyle \frac{x}{2(x+4)} \cdot \frac{x+4}{3x}$. Vi ser at $(x + 4)$ finnes i både teller og nevner, og det gjør $x$ også. Stryk begge: $\displaystyle \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

Et annet eksempel: $\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27}$. Vi skriver $3x^2$ som $\displaystyle \frac{3x^2}{1}$ og faktoriserer nevneren: $3x^2 - 27 = 3(x^2 - 9) = 3(x+3)(x-3)$. Brøken blir $\displaystyle \frac{3x^2 \cdot (x+3)}{3(x+3)(x-3)}$. Vi stryker $3$ og $(x+3)$: $\displaystyle \frac{x^2}{x - 3}$.

Hva med divisjon? Regelen du kjenner fra vanlige brøker gjelder fortsatt: å dele med en brøk er det samme som å gange med den omvendte. $\displaystyle \frac{x}{2} \div \frac{2x}{3} = \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2x} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$.

La oss ta et vanskeligere eksempel: $\displaystyle \frac{x + 9}{2x} \div \frac{x^2 - 81}{2x + 8}$. Vi snur den andre brøken og ganger: $\displaystyle \frac{x+9}{2x} \cdot \frac{2x+8}{x^2 - 81}$. Faktoriser: $2x + 8 = 2(x+4)$ og $x^2 - 81 = (x-9)(x+9)$. Nå stryker vi $(x+9)$ og $2$: $\displaystyle \frac{x + 4}{x(x - 9)}$. Hemmeligheten er altså å alltid faktorisere og forkorte før du regner ut produktet.

Å trekke sammen brøker med lik nevner

Nå skal vi legge sammen og trekke fra algebraiske brøker. Vi begynner med det enkleste tilfellet: brøker som allerede har lik nevner. Da legger vi bare sammen tellerne og beholder nevneren, akkurat som med vanlige brøker.

For eksempel: $\displaystyle \frac{2x}{4} + \frac{3x}{4} = \frac{2x + 3x}{4} = \frac{5x}{4}$. Enkelt nok. Men det finnes en felle du må passe deg for: når du trekker fra en brøk, må du huske å sette parentes rundt hele telleren du trekker fra.

Se på dette eksempelet: $\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x}$. Nevnerne er like, så vi skriver: $\displaystyle \frac{9x + 3y - (x - 3y)}{4x}$. Parentesen er avgjørende! Uten den ville vi fått feil fortegn. Nå løser vi opp: $\displaystyle \frac{9x + 3y - x + 3y}{4x} = \frac{8x + 6y}{4x}$. Kan vi forkorte? Ja: $\displaystyle \frac{8x + 6y}{4x} = \frac{2(4x + 3y)}{2 \cdot 2x} = \frac{4x + 3y}{2x}$.

Et annet eksempel: $\displaystyle \frac{x + 6}{2x + 1} - \frac{3x - 4}{2x + 1}$. Lik nevner, så vi skriver: $\displaystyle \frac{(x + 6) - (3x - 4)}{2x + 1} = \frac{x + 6 - 3x + 4}{2x + 1} = \frac{-2x + 10}{2x + 1}$.

Hva med tre brøker? Samme prinsipp: $\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{2x}{3} - \frac{3 - 6x}{3} = \frac{x + 2x - (3 - 6x)}{3} = \frac{x + 2x - 3 + 6x}{3} = \frac{9x - 3}{3} = \frac{3(3x - 1)}{3} = 3x - 1$. Her kunne vi til og med forkorte helt bort nevneren. Den viktigste lærdommen er: sett alltid parentes når du trekker fra en brøk, og vær nøye med fortegnene når du løser opp.

Fellesnevner og utviding

Hva gjør du når brøkene har ulik nevner? Da trenger du en fellesnevner – et uttrykk som begge nevnerne går opp i. Prinsippet er det samme som med tall: for å legge sammen $\displaystyle \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \frac{1}{3}$ trenger du fellesnevneren $6$, og da utvider du $\displaystyle \frac{1}{2}$ til $\displaystyle \frac{3}{6}$ og $\displaystyle \frac{1}{3}$ til $\displaystyle \frac{2}{6}$.

La oss ta $\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2}$. Nevnerne er $2y$ og $2$. Fellesnevneren er $2y$, fordi $2y$ allerede inneholder $2$. Vi trenger bare å utvide den andre brøken med $y$: $\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3y}{2y} = \frac{5x + 3y}{2y}$.

Et litt mer komplisert eksempel: $\displaystyle \frac{3}{2} + \frac{1}{2x}$. Fellesnevneren er $2x$. Vi utvider den første brøken med $x$: $\displaystyle \frac{3x}{2x} + \frac{1}{2x} = \frac{3x + 1}{2x}$.

Men hva med utviding til en spesifikk nevner? Tenk deg at du skal skrive $\displaystyle \frac{3}{x - 2}$ med nevneren $x^2 - 4$. Vi vet at $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, så vi må gange teller og nevner med $(x + 2)$: $\displaystyle \frac{3}{x-2} = \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x + 6}{x^2 - 4}$. Denne teknikken er helt sentral for å trekke sammen brøker der nevnerne inneholder polynomer.

Hva med enda større uttrykk? Ta $\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - 2$. Fellesnevneren for $3xy$, $2y$ og $1$ er $6xy$. Vi utvider hver brøk: $\displaystyle \frac{8}{6xy} + \frac{9x^2}{6xy} - \frac{12xy}{6xy} = \frac{9x^2 - 12xy + 8}{6xy}$. Det ser kanskje overveldende ut, men teknikken er alltid den samme: finn fellesnevneren, utvid hver brøk, og trekk sammen tellerne.

Brøker med polynomer i nevneren

Det siste og mest krevende steget er å trekke sammen brøker der nevnerne selv er polynomer som må faktoriseres for å finne fellesnevneren.

La oss starte med $\displaystyle \frac{4}{x + 2} - 2$. Vi skriver $2$ som $\displaystyle \frac{2}{1}$ og bruker fellesnevneren $(x + 2)$: $\displaystyle \frac{4}{x+2} - \frac{2(x+2)}{x+2} = \frac{4 - (2x + 4)}{x+2} = \frac{4 - 2x - 4}{x+2} = \frac{-2x}{x+2}$. Igjen ser vi hvor viktig parentesen er: uten den hadde vi fått feil fortegn på $4$-leddet.

Hva med to brøker der begge har polynomer i nevneren? Ta $\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4}$. Her er fellesnevneren $(x-4)(x+4)$, som også kan skrives som $x^2 - 16$. Vi utvider: $\displaystyle \frac{2(x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{1(x-4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{2x + 8 - (x - 4)}{x^2 - 16} = \frac{2x + 8 - x + 4}{x^2 - 16} = \frac{x + 12}{x^2 - 16}$.

Noen ganger må du faktorisere en nevner for å oppdage at den inneholder en annen nevner som faktor. For eksempel: $\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2x + 6}$. Faktoriser den andre nevneren: $2x + 6 = 2(x + 3)$. Nå ser vi at fellesnevneren er $2(x+3)$. Vi utvider bare den første brøken: $\displaystyle \frac{4}{2(x+3)} - \frac{1}{2(x+3)} = \frac{3}{2(x+3)}$.

Det finnes også tilfeller der du kan forkorte før du trekker sammen. Ta $\displaystyle 3 - \frac{x + 2}{x^2 + 2x}$. Faktoriser nevneren: $x^2 + 2x = x(x + 2)$. Da kan vi forkorte selve brøken: $\displaystyle \frac{x+2}{x(x+2)} = \frac{1}{x}$. Nå er oppgaven blitt $\displaystyle 3 - \frac{1}{x} = \frac{3x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{3x - 1}{x}$. Så hold øynene åpne for forenklingsmuligheter i hvert steg!

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært å mestre brøker med algebraiske uttrykk gjennom fire viktige teknikker.

Forkorting er det første steget i nesten alle oppgaver. Du faktoriserer teller og nevner, og stryker felles faktorer. Husk at du bare kan stryke faktorer, aldri enkeltledd som er koblet med pluss eller minus. For eksempel blir $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x - 2$.

Multiplikasjon og divisjon er ofte overraskende greie. Ved multiplikasjon ganger du teller med teller og nevner med nevner, men det lønner seg å faktorisere og forkorte først. Ved divisjon snur du den andre brøken og ganger i stedet.

Sammentrekning med lik nevner krever bare at du legger sammen eller trekker fra tellerne. Det kritiske poenget er å sette parentes rundt telleren du trekker fra, slik at fortegnene blir riktige.

Sammentrekning med ulik nevner er den mest krevende teknikken. Du må finne fellesnevneren, utvide hver brøk slik at alle får samme nevner, og deretter trekke sammen tellerne. Når nevnerne inneholder polynomer, faktoriser dem først – det gjør det mye lettere å finne fellesnevneren. Og sjekk alltid om du kan forkorte til slutt.