• Lærebøker
  • Python
  • GeoGebra
  • Hoderegning
  • Test deg selv

Søk i Skolesaga

Søk etter lærebøker, kapitler, trinn og verktøy

Gratis interaktive lærebøker for norsk skole.

Lærebok
PersonvernVilkår

© 2025 Skolesaga · Alle rettigheter forbeholdt

Deler av innholdet er utviklet med hjelp av AI-verktøy

Matematikk 1TTilbake
1.7 Mengdelære
Mengdelære

1.7 Mengdelære

Alle fag for VG1

Lær om mengdenotasjon, tallmengder, intervaller og absoluttverdi.

60 min
13 oppgaver
TallmengderIntervallerUnionSnittDifferanseAbsoluttverdi
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 13 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Brukes videre i
2.11Polynomdivisjon i GeoGebra

Mengdelære

I matematikk bruker vi mengder til å beskrive samlinger av objekter. En mengde kan inneholde tall, punkter, eller andre matematiske objekter. Vi bruker spesielle symboler for å beskrive mengder og operasjoner på dem.

Video: Mengdelære, tegn og intervaller

En introduksjon til mengdenotasjon og intervaller.

Åpne i YouTube →

Tallmengder

Vi har fire viktige tallmengder som du må kjenne til:

Video: Tallmengder

Om de ulike tallmengdene ℕ, ℤ, ℚ og ℝ.

Åpne i YouTube →
Naturlige tall (ℕ)
N={1,2,3,4,5,...}\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}N={1,2,3,4,5,...}

De naturlige tallene er de positive heltallene vi bruker til å telle med.

Heltall (ℤ)
Z={...,−2,−1,0,1,2,...}\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}Z={...,−2,−1,0,1,2,...}

Heltallene inkluderer alle naturlige tall, null, og de negative heltallene.

Rasjonale tall (ℚ)
Q={ab∣a∈Z,b∈N}\displaystyle \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \right\}Q={ba​∣a∈Z,b∈N}

Rasjonale tall er alle tall som kan skrives som en brøk med heltall i telleren og et naturlig tall i nevneren.

Eksempler: 12\displaystyle \frac{1}{2}21​, −34\displaystyle -\frac{3}{4}−43​, 0,75=34\displaystyle 0{,}75 = \frac{3}{4}0,75=43​, 5=51\displaystyle 5 = \frac{5}{1}5=15​

Reelle tall (ℝ)
R\mathbb{R}R = Alle tall på tallinja

De reelle tallene inkluderer alle rasjonale tall pluss de irrasjonale tallene — tall som ikke kan skrives som brøk.

Irrasjonale tall: 2\sqrt{2}2​, π\piπ, eee — disse har uendelig mange desimaler uten gjentakende mønster.

Sammenheng mellom tallmengdene:

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}N⊂Z⊂Q⊂R

Alle naturlige tall er heltall, alle heltall er rasjonale, og alle rasjonale tall er reelle.

Viktige symboler

Her er de viktigste symbolene du må kunne:

SymbolBetydning
∈\in∈er element i / tilhører
∉\notin∈/er ikke element i
⊂\subset⊂er en delmengde av
∪\cup∪union (eller)
∩\cap∩snitt (og)
∖\setminus∖unntatt / differanse
∅\emptyset∅den tomme mengden
✏️Eksempel: Bruk av symboler

Avgjør om følgende utsagn er sanne eller usanne:

a) 5∈N5 \in \mathbb{N}5∈N
b) −3∈N-3 \in \mathbb{N}−3∈N
c) 12∈Z\displaystyle \frac{1}{2} \in \mathbb{Z}21​∈Z
d) 2∈Q\sqrt{2} \in \mathbb{Q}2​∈Q
e) π∈R\pi \in \mathbb{R}π∈R

Løsning:

a) 5∈N5 \in \mathbb{N}5∈N er sant — 5 er et naturlig tall.

b) −3∈N-3 \in \mathbb{N}−3∈N er usant — negative tall er ikke naturlige tall.

c) 12∈Z\displaystyle \frac{1}{2} \in \mathbb{Z}21​∈Z er usant — heltall kan ikke ha desimaler.

d) 2∈Q\sqrt{2} \in \mathbb{Q}2​∈Q er usant — 2\sqrt{2}2​ er irrasjonalt og kan ikke skrives som brøk.

e) π∈R\pi \in \mathbb{R}π∈R er sant — π\piπ er et reelt tall (selv om det er irrasjonalt).

Intervaller

Et intervall er en sammenhengende del av tallinja. Vi bruker parenteser og klammer for å angi om endepunktene er med eller ikke:

NotasjonBetydningUlikhet
⟨a,b⟩\langle a, b \rangle⟨a,b⟩fra aaa til bbb (begge unntatt)a<x<ba < x < ba<x<b
[a,b][a, b][a,b]fra og med aaa til og med bbba≤x≤ba \leq x \leq ba≤x≤b
[a,b⟩[a, b\rangle[a,b⟩fra og med aaa til bbba≤x<ba \leq x < ba≤x<b
⟨a,b]\langle a, b]⟨a,b]fra aaa til og med bbba<x≤ba < x \leq ba<x≤b
⟨a,→⟩\langle a, \rightarrow \rangle⟨a,→⟩alle tall større enn aaax>ax > ax>a
⟨←,b]\langle \leftarrow, b]⟨←,b]alle tall til og med bbbx≤bx \leq bx≤b

Merk: ⟨\langle⟨ og ⟩\rangle⟩ kan også skrives som ((( og ))).
Huskeregel for parenteser:
- Klammer [[[ eller ]]] betyr med (inkluderer endepunktet)
- Parenteser ⟨\langle⟨ eller ⟩\rangle⟩ betyr uten (ekskluderer endepunktet)

Ved uendelig (∞\infty∞ eller −∞-\infty−∞) bruker vi alltid parenteser, fordi uendelig ikke er et tall vi kan inkludere.

✏️Eksempel: Intervaller

Skriv følgende mengder med intervallnotasjon:

a) Alle tall fra 2 til 7 (begge inkludert)
b) Alle tall større enn 5
c) Alle tall fra og med −3-3−3 til 444 (uten 4)
d) Alle tall mindre enn eller lik 10

Løsning:

a) [2,7][2, 7][2,7] — klammer på begge sider fordi begge er inkludert.

b) ⟨5,→⟩\langle 5, \rightarrow \rangle⟨5,→⟩ eller ⟨5,∞⟩\langle 5, \infty \rangle⟨5,∞⟩ — parenteser fordi 5 ikke er med.

c) [−3,4⟩[-3, 4\rangle[−3,4⟩ — klammer til venstre (med −3-3−3), parenteser til høyre (uten 4).

d) ⟨←,10]\langle \leftarrow, 10]⟨←,10] eller ⟨−∞,10]\langle -\infty, 10]⟨−∞,10] — klammer til høyre fordi 10 er med.

📝Oppgave 1

Avgjør hvilken tallmengde hvert tall hører til. Bruk den minste mengden som passer.

a
777
b
−4-4−4
c
23\displaystyle \frac{2}{3}32​
d
9\sqrt{9}9​
e
5\sqrt{5}5​
f
000
📝Oppgave 2

Skriv følgende intervaller med intervallnotasjon:

a

Alle tall fra 1 til 5 (begge inkludert)

b

Alle tall større enn 3

c

Alle tall fra −2-2−2 til 444 (uten endepunktene)

d

Alle tall mindre enn eller lik −1-1−1

Union og snitt

Når vi kombinerer mengder, bruker vi union og snitt:

Union (∪)
A∪BA \cup BA∪B = alle elementer som er i AAA eller i BBB (eller begge).

Eksempel: [1,3]∪[5,7]={x∣1≤x≤3 eller 5≤x≤7}[1, 3] \cup [5, 7] = \{x \mid 1 \leq x \leq 3 \text{ eller } 5 \leq x \leq 7\}[1,3]∪[5,7]={x∣1≤x≤3 eller 5≤x≤7}

Snitt (∩)
A∩BA \cap BA∩B = alle elementer som er i AAA og i BBB (felles elementer).

Eksempel: [1,5]∩[3,7]=[3,5][1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5][1,5]∩[3,7]=[3,5]

✏️Eksempel: Union og snitt

La A=[2,6]A = [2, 6]A=[2,6] og B=[4,9]B = [4, 9]B=[4,9].

Finn:
a) A∪BA \cup BA∪B
b) A∩BA \cap BA∩B

Løsning:

a) A∪B=[2,9]A \cup B = [2, 9]A∪B=[2,9]

Unionen er alle tall som er i minst én av mengdene. Siden AAA dekker fra 2 til 6 og BBB dekker fra 4 til 9, blir unionen fra 2 til 9.

b) A∩B=[4,6]A \cap B = [4, 6]A∩B=[4,6]

Snittet er alle tall som er i begge mengder. Begge mengder inneholder tallene fra 4 til 6.

📝Oppgave 3

La A=[1,5]A = [1, 5]A=[1,5] og B=[3,8]B = [3, 8]B=[3,8]. Finn:

a
A∪BA \cup BA∪B
b
A∩BA \cap BA∩B
📝Oppgave 4

La A=⟨−∞,3]A = \langle -\infty, 3]A=⟨−∞,3] og B=⟨1,∞⟩B = \langle 1, \infty \rangleB=⟨1,∞⟩. Finn:

a
A∪BA \cup BA∪B
b
A∩BA \cap BA∩B

Absoluttverdi

Absoluttverdien til et tall er avstanden fra tallet til 0 på tallinja. Absoluttverdien er alltid positiv (eller null).

Video: Absoluttverdi

Om absoluttverdi og hvordan vi regner med det.

Åpne i YouTube →
Absoluttverdi
For et tall a>0a > 0a>0:
- ∣a∣=a|a| = a∣a∣=a
- ∣−a∣=a|-a| = a∣−a∣=a

Formelt:
∣x∣={xhvis x≥0−xhvis x<0|x| = \begin{cases} x & \text{hvis } x \geq 0 \\ -x & \text{hvis } x < 0 \end{cases}∣x∣={x−x​hvis x≥0hvis x<0​

✏️Eksempel: Absoluttverdi

Regn ut:

a) ∣5∣|5|∣5∣
b) ∣−7∣|-7|∣−7∣
c) ∣3−8∣|3 - 8|∣3−8∣
d) ∣−2∣+∣4∣|-2| + |4|∣−2∣+∣4∣

Løsning:

a) ∣5∣=5|5| = 5∣5∣=5

b) ∣−7∣=7|-7| = 7∣−7∣=7

c) ∣3−8∣=∣−5∣=5|3 - 8| = |-5| = 5∣3−8∣=∣−5∣=5

d) ∣−2∣+∣4∣=2+4=6|-2| + |4| = 2 + 4 = 6∣−2∣+∣4∣=2+4=6

📝Oppgave 5

Regn ut:

a
∣9∣|9|∣9∣
b
∣−12∣|-12|∣−12∣
c
∣4−10∣|4 - 10|∣4−10∣
d
∣−3∣⋅∣2∣|-3| \cdot |2|∣−3∣⋅∣2∣
e
∣5−8∣+∣−2∣|5 - 8| + |-2|∣5−8∣+∣−2∣

Skrive mengder med klammer

Vi kan skrive mengder på to måter:

1. Liste opp elementene:
{1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}{1,2,3,4,5}

2. Beskriv egenskapene (mengdebyggernotasjon):
{x∈Z∣x>0 og x≤5}\{x \in \mathbb{Z} \mid x > 0 \text{ og } x \leq 5\}{x∈Z∣x>0 og x≤5}

Her betyr ∣\mid∣ «slik at».

📝Oppgave 6

Skriv mengdene med mengdebyggernotasjon:

a
{2,4,6,8,10}\{2, 4, 6, 8, 10\}{2,4,6,8,10}
b
{1,4,9,16,25}\{1, 4, 9, 16, 25\}{1,4,9,16,25}
📝Oppgave 7

Regn ut:

a
∣7−15∣|7 - 15|∣7−15∣
b
∣−4∣−∣−6∣|{-4}| - |{-6}|∣−4∣−∣−6∣
c
∣3−9∣+∣9−3∣|3 - 9| + |9 - 3|∣3−9∣+∣9−3∣
d
∣−12∣∣4∣\displaystyle \frac{|{-12}|}{|4|}∣4∣∣−12∣​
e
∣2−5∣⋅∣−3∣|2 - 5| \cdot |{-3}|∣2−5∣⋅∣−3∣
f
∣∣−7∣−∣3∣∣||{-7}| - |3||∣∣−7∣−∣3∣∣

Differanse av mengder

Differansen A∖BA \setminus BA∖B («A minus B») er alle elementer som er i AAA men ikke i BBB.

Eksempel: Hvis A=[1,7]A = [1, 7]A=[1,7] og B=[4,10]B = [4, 10]B=[4,10], så er A∖B=[1,4⟩A \setminus B = [1, 4\rangleA∖B=[1,4⟩

📝Oppgave 8

La A=[2,8]A = [2, 8]A=[2,8] og B=[5,12]B = [5, 12]B=[5,12]. Finn:

a
A∪BA \cup BA∪B
b
A∩BA \cap BA∩B
c
A∖BA \setminus BA∖B
d
B∖AB \setminus AB∖A
📝Oppgave 9

La A=⟨−3,2]A = \langle -3, 2]A=⟨−3,2] og B=[0,5⟩B = [0, 5\rangleB=[0,5⟩. Finn:

a
A∪BA \cup BA∪B
b
A∩BA \cap BA∩B
c
A∖BA \setminus BA∖B
📝Oppgave 10

Avgjør om utsagnene er sanne eller usanne:

a
N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}N⊂Z
b
Q⊂N\mathbb{Q} \subset \mathbb{N}Q⊂N
c
4∈N\sqrt{4} \in \mathbb{N}4​∈N
d
3∈Q\sqrt{3} \in \mathbb{Q}3​∈Q
e
−52∈Z\displaystyle -\frac{5}{2} \in \mathbb{Z}−25​∈Z
f
0∈N0 \in \mathbb{N}0∈N
📝Oppgave 11

Forenkle uttrykkene når du vet at a>0a > 0a>0:

a
∣a∣|a|∣a∣
b
∣−a∣|{-a}|∣−a∣
c
∣a∣+∣−a∣|a| + |{-a}|∣a∣+∣−a∣
d
∣a−2a∣|a - 2a|∣a−2a∣
📝Oppgave 12

La A={x∈R∣∣x∣<3}A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| < 3\}A={x∈R∣∣x∣<3} og B={x∈R∣∣x−2∣<2}B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| < 2\}B={x∈R∣∣x−2∣<2}.

a

Skriv AAA som et intervall.

b

Skriv BBB som et intervall.

c

Finn A∩BA \cap BA∩B.

📝Oppgave 13

Avgjør om mengdene er disjunkte (har ingen felles elementer):

a
A=[1,3]A = [1, 3]A=[1,3] og B=[5,7]B = [5, 7]B=[5,7]
b
A=⟨−∞,2⟩A = \langle -\infty, 2 \rangleA=⟨−∞,2⟩ og B=[2,∞⟩B = [2, \infty \rangleB=[2,∞⟩
c
A=[0,4]A = [0, 4]A=[0,4] og B=[3,6]B = [3, 6]B=[3,6]
d
N\mathbb{N}N og {x∈Z∣x<0}\{x \in \mathbb{Z} \mid x < 0\}{x∈Z∣x<0}

Oppsummering

- Tallmengder: N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}N⊂Z⊂Q⊂R (naturlige tall ⊂\subset⊂ heltall ⊂\subset⊂ rasjonale tall ⊂\subset⊂ reelle tall)
- Symboler: ∈\in∈ (er element i), ∉\notin∈/ (er ikke element i), ⊂\subset⊂ (delmengde av), ∪\cup∪ (union), ∩\cap∩ (snitt), ∖\setminus∖ (differanse)
- Intervaller: [a,b][a, b][a,b] inkluderer endepunkter, ⟨a,b⟩\langle a, b \rangle⟨a,b⟩ ekskluderer endepunkter. Klammer [ ] betyr "med", parenteser ⟨ ⟩ betyr "uten"
- Union: A∪BA \cup BA∪B inneholder alle elementer i A eller B
- Snitt: A∩BA \cap BA∩B inneholder bare elementer som er i både A og B
- Absoluttverdi: ∣x∣|x|∣x∣ er avstanden fra 0, alltid positiv: ∣5∣=5|5| = 5∣5∣=5 og ∣−5∣=5|-5| = 5∣−5∣=5
- Mengdebyggernotasjon: {x∈Z∣x>0}\{x \in \mathbb{Z} \mid x > 0\}{x∈Z∣x>0} betyr "alle heltall xxx slik at x>0x > 0x>0"