2.10 Polynomdivisjon og likningsløsning

Å knekke polynomer i biter

Tenk deg at du har en tredjegradsligning som $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$. Du kan ikke bruke abc-formelen, for den gjelder bare andregradslikninger. Hva gjør du da?

Svaret er en elegant strategi i tre steg. Først finner du ett nullpunkt ved å prøve deg frem. Deretter bruker du polynomdivisjon til å dele polynomet på faktoren du fant, slik at du sitter igjen med et enklere polynom. Til slutt løser du det enklere polynomet med metodene du allerede kan.

Denne teknikken bygger på faktorteoremet: hvis $P(a) = 0$, altså at $a$ er et nullpunkt, så er $(x - a)$ en faktor i $P(x)$. Det betyr at $P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$ for et polynom $Q(x)$ av lavere grad. Og $Q(x)$ finner du ved polynomdivisjon.

Tredjegradslikninger -- steg for steg

La oss ta likningen $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ og jobbe oss gjennom den systematisk. Først trenger vi et nullpunkt. Et smart triks er å prøve divisorene av konstantleddet. Konstantleddet her er $-6$, og divisorene er $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Vi prøver $x = 1$: $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Bingo!

Nå vet vi at $(x - 1)$ er en faktor. Vi utfører polynomdivisjon: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$. Nå har vi redusert problemet til en andregradslikning: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Denne faktoriserer vi: $(x - 2)(x - 3) = 0$.

Den fullstendige faktoriseringen er altså $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$, og løsningene er $x = 1$, $x = 2$ og $x = 3$. Legg merke til det vakre: en tredjegradsligning kan ha opptil tre løsninger.

La oss prøve et til: $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$. Konstantleddet er 6. Vi prøver $x = -1$: $P(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$. Det fungerer! Polynomdivisjon gir $(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Løsningene er $x = -1$, $x = 2$ og $x = 3$.

Mønsteret er alltid det samme: finn ett nullpunkt, divider, og løs resten. Noen ganger er andregradslikningen du ender opp med enkel å faktorisere, andre ganger trenger du abc-formelen.

Hva skjer når kvotienten ikke lar seg faktorisere pent?

Ikke alle tredjegradslikninger har tre pene heltallsløsninger. Noen ganger faktoriserer du vekk ett nullpunkt og sitter igjen med en andregradslikning som har irrasjonale løsninger (med kvadratrøtter) eller til og med ingen reelle løsninger.

Ta for eksempel $x^3 - 8 = 0$. Her ser vi raskt at $x = 2$ er et nullpunkt, fordi $2^3 = 8$. Vi deler: $(x^3 - 8) : (x - 2) = x^2 + 2x + 4$. Nå prøver vi å løse $x^2 + 2x + 4 = 0$. Diskriminanten er $\Delta = 4 - 16 = -12$. Den er negativ! Det betyr at denne andregradslikningen ikke har noen reelle løsninger. Altså er $x = 2$ den eneste reelle løsningen av $x^3 - 8 = 0$.

Selv om det kan føles skuffende å "bare" finne en løsning, gir det faktisk god mening. Grafen til $y = x^3 - 8$ krysser $x$-aksen bare ett sted. De to andre løsningene eksisterer i det komplekse tallplanet, men det er stoff for senere kurs.

Et annet eksempel der du kan forenkle uten polynomdivisjon er $x^3 - 27 = 0$. Her er løsningen rett og slett $x = \sqrt[3]{27} = 3$. Og for $x^3 + 8 = 0$ får vi $x^3 = -8$, altså $x = \sqrt[3]{-8} = -2$. Kubikkrøtter av negative tall er gyldige, i motsetning til kvadratrøtter.

Denne typen likninger der polynomet har formen $x^3 - a = 0$ kalles kubiske likninger, og de har alltid nøyaktig en reell løsning: $x = \sqrt[3]{a}$.

Fjerdegradslikninger -- når du må dele to ganger

Hva gjør du med en fjerdegradsligning som $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$? Her finnes det to elegante tilnærminger.

Den første er substitusjon. Legg merke til at likningen bare inneholder $x^4$ og $x^2$, ingen $x^3$ eller $x$. Hvis vi setter $u = x^2$, blir likningen $u^2 - 5u + 4 = 0$. Dette er en vanlig andregradslikning! Vi faktoriserer: $(u - 1)(u - 4) = 0$, som gir $u = 1$ eller $u = 4$. Nå går vi tilbake: $x^2 = 1$ gir $x = \pm 1$, og $x^2 = 4$ gir $x = \pm 2$. Fire løsninger!

Den andre tilnærmingen er direkte faktorisering: $x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$. Samme resultat, men kanskje enda raskere.

Slike likninger der bare partallspotenser av $x$ opptrer kalles bikubiske (eller biquadratiske) likninger, og substitusjon er standardmetoden.

Men ikke alle fjerdegradslikninger er bikubiske. For en generell fjerdegradsligning som $x^4 + x^3 - 4x^2 - 4x = 0$ kan du noen ganger starte med å sette felles faktor utenfor. Her: $x(x^3 + x^2 - 4x - 4) = 0$. En løsning er umiddelbart $x = 0$. For den kubiske delen prøver du $x = -1$: $(-1)^3 + (-1)^2 - 4(-1) - 4 = -1 + 1 + 4 - 4 = 0$. Det fungerer! Polynomdivisjon gir $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. De fire løsningene er altså $x = 0$, $x = -1$, $x = 2$ og $x = -2$.

Hovedpoenget er at fjerdegradslikninger krever mer arbeid, men strategien er den samme: del problemet opp i mindre biter, steg for steg.

Å velge riktig strategi

Vi har nå sett flere metoder for å løse polynomlikninger, og det er verdt å stoppe opp og tenke over når du bruker hvilken.

For andregradslikninger ($ax^2 + bx + c = 0$) har du tre verktøy: faktorisering, fullstendig kvadrat og abc-formelen. Velg den som passer best for den konkrete oppgaven.

For tredjegradslikninger er strategien alltid den samme: finn ett nullpunkt ved å prøve divisorer av konstantleddet, bruk polynomdivisjon for å redusere til en andregradslikning, og løs den med en av de tre metodene over.

For fjerdegradslikninger har du to hovedvalg. Hvis likningen er biquadratisk (bare partallspotenser), bruk substitusjon $u = x^2$. Ellers, se om du kan sette felles faktor utenfor, eller finn et nullpunkt og bruk polynomdivisjon gjentatte ganger.

En ting til om å finne nullpunkter ved prøving: det er ikke tilfeldig gjetting. Start alltid med divisorene av konstantleddet. Ifølge den rasjonale-rot-teoremet, hvis polynomet har heltallskoeffisienter, er alle rasjonale nullpunkter av formen $\displaystyle \frac{p}{q}$ der $p$ er en divisor av konstantleddet og $q$ er en divisor av ledende koeffisient. For de fleste oppgavene du møter i 1T, er den ledende koeffisienten 1, så du prøver bare divisorene av konstantleddet: $\pm 1, \pm 2, \pm 3$ osv.

Et tips til slutt: doble nullpunkter finnes også. I likningen $x^4 - 4x^3 + 4x^2 = 0$ kan du sette $x^2$ utenfor: $x^2(x^2 - 4x + 4) = x^2(x - 2)^2 = 0$. Her er $x = 0$ et dobbelt nullpunkt og $x = 2$ et dobbelt nullpunkt.

Et komplett eksempel fra start til slutt

La oss avslutte med å jobbe gjennom et mer sammensatt eksempel for å se hele prosessen i aksjon. Vi skal løse $2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = 0$.

Konstantleddet er 6 og den ledende koeffisienten er 2. Mulige rasjonale nullpunkter er av formen $\displaystyle \frac{p}{q}$ der $p$ deler 6 og $q$ deler 2. Det gir kandidatene $\displaystyle \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$.

Vi prøver $x = 3$: $P(3) = 2 \cdot 27 - 3 \cdot 9 - 11 \cdot 3 + 6 = 54 - 27 - 33 + 6 = 0$. Fantastisk!

Polynomdivisjon: $(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6) : (x - 3) = 2x^2 + 3x - 2$. Nå løser vi $2x^2 + 3x - 2 = 0$. Vi kan faktorisere: $(2x - 1)(x + 2) = 0$, som gir $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ eller $x = -2$.

De tre løsningene er altså $x = 3$, $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ og $x = -2$. Legg merke til at $\displaystyle \frac{1}{2}$ er en brøk -- det skjer når den ledende koeffisienten ikke er 1.

Vi kan sjekke ved å sette inn: $\displaystyle P\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{8} - 3 \cdot \frac{1}{4} - 11 \cdot \frac{1}{2} + 6 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{11}{2} + 6 = \frac{1 - 3}{4} + \frac{-11 + 12}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$. Stemmer!

Hele prosessen kan oppsummeres i fire ord: prøv, del, løs, sjekk.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært en systematisk metode for å løse polynomlikninger av høyere grad enn andre. Nøkkelen er faktorteoremet: hvis $P(a) = 0$, så er $(x - a)$ en faktor i $P(x)$.

For tredjegradslikninger prøver du divisorer av konstantleddet for å finne et nullpunkt. Deretter utfører du polynomdivisjon for å redusere polynomet til en andregradslikning, som du løser med faktorisering, fullstendig kvadrat eller abc-formelen.

For fjerdegradslikninger har du to hovedstrategier. Er likningen biquadratisk (bare partallspotenser av $x$), bruker du substitusjon $u = x^2$ for å redusere til en andregradslikning. Ellers settes felles faktor utenfor, eller du finner nullpunkter og bruker polynomdivisjon gjentatte ganger til du kommer ned til andregradslikninger.

Spesialtilfellene $x^3 = a$ og $x^4 = a$ løses direkte med $x = \sqrt[3]{a}$ og $x = \pm \sqrt[4]{a}$. Husk at en tredjegradsligning har opptil tre reelle løsninger, mens en fjerdegradsligning kan ha opptil fire. Noen av disse kan være doble nullpunkter. Og noen ganger gir andregradslikningen du ender opp med negativ diskriminant, noe som betyr at det ikke finnes flere reelle løsninger.