• Lærebøker
  • Python
  • GeoGebra
  • Hoderegning
  • Test deg selv

Søk i Skolesaga

Søk etter lærebøker, kapitler, trinn og verktøy

Gratis interaktive lærebøker for norsk skole.

Lærebok
PersonvernVilkår

© 2025 Skolesaga · Alle rettigheter forbeholdt

Deler av innholdet er utviklet med hjelp av AI-verktøy

Matematikk 1TTilbake
7.6 Derivasjon av polynomfunksjoner
Derivasjon av polynomfunksjoner

7.6 Derivasjon av polynomfunksjoner

Alle fag for VG1

Derivasjonsregler for polynomfunksjoner: potensregelen, konstantregelen og sumregelen.

45 min
4 oppgaver
PotensregelenKonstantregelenSumregelenPolynomderivering
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 4 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Bygger på
7.3Den deriverte
Brukes videre i
7.7Praktisk bruk av derivasjon

Derivasjonsregler for polynomer

I kapittel 7.3 introduserte vi potensregelen. Nå skal vi se nærmere på alle reglene vi trenger for å derivere polynomfunksjoner effektivt.

Et polynom er en sum av potenser av xxx med koeffisienter:
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0f(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​

Potensregelen
f(x)=xn⇒f′(x)=n⋅xn−1f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}f(x)=xn⇒f′(x)=n⋅xn−1

Flytt eksponenten ned som koeffisient og reduser eksponenten med 1.

Konstantregelen
f(x)=c⇒f′(x)=0f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0f(x)=c⇒f′(x)=0

Den deriverte av en konstant er alltid 0.

Konstantmultiplikasjon
(c⋅f(x))′=c⋅f′(x)(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)(c⋅f(x))′=c⋅f′(x)

Konstanter kan flyttes utenfor derivasjonen.

Sumregelen
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)

Derivasjon av en sum er summen av de deriverte.

✏️Eksempel 1: Derivere polynomer

Deriver:
a) f(x)=5x4f(x) = 5x^4f(x)=5x4
b) f(x)=x3+x2−7x+3f(x) = x^3 + x^2 - 7x + 3f(x)=x3+x2−7x+3
c) f(x)=2x5−12x4+3x\displaystyle f(x) = 2x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 3xf(x)=2x5−21​x4+3x

Løsning:

a) f(x)=5x4f(x) = 5x^4f(x)=5x4

Konstantmultiplikasjon + potensregel:
f′(x)=5⋅4x4−1=20x3f'(x) = 5 \cdot 4x^{4-1} = 20x^3f′(x)=5⋅4x4−1=20x3

b) f(x)=x3+x2−7x+3f(x) = x^3 + x^2 - 7x + 3f(x)=x3+x2−7x+3

Vi deriverer ledd for ledd (sumregelen):
f′(x)=3x2+2x−7f'(x) = 3x^2 + 2x - 7f′(x)=3x2+2x−7

c) f(x)=2x5−12x4+3x\displaystyle f(x) = 2x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 3xf(x)=2x5−21​x4+3x

f′(x)=2⋅5x4−12⋅4x3+3=10x4−2x3+3f'(x) = 2 \cdot 5x^4 - \frac{1}{2} \cdot 4x^3 + 3 = 10x^4 - 2x^3 + 3f′(x)=2⋅5x4−21​⋅4x3+3=10x4−2x3+3

📝Oppgave 7.6.1

Deriver funksjonene:

a
f(x)=4x3f(x) = 4x^3f(x)=4x3
b
f(x)=−2x5f(x) = -2x^5f(x)=−2x5
c
f(x)=13x6\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^6f(x)=31​x6
d
f(x)=x2+5x−1f(x) = x^2 + 5x - 1f(x)=x2+5x−1
e
f(x)=3x4−2x3+xf(x) = 3x^4 - 2x^3 + xf(x)=3x4−2x3+x
f
f(x)=−x3+4x2−6f(x) = -x^3 + 4x^2 - 6f(x)=−x3+4x2−6

Negative og brøk-eksponenter

Potensregelen fungerer også for negative eksponenter og brøk-eksponenter:

f(x)=x−2=1x2⇒f′(x)=−2x−3=−2x3f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}f(x)=x−2=x21​⇒f′(x)=−2x−3=−x32​

f(x)=x1/2=x⇒f′(x)=12x−1/2=12xf(x) = x^{1/2} = \sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}f(x)=x1/2=x​⇒f′(x)=21​x−1/2=2x​1​

✏️Eksempel 2: Negative eksponenter

Deriver:
a) f(x)=3x2\displaystyle f(x) = \frac{3}{x^2}f(x)=x23​
b) f(x)=1x+2x\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} + 2xf(x)=x1​+2x

Løsning:

a) Vi skriver om til potensform: f(x)=3x−2f(x) = 3x^{-2}f(x)=3x−2
f′(x)=3⋅(−2)⋅x−3=−6x−3=−6x3f'(x) = 3 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}f′(x)=3⋅(−2)⋅x−3=−6x−3=−x36​

b) Vi skriver om: f(x)=x−1+2xf(x) = x^{-1} + 2xf(x)=x−1+2x
f′(x)=−1⋅x−2+2=−1x2+2f'(x) = -1 \cdot x^{-2} + 2 = -\frac{1}{x^2} + 2f′(x)=−1⋅x−2+2=−x21​+2

📝Oppgave 7.6.2

Skriv om til potensform og deriver:

a
f(x)=5x3\displaystyle f(x) = \frac{5}{x^3}f(x)=x35​
b
f(x)=2x−1x2\displaystyle f(x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}f(x)=x2​−x21​
c
f(x)=x2+4x\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{4}{x}f(x)=x2+x4​

Andrederiverte

Vi kan derivere den deriverte for å få andrederiverte, som skrives f′′(x)f''(x)f′′(x) (leses "f tostreket av x").

f(x)→derivererf′(x)→deriverer igjenf′′(x)f(x) \xrightarrow{\text{deriverer}} f'(x) \xrightarrow{\text{deriverer igjen}} f''(x)f(x)deriverer​f′(x)deriverer igjen​f′′(x)

Andrederiverte brukes blant annet til å avgjøre om et punkt er et maksimum eller minimum.

✏️Eksempel 3: Finne andrederiverte

La f(x)=x4−3x2+2xf(x) = x^4 - 3x^2 + 2xf(x)=x4−3x2+2x. Finn f′(x)f'(x)f′(x) og f′′(x)f''(x)f′′(x).

Løsning:

Først finner vi f′(x)f'(x)f′(x):
f′(x)=4x3−6x+2f'(x) = 4x^3 - 6x + 2f′(x)=4x3−6x+2

Så deriverer vi f′(x)f'(x)f′(x) for å finne f′′(x)f''(x)f′′(x):
f′′(x)=12x2−6f''(x) = 12x^2 - 6f′′(x)=12x2−6

📝Oppgave 7.6.3

Finn f′(x)f'(x)f′(x) og f′′(x)f''(x)f′′(x):

a
f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2xf(x)=x3−2x
b
f(x)=2x4+x2−5f(x) = 2x^4 + x^2 - 5f(x)=2x4+x2−5
c
f(x)=−x5+3x3f(x) = -x^5 + 3x^3f(x)=−x5+3x3
✏️Eksempel 4: Beregne derivert i et punkt

La f(x)=x3−2x2+xf(x) = x^3 - 2x^2 + xf(x)=x3−2x2+x. Finn f′(2)f'(2)f′(2) og f′′(2)f''(2)f′′(2).

Løsning:

Steg 1: Finn den generelle deriverte f′(x)f'(x)f′(x):
f′(x)=3x2−4x+1f'(x) = 3x^2 - 4x + 1f′(x)=3x2−4x+1

Steg 2: Sett inn x=2x = 2x=2:
f′(2)=3(2)2−4(2)+1=12−8+1=5f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5f′(2)=3(2)2−4(2)+1=12−8+1=5

Steg 3: Finn andrederiverte f′′(x)f''(x)f′′(x):
f′′(x)=6x−4f''(x) = 6x - 4f′′(x)=6x−4

Steg 4: Sett inn x=2x = 2x=2:
f′′(2)=6(2)−4=12−4=8f''(2) = 6(2) - 4 = 12 - 4 = 8f′′(2)=6(2)−4=12−4=8

Svar: f′(2)=5f'(2) = 5f′(2)=5 og f′′(2)=8f''(2) = 8f′′(2)=8

📝Oppgave 7.6.4

Finn verdien av den deriverte i det gitte punktet:

a
f(x)=x4−2x3f(x) = x^4 - 2x^3f(x)=x4−2x3. Finn f′(1)f'(1)f′(1) og f′′(1)f''(1)f′′(1)
b
f(x)=13x3−x2+x\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + xf(x)=31​x3−x2+x. Finn f′(3)f'(3)f′(3) og f′′(3)f''(3)f′′(3)
Oppsummering: Derivasjonsregler
RegelFormel
Potensregel(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}(xn)′=nxn−1
Konstantregel(c)′=0(c)' = 0(c)′=0
Konstantmultiplikasjon(c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'(c⋅f)′=c⋅f′
Sumregel(f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'(f+g)′=f′+g′
Differansregel(f−g)′=f′−g′(f - g)' = f' - g'(f−g)′=f′−g′

Andrederiverte: f′′(x)=(f′(x))′f''(x) = (f'(x))'f′′(x)=(f′(x))′