7.7 Praktisk bruk av derivasjon

Matematikk med formål

Hittil har vi lært hva derivasjon er og hvordan vi gjør det. Nå er det tid for det mest spennende spørsmålet: hva kan vi bruke det til? Svaret er overraskende mye.

Derivasjon lar oss finne toppunkter og bunnpunkter på en graf, noe som betyr at vi kan løse optimeringsproblemer – for eksempel å finne den prisen som gir mest profitt, eller de dimensjonene som gir størst areal. Vi kan også analysere bevegelse ved å koble derivasjon til fart og akselerasjon. I dette kapittelet ser vi på disse praktiske anvendelsene gjennom konkrete eksempler.

Topp- og bunnpunkt – der grafen snur

Vi har allerede lært at $f'(x) = 0$ i punkter der grafen har en horisontal tangent. Disse punktene er kandidater for toppunkt (lokalt maksimum) eller bunnpunkt (lokalt minimum), og vi kaller dem ekstremalpunkt.

Fremgangsmåten er systematisk. Først finner du $f'(x)$. Deretter løser du likningen $f'(x) = 0$ for å finne kandidatene. Til slutt bruker du andrederiverte for å avgjøre hva slags punkt det er: hvis $f''(a) < 0$, er $(a, f(a))$ et toppunkt (grafen bøyer nedover), og hvis $f''(a) > 0$, er det et bunnpunkt (grafen bøyer oppover).

La oss prøve med $f(x) = x^3 - 3x$. Først: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Vi setter $f'(x) = 0$: $3x^2 - 3 = 0$, altså $x^2 = 1$, som gir $x = -1$ eller $x = 1$. Andrederiverte er $f''(x) = 6x$. Vi sjekker: $f''(-1) = -6 < 0$, altså er $x = -1$ et toppunkt. $f''(1) = 6 > 0$, altså er $x = 1$ et bunnpunkt. Funksjonsverdiene er $f(-1) = 2$ og $f(1) = -2$. Vi har toppunkt $(-1, 2)$ og bunnpunkt $(1, -2)$.

Optimering – å finne det beste svaret

Mange problemer i virkeligheten handler om å finne den beste løsningen. En bonde vil ha størst mulig innhegning med en gitt mengde gjerde. En bedrift vil maksimere profitten. En ingeniør vil minimere materialbruk. Alt dette er optimeringsproblemer, og derivasjon er verktøyet som løser dem.

Fremgangsmåten følger alltid samme mønster. Først leser du problemet og identifiserer hva som skal maksimeres eller minimeres. Deretter setter du opp en funksjon som beskriver dette. Så finner du $f'(x) = 0$ og løser for $x$. Til slutt kontrollerer du at løsningen virkelig gir det du ønsker (et maksimum eller minimum), og at den er realistisk.

Her er et klassisk eksempel. En bonde har 100 meter gjerde og vil lage et rektangulært innhegnet område langs en elv. Siden elven fungerer som den ene veggen, trenger han bare gjerde langs tre sider. La $x$ være bredden (sidene vinkelrett på elven) og $y$ lengden (parallelt med elven). Gjerdet gir begrensningen $2x + y = 100$, altså $y = 100 - 2x$. Arealet er $A(x) = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$.

Vi deriverer: $A'(x) = 100 - 4x$. Vi setter $A'(x) = 0$: $x = 25$. Da er $y = 50$ og arealet er $1250 \text{ m}^2$. Sjekk: $A''(x) = -4 < 0$, altså er dette et maksimum.

Fart og akselerasjon – derivasjon beskriver bevegelse

En av de mest naturlige anvendelsene av derivasjon er å analysere bevegelse. Hvis $s(t)$ beskriver posisjonen til et objekt som funksjon av tid $t$, gir den deriverte $s'(t) = v(t)$ oss farten (hastigheten). Deriverer vi enda en gang, gir andrederiverte $s''(t) = v'(t) = a(t)$ oss akselerasjonen.

La oss se på en partikkel som beveger seg med posisjonsfunksjon $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$, der $s$ er i meter og $t$ i sekunder. Farten er $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$, og akselerasjonen er $a(t) = v'(t) = 6t - 12$.

Når er partikkelen i ro? Det skjer når $v(t) = 0$: $3t^2 - 12t + 9 = 0$, altså $t^2 - 4t + 3 = 0$, som gir $(t - 1)(t - 3) = 0$. Partikkelen er i ro ved $t = 1$ sekund og $t = 3$ sekunder.

Positiv fart betyr at partikkelen beveger seg i positiv retning, negativ fart betyr den motsatte retningen. Vi kan skrive $v(t) = 3(t-1)(t-3)$ og lese av fortegnene: farten er positiv når $t < 1$ eller $t > 3$, og negativ mellom $t = 1$ og $t = 3$.

Profittmaksimering – økonomi møter matematikk

Optimering er spesielt viktig i økonomi. Tenk deg en bedrift som produserer en vare. Profittfunksjonen er $P(x) = -x^2 + 40x - 300$ kroner, der $x$ er antall enheter produsert per dag.

Hvor mange enheter bør bedriften produsere for å maksimere profitten? Vi deriverer: $P'(x) = -2x + 40$. Vi setter $P'(x) = 0$: $-2x + 40 = 0$, altså $x = 20$. Andrederiverte er $P''(x) = -2 < 0$, som bekrefter at dette er et toppunkt (maksimum). Maksimal profitt er $P(20) = -400 + 800 - 300 = 100$ kroner per dag.

Et annet eksempel: profittfunksjonen er $P(x) = -2x^2 + 100x - 800$. Vi får $P'(x) = -4x + 100 = 0$, altså $x = 25$ enheter. Maksimal profitt er $P(25) = -2 \cdot 625 + 2500 - 800 = -1250 + 2500 - 800 = 450$ kroner.

Legg merke til at profittfunksjonen alltid har negativ koeffisient foran $x^2$, noe som betyr at grafen er en nedovervendt parabel. Det garanterer at det finnes et maksimum. Dette er typisk for mange økonomiske modeller.

Geometrisk optimering – rektangler og former

La oss avslutte med enda en type optimeringsproblem: geometrisk optimering. Disse oppgavene handler om å finne de dimensjonene som gir størst areal, minst omkrets, eller lignende.

Et klassisk problem: et rektangel har omkrets 24 cm. Hvilke sidelengder gir størst areal? La de to sidelengdene være $x$ og $y$. Omkretsen gir begrensningen $2x + 2y = 24$, altså $y = 12 - x$. Arealet er $A(x) = x \cdot y = x(12 - x) = 12x - x^2$.

Vi deriverer: $A'(x) = 12 - 2x$. Vi setter $A'(x) = 0$: $x = 6$. Da er $y = 12 - 6 = 6$. Rektangelet med størst areal har altså sidelengder $6$ cm og $6$ cm – det er et kvadrat! Arealet er $36 \text{ cm}^2$.

Dette er faktisk et generelt resultat: blant alle rektangler med en gitt omkrets, er det kvadratet som har størst areal. Derivasjon ga oss dette elegante svaret med bare noen få regnesteg.

Mønsteret i alle optimeringsproblemer er det samme: sett opp funksjonen, finn der den deriverte er null, sjekk at det er riktig type ekstremalpunkt, og tolk svaret i konteksten av problemet.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi sett derivasjon i aksjon gjennom praktiske problemer.

For å finne ekstremalpunkt (topp- og bunnpunkt) setter vi $f'(x) = 0$ og løser for $x$. Vi bruker andrederiverte for å avgjøre type: $f''(a) < 0$ betyr toppunkt og $f''(a) > 0$ betyr bunnpunkt.

Optimeringsproblemer løses i fire steg: sett opp funksjonen som skal optimeres, finn der $f'(x) = 0$, kontroller at det er riktig type ekstremalpunkt, og sjekk at løsningen er realistisk. Vi har sett eksempler med gjerdeproblem, profittmaksimering og geometrisk optimering.

For bevegelse gjelder at derivert av posisjon gir fart ($v(t) = s'(t)$), og derivert av fart gir akselerasjon ($a(t) = s''(t)$). Farten er null når objektet er i ro, positiv fart betyr bevegelse i positiv retning, og negativ fart betyr motsatt retning. Akselerasjonen forteller om farten øker eller minker.