8.1 Modellering med funksjoner

Bruke matematiske funksjoner til å beskrive og forutsi virkelige fenomener.

45 min

5 oppgaver

Matematisk modelleringModelleringsprosessenVariable størrelserInterpoleringEkstrapolering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 5 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.8Eksponentialfunksjoner

Brukes videre i

8.2Potensfunksjoner 8.3Lineær regresjon

Hva er matematisk modellering?

I mange fag og yrker ønsker vi å beskrive virkeligheten med matematikk. En matematisk modell er en forenklet representasjon av en virkelig situasjon, uttrykt gjennom matematiske uttrykk, formler eller funksjoner.

For eksempel kan vi modellere:
- Hvordan temperaturen i en kopp kaffe synker over tid (eksponentiell modell)
- Hvordan en balls bane gjennom luften ser ut (kvadratisk modell)
- Hvordan prisen på en vare avhenger av tilbud og etterspørsel (lineær modell)

En modell er alltid en forenkling. Vi velger ut de viktigste faktorene og ser bort fra mindre viktige detaljer. En modell for en balls bane ignorerer for eksempel ofte luftmotstand.

Matematisk modell

En matematisk modell er en matematisk beskrivelse av en virkelig situasjon. Modellen bruker variabler, funksjoner og likninger til å beskrive sammenhenger mellom størrelser i virkeligheten. En modell er alltid en forenkling, og vi må alltid vurdere om modellen gir fornuftige resultater innenfor det området vi bruker den.

Modelleringsprosessen

Matematisk modellering følger typisk disse stegene:

1. Observere – Studer situasjonen og samle inn data
2. Identifisere variabler – Hva er de viktige størrelsene? Hva er uavhengig og avhengig variabel?
3. Sette opp en modell – Velg en funksjonstype og bestem parametrene
4. Teste modellen – Sammenlign modellens verdier med observerte data
5. Vurdere – Er modellen god nok? Kan den forbedres? Hvor gjelder den?

Denne prosessen er ofte iterativ – vi går tilbake og justerer modellen dersom den ikke passer godt nok.

Å velge riktig funksjonstype er nøkkelen til god modellering. Tenk over:
- Lineær funksjon $f(x) = ax + b$ : Jevn økning eller reduksjon
- Kvadratisk funksjon $f(x) = ax^2 + bx + c$ : Vekst som øker eller avtar, har toppunkt/bunnpunkt
- Eksponentiell funksjon $f(x) = a \cdot b^x$ : Prosentvis vekst eller nedgang
- Potensfunksjon $f(x) = a \cdot x^b$ : Sammenhenger der den ene størrelsen er en potens av den andre

✏️Eksempel 1 – Lineær modell

En taxitur koster 50 kr i startpris pluss 12 kr per kilometer. Sett opp en modell for prisen $P$ som funksjon av antall kjørte kilometer $x$ . Hva koster en tur på 15 km?

Vi identifiserer variablene:
-

x

: antall kjørte kilometer (uavhengig variabel)
-

P(x)

: prisen i kroner (avhengig variabel)

Prisen øker jevnt med 12 kr per km, så dette er en lineær sammenheng:

$P(x) = 12x + 50$

For en tur på 15 km:

$P(15) = 12 \cdot 15 + 50 = 180 + 50 = 230$

En tur på 15 km koster 230 kr.

Gyldighetsområde: Modellen gjelder for $x \geq 0$ . I praksis er det gjerne en maksimal kjørelengde og modellen tar ikke hensyn til eventuelle tillegg for ventetid.

✏️Eksempel 2 – Kvadratisk modell

En bonde har 80 meter gjerde og vil lage et rektangulært innhegnet område langs en elv (elven utgjør den ene langsiden, så gjerdet brukes bare på tre sider). Sett opp en modell for arealet $A$ som funksjon av bredden $x$ , og finn bredden som gir størst areal.

x

være bredden (de to kortsidene) og

l

være lengden (den ene langsiden med gjerde).

Gjerdeforbruket gir oss sammenhengen:

$2x + l = 80 \implies l = 80 - 2x$

Arealet blir:

$A(x) = x \cdot l = x(80 - 2x) = 80x - 2x^2$

Dette er en andregradsfunksjon med $a = -2 < 0$ , så den har et toppunkt. Vi finner toppunktet:

$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{80}{2 \cdot (-2)} = \frac{80}{4} = 20$

Med $x = 20$ får vi $l = 80 - 2 \cdot 20 = 40$ og:

$A(20) = 20 \cdot 40 = 800 \text{ m}^2$

Gyldighetsområde: $0 < x < 40$ (bredden må være positiv, og lengden $80 - 2x$ må også være positiv).

Interpolering og ekstrapolering

Interpolering betyr å bruke modellen til å anslå verdier mellom kjente datapunkter. Interpolering er som regel pålitelig. Ekstrapolering betyr å bruke modellen til å anslå verdier utenfor området der vi har data. Ekstrapolering er mer usikkert fordi vi ikke vet om modellen gjelder der.

✏️Eksempel 3 – Eksponentiell modell og ekstrapolering

En by hadde 25 000 innbyggere i 2010 og har hatt en årlig befolkningsvekst på 2,5 %. Sett opp en modell for befolkningen $B(t)$ der $t$ er antall år etter 2010. Bruk modellen til å anslå befolkningen i 2020 og i 2050. Kommenter påliteligheten av anslagene.

Prosentvis vekst gir en eksponentiell modell. Vekstfaktoren er

1 + 0{,}025 = 1{,}025

$B(t) = 25\,000 \cdot 1{,}025^t$

År 2020 ( $t = 10$ ):

$B(10) = 25\,000 \cdot 1{,}025^{10} \approx 25\,000 \cdot 1{,}2801 \approx 32\,003$

År 2050 ( $t = 40$ ):

$B(40) = 25\,000 \cdot 1{,}025^{40} \approx 25\,000 \cdot 2{,}6851 \approx 67\,126$

Vurdering: Anslaget for 2020 er interpolering (eller nær-ekstrapolering) og ganske pålitelig dersom vekstraten har holdt seg stabil. Anslaget for 2050 er langt frem i tid (ekstrapolering), og det er svært usikkert. Vekstraten kan endre seg grunnet politikk, migrasjon eller andre faktorer.

Når du modellerer, still deg alltid disse spørsmålene:
- Gir modellen fornuftige verdier for ekstreme input (svært store eller små $x$ )?
- Er det noen naturlige begrensninger? (Antall personer kan ikke være negativt, temperatur har en nedre grense, osv.)
- Hva skjer dersom vi bruker modellen langt utenfor datapunktene?

📊Utforsk modellering

Prøv å endre parametrene i modellene og se hvordan grafene endres. Sammenlign lineær, kvadratisk og eksponentiell vekst.

📝Oppgave 1

Et mobilabonnement koster 99 kr i måneden pluss 0,50 kr per sendt SMS. Sett opp en modell $K(x)$ for den månedlige kostnaden som funksjon av antall sendte SMS $x$ . Hva blir kostnaden dersom du sender 120 SMS på en måned?

📝Oppgave 2

En stein kastes opp fra bakken med en startfart på $20$ m/s. Høyden (i meter) etter $t$ sekunder kan modelleres med $h(t) = 20t - 4{,}9t^2$ .

Hvor høyt er steinen etter 1 sekund?

Når er steinen på sitt høyeste punkt, og hvor høyt er det?

Når treffer steinen bakken igjen?

Hva er gyldighetsområdet for modellen?

📝Oppgave 3

En kaffekopp har en temperatur på $90$ °C når den settes på bordet. Romtemperaturen er $20$ °C. Etter 5 minutter er temperaturen sunket til $70$ °C. Temperaturen kan modelleres med $T(t) = 20 + 70 \cdot b^t$ , der $t$ er tid i minutter.

Vis at $T(0) = 90$ °C.

Bruk opplysningen om at $T(5) = 70$ °C til å bestemme $b$ .

Hva er temperaturen etter 15 minutter?

Hva skjer med temperaturen når $t \to \infty$ ? Er dette realistisk?

📝Oppgave 4

En nettbutikk selger et produkt for $p$ kroner per stykk. Erfaringsmessig selger de $1200 - 4p$ produkter per måned (for $0 \leq p \leq 300$ ). Produksjonskostnaden per enhet er 80 kr, og faste kostnader er 15 000 kr per måned.

Sett opp en modell for inntekten $I(p)$ og kostnadene $K(p)$ .

Sett opp en modell for overskuddet $O(p)$ og finn prisen som gir størst overskudd.

Hva er det maksimale overskuddet?

📝Oppgave 5

Tabellen viser antall registrerte elbiler i Norge (i tusen) ved utvalgte år:

År	2015	2017	2019	2021
Antall (tusen)	70	140	260	450

t

være antall år etter 2015.

Prøv å tilpasse en lineær modell $f(t) = at + b$ . Bruk punktene $(0, 70)$ og $(6, 450)$ til å bestemme $a$ og $b$ .

Prøv å tilpasse en eksponentiell modell $g(t) = 70 \cdot b^t$ . Bruk punktet $(6, 450)$ til å bestemme $b$ .

Hvilken modell passer best med de andre datapunktene? Sjekk for $t = 2$ (2017) og $t = 4$ (2019).

Diskuter begrensningene til begge modellene. Kan noen av dem brukes til å forutsi antallet i 2030?

År

2015

2017

2019

2021

Antall (tusen)

140

260

450