• Lærebøker
  • Python
  • GeoGebra
  • Hoderegning
  • Test deg selv

Søk i Skolesaga

Søk etter lærebøker, kapitler, trinn og verktøy

Gratis interaktive lærebøker for norsk skole.

Lærebok
PersonvernVilkår

© 2025 Skolesaga · Alle rettigheter forbeholdt

Deler av innholdet er utviklet med hjelp av AI-verktøy

Matematikk for økonomerTilbake
1.1 Potenser og potensregler
Potenser og potensregler

1.1 Potenser og potensregler

Alle fag for Høyskole

Potenser med heltallseksponenter, potensregler og regneregler.

40 min
14 oppgaver
PotenserHeltallseksponenterPotensreglerNegative eksponenter
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Brukes videre i
1.2Algebra og bokstavregning

Noen ganger ønsker vi å beskrive at et tall ganges med seg selv flere ganger på en enklere måte. Istedenfor å skrive 2⋅2⋅2⋅22 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 22⋅2⋅2⋅2 så kan vi skrive 242^424 og istedenfor a⋅a⋅a=a3a \cdot a \cdot a = a^3a⋅a⋅a=a3.

Potens
Når vi skriver xnx^nxn, betyr det at vi ganger xxx med seg selv nnn ganger:

xn=x⋅x⋅x⋅…⋅x(n faktorer)x^n = x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x \quad (n \text{ faktorer})xn=x⋅x⋅x⋅…⋅x(n faktorer)

Vi kaller xxx for grunntallet og nnn for eksponenten.

For eksempel: 23=2⋅2⋅2=82^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 823=2⋅2⋅2=8 (grunntall 2, eksponent 3) og a5=a⋅a⋅a⋅a⋅aa^5 = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot aa5=a⋅a⋅a⋅a⋅a.

✏️Eksempel 1

Regn ut:

a) 242^424
b) 4⋅324 \cdot 3^24⋅32

Løsning:

a) 24=2⋅2⋅2⋅2=162^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1624=2⋅2⋅2⋅2=16

b) 4⋅32=4⋅3⋅3=4⋅9=364 \cdot 3^2 = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 9 = 364⋅32=4⋅3⋅3=4⋅9=36

📝Oppgave 1

Regn ut

a
232^323
b
929^292
c
22⋅522^2 \cdot 5^222⋅52
d
33⋅23^3 \cdot 233⋅2
e
72⋅227^2 \cdot 2^272⋅22
f
13⋅23⋅321^3 \cdot 2^3 \cdot 3^213⋅23⋅32
Løs oppgavenTren
Vi skal her lære oss å regne med potenser. Vi kan observere at:
x2⋅x3=(x⋅x)⋅(x⋅x⋅x)=x5x^2 \cdot x^3 = (x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) = x^5x2⋅x3=(x⋅x)⋅(x⋅x⋅x)=x5

Generelt kan vi utlede regelen:
xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}xa⋅xb=xa+b

📜Potensregel: Multiplikasjon
xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}xa⋅xb=xa+b
✏️Eksempel 2

Regn ut og skriv svaret som potens:

a) 34⋅353^4 \cdot 3^534⋅35
b) 2a⋅2a42a \cdot 2a^42a⋅2a4
c) a3⋅b2⋅a5⋅b3a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3a3⋅b2⋅a5⋅b3

Løsning:

a) 34⋅35=34+5=393^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^934⋅35=34+5=39

b) 2a⋅2a4=2⋅2⋅a1⋅a4=22a1+4=22a52a \cdot 2a^4 = \color{blue}{2 \cdot 2 \cdot a^1 \cdot a^4} = 2^2 a^{1+4} = 2^2 a^52a⋅2a4=2⋅2⋅a1⋅a4=22a1+4=22a5

c) a3⋅b2⋅a5⋅b3=a3⋅a5⋅b2⋅b3=a3+5⋅b2+3=a8b5a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3 = a^3 \cdot a^5 \cdot b^2 \cdot b^3 = a^{3+5} \cdot b^{2+3} = a^8 b^5a3⋅b2⋅a5⋅b3=a3⋅a5⋅b2⋅b3=a3+5⋅b2+3=a8b5

Husk: Usynlig gangetegn

ab=a⋅bab = a \cdot bab=a⋅b

3a=3⋅a3a = 3 \cdot a3a=3⋅a

📝Oppgave 2

Regn ut og skriv svaret som potens

a
x2⋅x3x^2 \cdot x^3x2⋅x3
b
25⋅2102^5 \cdot 2^{10}25⋅210
c
a3⋅a5⋅b2a^3 \cdot a^5 \cdot b^2a3⋅a5⋅b2
d
x3y2⋅x2⋅y6x^3 y^2 \cdot x^2 \cdot y^6x3y2⋅x2⋅y6
e
3x2⋅4x3x^2 \cdot 4x3x2⋅4x
f
9x3y3⋅x29x^3 y^3 \cdot x^29x3y3⋅x2
Løs oppgavenTren
Når vi arbeider med potenser i brøker så er det viktig å huske på at vi kan gange og dele med samme tall over og under brøkstreken. Det er også viktig å huske at vi derfor kan stryke like faktorer over og under brøkstreken imot hverandre.

Vi har for eksempel at:
4542=4⋅4⋅4⋅4⋅44⋅4=45−2=43\frac{4^5}{4^2} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \color{red}{4 \cdot 4}}{\color{red}{4 \cdot 4}} = 4^{5-2} = 4^34245​=4⋅44⋅4⋅4⋅4⋅4​=45−2=43

📜Potensregel: Divisjon
xaxb=xa−b\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}xbxa​=xa−b
✏️Eksempel 3

Regn ut og skriv svaret som en potens:

a) 9592\displaystyle \frac{9^5}{9^2}9295​

b) x4y3x2y2\displaystyle \frac{x^4 y^3}{x^2 y^2}x2y2x4y3​

Løsning:

a) Alternativ 1:
9592=95−2=93\frac{9^5}{9^2} = 9^{5-2} = 9^39295​=95−2=93

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryker likt imot likt)
9592=93⋅9292=93\frac{9^5}{9^2} = \frac{9^3 \cdot \color{red}{9^2}}{\color{red}{9^2}} = 9^39295​=9293⋅92​=93

b) Alternativ 1:
x4y3x2y2=x4x2⋅y3y2=x4−2⋅y3−2=x2y\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \color{blue}{\frac{x^4}{x^2} \cdot \frac{y^3}{y^2}} = x^{4-2} \cdot y^{3-2} = x^2 yx2y2x4y3​=x2x4​⋅y2y3​=x4−2⋅y3−2=x2y

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryker likt imot likt)
x4y3x2y2=x2⋅x2⋅y2⋅yx2⋅y2=x2y\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \frac{\color{red}{x^2} \cdot x^2 \cdot \color{red}{y^2} \cdot y}{\color{red}{x^2} \cdot \color{red}{y^2}} = x^2 yx2y2x4y3​=x2⋅y2x2⋅x2⋅y2⋅y​=x2y

📝Oppgave 3

Regn ut og skriv svaret som potens

a
7473\displaystyle \frac{7^4}{7^3}7374​
b
a7a2\displaystyle \frac{a^7}{a^2}a2a7​
c
a3b4ab2\displaystyle \frac{a^3 b^4}{ab^2}ab2a3b4​
d
24⋅5723⋅54\displaystyle \frac{2^4 \cdot 5^7}{2^3 \cdot 5^4}23⋅5424⋅57​
e
x4y2⋅24⋅x222x3\displaystyle \frac{x^4 y^2 \cdot 2^4 \cdot x^2}{2^2 x^3}22x3x4y2⋅24⋅x2​
f
54⋅23x322x2\displaystyle \frac{5^4 \cdot 2^3 x^3}{2^2 x^2}22x254⋅23x3​
Løs oppgavenTren
Negative eksponenter
x−1=1xx^{-1} = \frac{1}{x}x−1=x1​

x−n=1xnx^{-n} = \frac{1}{x^n}x−n=xn1​

✏️Eksempel 4

Skriv uten negativ eksponent og regn ut:

a) 2a−12a^{-1}2a−1
b) 3−1x−23^{-1}x^{-2}3−1x−2
c) 3y⋅2−3⋅x−33y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3}3y⋅2−3⋅x−3

Løsning:

a) 2a−1=2⋅1a=21⋅1a=2a\displaystyle 2a^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{a} = \color{blue}{\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{a}} = \frac{2}{a}2a−1=2⋅a1​=12​⋅a1​=a2​

b) 3−1x−2=13⋅1x2=13x2\displaystyle 3^{-1}x^{-2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{3x^2}3−1x−2=31​⋅x21​=3x21​

c) 3y⋅2−3⋅x−3=3y⋅123⋅1x3=3y1⋅123x3=3y8x3\displaystyle 3y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3} = 3y \cdot \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{x^3} = \color{blue}{\frac{3y}{1} \cdot \frac{1}{2^3 x^3}} = \frac{3y}{8x^3}3y⋅2−3⋅x−3=3y⋅231​⋅x31​=13y​⋅23x31​=8x33y​

📝Oppgave 4

Gjør om uttrykket slik at det ikke lenger har en negativ eksponent og regn ut.

a
3x−13x^{-1}3x−1
b
4a−24a^{-2}4a−2
c
2−2x−32^{-2} x^{-3}2−2x−3
d
a3a−5a^3 a^{-5}a3a−5
e
8x−3⋅2−2x58x^{-3} \cdot 2^{-2} x^58x−3⋅2−2x5
f
3x3⋅x−5⋅2x4\displaystyle 3x^3 \cdot x^{-5} \cdot \frac{2}{x^4}3x3⋅x−5⋅x42​
Løs oppgavenTren

Når vi har en negativ eksponent i en brøk så kan faktoren som er opphøyd i noe negativt flyttes under brøkstreken og bli opphøyd i det samme tallet med positivt fortegn.

📜Negative eksponenter i brøker
a−nb−m=bman\frac{a^{-n}}{b^{-m}} = \frac{b^m}{a^n}b−ma−n​=anbm​
✏️Eksempel 5

Flytt på potensuttrykkene slik at vi får positiv eksponent og regn ut:

a) 2−53−2\displaystyle \frac{2^{-5}}{3^{-2}}3−22−5​

b) 2x−2y3x2y−1\displaystyle \frac{2x^{-2}y^3}{x^2 y^{-1}}x2y−12x−2y3​

Løsning:

a) 2−53−2=3225=932\displaystyle \frac{\color{red}{2^{-5}}}{\color{red}{3^{-2}}} = \frac{\color{red}{3^2}}{\color{red}{2^5}} = \frac{9}{32}3−22−5​=2532​=329​

b) 2x−2y3x2y−1=2y1⋅y3x2⋅x2=2y4x4\displaystyle \frac{2\color{red}{x^{-2}}y^3}{x^2 \color{red}{y^{-1}}} = \frac{2\color{red}{y^1} \cdot y^3}{x^2 \cdot \color{red}{x^2}} = \frac{2y^4}{x^4}x2y−12x−2y3​=x2⋅x22y1⋅y3​=x42y4​

📝Oppgave 5

Regn ut og skriv svaret som potens

a
2−23−1\displaystyle \frac{2^{-2}}{3^{-1}}3−12−2​
b
a−32−3\displaystyle \frac{a^{-3}}{2^{-3}}2−3a−3​
c
7x−5x2\displaystyle \frac{7x^{-5}}{x^2}x27x−5​
d
2x−1y2x4y−4\displaystyle \frac{2x^{-1} y^2}{x^4 y^{-4}}x4y−42x−1y2​
e
2−2y63−2y−4\displaystyle \frac{2^{-2} y^6}{3^{-2} y^{-4}}3−2y−42−2y6​
f
4x−32x−4\displaystyle \frac{4x^{-3}}{2x^{-4}}2x−44x−3​
Løs oppgavenTren
📜Potens av produkt
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n(a⋅b)n=an⋅bn
✏️Eksempel 6

Regn ut:

a) (xy)4(xy)^4(xy)4
b) (2x)5(2x)^5(2x)5

Løsning:

a) (xy)4=(x⋅y)4=x4⋅y4=x4y4(xy)^4 = (x \cdot y)^4 = x^4 \cdot y^4 = x^4 y^4(xy)4=(x⋅y)4=x4⋅y4=x4y4

b) (2x)5=(2⋅x)5=25⋅x5=32⋅x5=32x5(2x)^5 = (2 \cdot x)^5 = 2^5 \cdot x^5 = 32 \cdot x^5 = 32x^5(2x)5=(2⋅x)5=25⋅x5=32⋅x5=32x5

📝Oppgave 6

Regn ut

a
(3x)2(3x)^2(3x)2
b
(ab)2(ab)^2(ab)2
c
3a4⋅(2a)33a^4 \cdot (2a)^33a4⋅(2a)3
Løs oppgavenTren
📜Potens av brøk
(ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}(ba​)n=bnan​
✏️Eksempel 7

Regn ut:

a) (xy)4\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4(yx​)4

b) (23x)2\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2(3x2​)2

Løsning:

a) (xy)4=x4y4\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 = \frac{x^4}{y^4}(yx​)4=y4x4​

b) (23x)2=22(3x)2=432x2=49x2\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2 = \frac{2^2}{(3x)^2} = \frac{4}{3^2 x^2} = \frac{4}{9x^2}(3x2​)2=(3x)222​=32x24​=9x24​

📝Oppgave 7

Regn ut og skriv svaret som potens

a
(ab)8\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^8(ba​)8
b
(2a3)2\displaystyle \left(\frac{2a}{3}\right)^2(32a​)2
c
(x5y)2\displaystyle \left(\frac{x}{5y}\right)^2(5yx​)2
d
(xy)4⋅(2xy2)\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 \cdot \left(\frac{2x}{y^2}\right)(yx​)4⋅(y22x​)
e
(a3)4⋅33a\displaystyle \left(\frac{a}{3}\right)^4 \cdot 3^3 a(3a​)4⋅33a
f
(a2b)2⋅3a−2b−2\displaystyle \left(\frac{a}{2b}\right)^2 \cdot 3a^{-2} b^{-2}(2ba​)2⋅3a−2b−2
Løs oppgavenTren
📜Potens av potens
(xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b}(xa)b=xa⋅b
✏️Eksempel 8

Regn ut:

a) (x4)3(x^4)^3(x4)3
b) (2a3)4(2a^3)^4(2a3)4
c) (y2x)3\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3(xy2​)3

Løsning:

a) (x4)3=x4⋅3=x12(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}(x4)3=x4⋅3=x12

b) (2a3)4=24⋅(a3)4=16a3⋅4=16a12(2a^3)^4 = 2^4 \cdot (a^3)^4 = 16a^{3 \cdot 4} = 16a^{12}(2a3)4=24⋅(a3)4=16a3⋅4=16a12

c) (y2x)3=(y2)3x3=y2⋅3x3=y6x3\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3 = \frac{(y^2)^3}{x^3} = \frac{y^{2 \cdot 3}}{x^3} = \frac{y^6}{x^3}(xy2​)3=x3(y2)3​=x3y2⋅3​=x3y6​

📝Oppgave 8

Regn ut

a
(x2)3(x^2)^3(x2)3
b
(5a2)2(5a^2)^2(5a2)2
c
(a43)3\displaystyle \left(\frac{a^4}{3}\right)^3(3a4​)3
d
(ab2)3(ab^2)^3(ab2)3
e
(2x3y2)3\displaystyle \left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3(y22x3​)3
f
x3⋅(x2y2)3\displaystyle x^3 \cdot \left(\frac{x^2}{y^2}\right)^3x3⋅(y2x2​)3
g
(a−3b−2)4\displaystyle \left(\frac{a^{-3}}{b^{-2}}\right)^4(b−2a−3​)4
h
(2−1aa−2b2)2⋅(a2)−3\displaystyle \left(\frac{2^{-1}a}{a^{-2}b^2}\right)^2 \cdot (a^2)^{-3}(a−2b22−1a​)2⋅(a2)−3
i
y3(4−2xx−2y2⋅2−3)3\displaystyle y^3 \left(\frac{4^{-2}x}{x^{-2}y^2 \cdot 2^{-3}}\right)^3y3(x−2y2⋅2−34−2x​)3
Løs oppgavenTren
🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig
Når vi har 0 som eksponent
a0=1, gitt at a≠0a^0 = 1, \text{ gitt at } a \neq 0a0=1, gitt at a=0

det vil si at alle tall (med unntak av 0) opphøyd i 0 vil bli 1.

Hva med $0^0$?

Uttrykket 000^000 er udefinert i matematikken. Dette skyldes at vi får motstridende resultater avhengig av hvordan vi nærmer oss uttrykket. Derfor er det viktig å huske at regelen a0=1a^0 = 1a0=1 kun gjelder når a≠0a \neq 0a=0.

✏️Eksempel 9

Regn ut:

a) 303^030
b) (−9000)0(-9000)^0(−9000)0
c) 2x02x^02x0 der x≠0x \neq 0x=0

Løsning:

a) 30=13^0 = 130=1

b) (−9000)0=1(-9000)^0 = 1(−9000)0=1

c) 2x0=2⋅x0=2⋅1=22x^0 = 2 \cdot x^0 = 2 \cdot 1 = 22x0=2⋅x0=2⋅1=2

📝Oppgave 9

Regn ut

a
909^090
b
x5x5\displaystyle \frac{x^5}{x^5}x5x5​
c
3a03a^03a0 der a≠0a \neq 0a=0
d
(−3x)0(-3x)^0(−3x)0
e
x−3⋅x2⋅2xx^{-3} \cdot x^2 \cdot 2xx−3⋅x2⋅2x
f
x2x−2⋅y2x−4\displaystyle \frac{x^2}{x^{-2}} \cdot y^2 x^{-4}x−2x2​⋅y2x−4
Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 10

Regn ut:

a) 3592\displaystyle \frac{3^5}{9^2}9235​

b) 16⋅362124\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4}12416⋅362​

Løsning:

a) 3592=35(32)2=3⋅3434=3\displaystyle \frac{3^5}{9^2} = \frac{3^5}{\color{blue}{(3^2)^2}} = \frac{3 \cdot \color{red}{3^4}}{\color{red}{3^4}} = 39235​=(32)235​=343⋅34​=3

b) 16⋅362124=24⋅(62)2(2⋅6)4=24⋅64⋅124⋅64⋅1=1\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4} = \frac{\color{blue}{2^4 \cdot (6^2)^2}}{\color{blue}{(2 \cdot 6)^4}} = \frac{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1}{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1} = 112416⋅362​=(2⋅6)424⋅(62)2​=24⋅64⋅124⋅64⋅1​=1

📝Oppgave 10

Regn ut

a
2582\displaystyle \frac{2^5}{8^2}8225​
b
55253\displaystyle \frac{5^5}{25^3}25355​
c
(3x)23⋅27x\displaystyle \frac{(3x)^2}{3 \cdot 27x}3⋅27x(3x)2​
d
49⋅16142\displaystyle \frac{49 \cdot 16}{14^2}14249⋅16​
e
142⋅6223⋅42\displaystyle \frac{14^2 \cdot 6^2}{2^3 \cdot 42}23⋅42142⋅62​
f
92⋅(2y)3362y−2\displaystyle \frac{9^2 \cdot (2y)^3}{36^2 y^{-2}}362y−292⋅(2y)3​
Løs oppgavenTren
🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig
📜Oppsummering: Alle potensregler
RegelFormel
Definisjonxn=x⋅x⋅…⋅xx^n = x \cdot x \cdot \ldots \cdot xxn=x⋅x⋅…⋅x (nnn faktorer)
Multiplikasjonxa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}xa⋅xb=xa+b
Divisjonxaxb=xa−b\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}xbxa​=xa−b
Negativ eksponentx−n=1xn\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}x−n=xn1​
Potens av produkt(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n(a⋅b)n=an⋅bn
Potens av brøk(ab)n=anbn\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}(ba​)n=bnan​
Potens av potens(xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b}(xa)b=xa⋅b
Null som eksponenta0=1a^0 = 1a0=1 (for a≠0a \neq 0a=0)
📝Oppgave T
Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av kapittelet.
a
Finn feilen. En student har regnet (x2)3=x5(x^2)^3 = x^5(x2)3=x5. Hva er feilen, og hva er det riktige svaret? Forklar hvilken regel som gjelder.
b
Forklar uten formel. Forklar med ord, uten å regne, hvorfor a0=1a^0 = 1a0=1 for a≠0a \neq 0a=0. Knytt forklaringen til regelen aman=am−n\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}anam​=am−n.
🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 10 oppgaver