Læringsmål

Oversikt over læringsmål dekket i MAT1110 Kalkulus og lineær algebra

Kilde: Læringsmålene er utformet av Skolesaga på grunnlag av emnets eksamensoppgaver, sensorveiledninger og emnebeskrivelse. De er ikke institusjonens offisielle læringsutbyttebeskrivelser.

130 kompetansemål40 av 40 kapitler har kompetansemål

Alle kompetansemål

•gjøre rede for hvordan MAT1110 vurderes gjennom en midtsemesterprøve uten hjelpemidler og en avsluttende langsvarsprøve

0.1Eksamenskartet: to prøver og regimeskiftet 2025

•forklare regimeskiftet fra 2025 og hva det betyr for hva du bør prioritere

0.1Eksamenskartet: to prøver og regimeskiftet 2025

•lese en temafrekvens-oversikt og oversette den til en realistisk lese- og repetisjonsplan

0.1Eksamenskartet: to prøver og regimeskiftet 2025

•legge en to-spors lesestrategi som dekker både det nye vektoranalyse-regimet og beredskapsstoffet

0.1Eksamenskartet: to prøver og regimeskiftet 2025

•føre et lineært likningssystem som utvidet matrise og radredusere det til trappeform og redusert trappeform med korrekt merkede radoperasjoner

1.1Gauss-eliminasjon: trappeform og merkede radoperasjoner

•avgjøre om et system har entydig, ingen eller uendelig mange løsninger og parametrisere løsningsmengden når den er uendelig

1.1Gauss-eliminasjon: trappeform og merkede radoperasjoner

•drøfte hvordan løsbarheten avhenger av en parameter i koeffisientene

1.1Gauss-eliminasjon: trappeform og merkede radoperasjoner

•avgjøre om vektorer er lineært uavhengige og om de danner en basis, ved å skrive dem som søyler og radredusere

1.2Basis, lineær uavhengighet, nullrom, søylerom og rang

•finne en basis for nullrommet og for søylerommet til en matrise, og bestemme rangen

1.2Basis, lineær uavhengighet, nullrom, søylerom og rang

•bruke rang–nullitet-setningen og utvide et uavhengig sett til en basis

1.2Basis, lineær uavhengighet, nullrom, søylerom og rang

•regne inversen til en matrise ved å radredusere [A | Iₙ] til [Iₙ | A⁻¹] med merkede radoperasjoner

1.3Invers matrise og inverterbarhetskriteriene

•avgjøre om en matrise er inverterbar ved hjelp av de ekvivalente inverterbarhetskriteriene

1.3Invers matrise og inverterbarhetskriteriene

•løse Ax = b ved x = A⁻¹b og gjenbruke inversen i senere delpunkter

1.3Invers matrise og inverterbarhetskriteriene

•avgjøre om en avbildning er lineær og finne standardmatrisen fra bildene av standardbasisvektorene

1.4Lineæravbildninger og løsbarhet av Ax = b

•knytte bilde til søylerom og kjerne til nullrom, og avgjøre om en lineæravbildning er injektiv, surjektiv og inverterbar

1.4Lineæravbildninger og løsbarhet av Ax = b

•drøfte parameteravhengig løsbarhet av Ax = b

1.4Lineæravbildninger og løsbarhet av Ax = b

•kjenne igjen hvilken av sjanger A-variantene en oppgave er, og stille opp riktig matrise

1.5Drill: radreduksjonspakken — basis · invers · parameter

•løse basis-, invers-, nullrom/rang- og parameterløsbarhetsoppgaver raskt med merket føring

1.5Drill: radreduksjonspakken — basis · invers · parameter

•kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers og konkludere med navngitte kriterier

1.5Drill: radreduksjonspakken — basis · invers · parameter

•løse sammensatte oppgaver i radreduksjon, basis, nullrom, rang og invers under tidspress

1.PPrøver til del 1: Lineær algebra og radreduksjon

•føre løsninger etter sensorstandarden med merkede radoperasjoner og navngitte kriterier

1.PPrøver til del 1: Lineær algebra og radreduksjon

•kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers, slik en O1-oppgave krever

1.PPrøver til del 1: Lineær algebra og radreduksjon

•regne partiellderiverte og sette sammen gradienten til en funksjon av flere variable

2.1Partiellderiverte, gradient og tangentplan

•bruke gradienten til retningsderivert og bratteste stigning

2.1Partiellderiverte, gradient og tangentplan

•sette opp tangentplan og linearisering og bruke dem til å anslå funksjonsverdier

2.1Partiellderiverte, gradient og tangentplan

•avgjøre om en grense i planet finnes ved å teste ulike baner

2.1Partiellderiverte, gradient og tangentplan

•sette opp Jacobi-matrisen til en vektorfunksjon med rad i lik gradienten til komponent i

2.2Jacobi-matrisen, kjerneregelen på matriseform og linearisering

•bruke kjerneregelen på matriseform med faktorene i riktig rekkefølge og riktig evalueringspunkt

2.2Jacobi-matrisen, kjerneregelen på matriseform og linearisering

•linearisere en vektorfunksjon og bruke det til anslag

2.2Jacobi-matrisen, kjerneregelen på matriseform og linearisering

•regne Jacobideterminanten og avgjøre hvor en funksjon er lokalt inverterbar

2.2Jacobi-matrisen, kjerneregelen på matriseform og linearisering

•bruke omvendt funksjonsteorem til å vise lokal inverterbarhet og finne Jacobi til den omvendte

2.3Omvendt og implisitt funksjonsteorem via Jacobi

•verifisere forutsetningene for implisitt funksjonsteorem i riktig rekkefølge og finne den deriverte

2.3Omvendt og implisitt funksjonsteorem via Jacobi

•bruke den flervariable og systemversjonen av implisitt funksjonsteorem

2.3Omvendt og implisitt funksjonsteorem via Jacobi

•koble et delpunkt til en invers regnet i et tidligere delpunkt

2.3Omvendt og implisitt funksjonsteorem via Jacobi

•løse eksamensrettede oppgaver på partiellderiverte, gradient, tangentplan og linearisering

2.PPrøver til del 2: Flervariabel differensiering og Jacobi

•regne Jacobi-matrise, determinant og kjerneregel og avgjøre lokal inverterbarhet

2.PPrøver til del 2: Flervariabel differensiering og Jacobi

•bruke omvendt og implisitt funksjonsteorem med korrekt forutsetningssjekk, teoremnavning og delpunkt-kjeding

2.PPrøver til del 2: Flervariabel differensiering og Jacobi

•finne alle stasjonære punkter ved å løse ∇f = 0 og redusere til én variabel uten å miste løsninger

3.1Stasjonære punkter og Hesse-klassifisering

•sette opp Hesse-matrisen eksplisitt og klassifisere med annenderiverttesten (D-testen)

3.1Stasjonære punkter og Hesse-klassifisering

•gjenkjenne når testen svikter (D = 0) og skille lokale fra globale ekstremum

3.1Stasjonære punkter og Hesse-klassifisering

•sette opp og løse Lagranges betingelse ∇f = λ∇g med bibetingelse, inkludert ∇g = 0-sjekken

3.2Lagrange, ∇g = 0-sjekk og ekstremalverdisetningen

•dele i tilfeller for å finne alle kandidatpunkter og evaluere f i hver

3.2Lagrange, ∇g = 0-sjekk og ekstremalverdisetningen

•begrunne eksistens av min/maks med ekstremalverdisetningen på en eksplisitt kompakt mengde, og vurdere når begrunnelse ikke kreves

3.2Lagrange, ∇g = 0-sjekk og ekstremalverdisetningen

•sette opp andreordens Taylor-polynom i to variable med gradient- og Hesse-ledd

3.3Taylor i flere variable

•regne ut Taylor-polynomet for konkrete funksjoner rundt et utviklingspunkt

3.3Taylor i flere variable

•forklare hvordan Hesse-leddet i et stasjonært punkt bestemmer klassifiseringen (kobling til kap. 3.1)

3.3Taylor i flere variable

•kjenne igjen om en oppgave krever fri, betinget eller kombinert (global på lukket område) optimering, og velge riktig algoritme

3.4Drill: optimeringspakken — Hesse og Lagrange på eksamensnivå

•føre Lagrange fullstendig med ∇g = 0-sjekk, tilfelledeling og evaluering av alle kandidater

3.4Drill: optimeringspakken — Hesse og Lagrange på eksamensnivå

•finne globale ekstremum på et lukket område ved å kombinere indre Hesse-analyse og rand-Lagrange

3.4Drill: optimeringspakken — Hesse og Lagrange på eksamensnivå

•løse sammensatte optimeringsoppgaver (fri, betinget og kombinert) under tidspress

3.PPrøver til del 3: Optimering

•føre løsninger etter sensorstandarden med eksplisitt Hesse, ∇g = 0-sjekk og evaluering av alle kandidater

3.PPrøver til del 3: Optimering

•begrunne eksistens av ekstremum med ekstremalverdisetningen på en eksplisitt kompakt mengde

3.PPrøver til del 3: Optimering

•sette opp og regne dobbeltintegral som iterert integral over type I- og type II-områder

4.1Dobbeltintegral over kurveavgrenset område

•finne skjæringspunkter og beskrive kurveavgrensede områder med eksplisitte ulikheter før oppsett

4.1Dobbeltintegral over kurveavgrenset område

•bytte integrasjonsrekkefølge (Fubini) når den ene veien ikke lar seg integrere, og regne volum mellom flater

4.1Dobbeltintegral over kurveavgrenset område

•bytte til polarkoordinater ved sirkelsymmetri og huske arealelementet dA = r dr dθ

4.2Polarkoordinater og variabelskifte med Jacobideterminant

•sette opp det generelle variabelskiftet med Jacobideterminant og absoluttverdi

4.2Polarkoordinater og variabelskifte med Jacobideterminant

•bruke ellipsekoordinater til å regne areal og integraler over ellipseområder

4.2Polarkoordinater og variabelskifte med Jacobideterminant

•sette opp trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater med riktig volumelement (r henholdsvis ρ²sinφ)

4.3Trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater

•velge koordinatsystem etter symmetri og løse skjæringen mellom to flater før oppsett

4.3Trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater

•beskrive romområdet med eksplisitte ulikheter og faktorisere integralet når integranden separerer

4.3Trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater

•definere uegentlige multiple integraler som grenser over en voksende følge kompakter

4.4Uegentlige multiple integraler: konvergens via voksende kompakter

•føre lim-beregningen eksplisitt (aldri «sette inn ∞») og avgjøre konvergens vs. divergens

4.4Uegentlige multiple integraler: konvergens via voksende kompakter

•velge kompakter etter symmetrien og regne radielle uegentlige integraler i polar/kulekoordinater

4.4Uegentlige multiple integraler: konvergens via voksende kompakter

•velge koordinatsystem etter symmetri og løse skjæringen mellom kurver/flater før oppsett

4.5Drill: multiple integraler — område, koordinatvalg og faktorisering

•føre dobbelt- og trippelintegral med riktig volumelement og faktorisering under tidspress

4.5Drill: multiple integraler — område, koordinatvalg og faktorisering

•avgjøre konvergens av uegentlige multiple integraler med voksende kompakter og lim-føring

4.5Drill: multiple integraler — område, koordinatvalg og faktorisering

•løse dobbelt- og trippelintegral over kurve-/flateavgrensede områder under tidspress

4.PPrøver til del 4: Multiple integraler

•velge koordinatsystem etter symmetri, løse skjæringen og føre med riktig volumelement

4.PPrøver til del 4: Multiple integraler

•avgjøre konvergens av uegentlige multiple integraler med voksende kompakter og eksplisitt lim

4.PPrøver til del 4: Multiple integraler

•parametrisere kurver og flater og regne hastighet, fart og buelengde

5.1Parametrisering av kurver og flater; det fundamentale vektorproduktet

•regne det fundamentale vektorproduktet ϕ_u × ϕ_v og lese av flateelement og normalvektor

5.1Parametrisering av kurver og flater; det fundamentale vektorproduktet

•velge fortegn på enhetsnormalen etter oppgitt orientering

5.1Parametrisering av kurver og flater; det fundamentale vektorproduktet

•gjenkjenne og bruke standardparametriseringene for graf, sylinder, kule og plan disk

5.1Parametrisering av kurver og flater; det fundamentale vektorproduktet

•regne linjeintegral av skalar- og vektorfelt ved parametrisering

5.2Linjeintegral og Greens teorem

•gjenkjenne konservative felt, finne potensial og bruke fundamentalteoremet for linjeintegral

5.2Linjeintegral og Greens teorem

•bruke Greens teorem med riktig orientering og redusere til et dobbeltintegral

5.2Linjeintegral og Greens teorem

•finne areal av et område via et linjeintegral (areal via Green)

5.2Linjeintegral og Greens teorem

•regne skalart flateintegral og flateareal med det fundamentale vektorproduktet

5.3Flateintegral: skalar ∫f dS og fluks ∫F·n dS

•regne fluks gjennom en orientert flate og gjøre fortegnskontrollen synlig

5.3Flateintegral: skalar ∫f dS og fluks ∫F·n dS

•bruke den geometriske snarveien for plane flater med konstant normal

5.3Flateintegral: skalar ∫f dS og fluks ∫F·n dS

•skille når absoluttverdi skal med (skalar) og ikke (fluks)

5.3Flateintegral: skalar ∫f dS og fluks ∫F·n dS

•regne divergensen til et vektorfelt og bruke Gauss' divergensteorem

5.4Gauss' divergensteorem (3D fluks)

•finne fluks gjennom en krum delflate via ∭div F dV minus den plane delen

5.4Gauss' divergensteorem (3D fluks)

•kontrollere at alle normaler peker ut av volumet på begge delflatene

5.4Gauss' divergensteorem (3D fluks)

•navngi teoremet og gjenbruke delsvar i den kjedede O6-oppgaven

5.4Gauss' divergensteorem (3D fluks)

•regne curl til et vektorfelt og bruke Stokes' teorem

5.5Stokes' teorem og curl

•koble randkurvens orientering til normalen med høyrehåndsregelen

5.5Stokes' teorem og curl

•gjenkjenne curl som et alt utregnet felt og la randbidrag der F=0 falle bort

5.5Stokes' teorem og curl

•se Greens teorem som et spesialtilfelle av Stokes i planet

5.5Stokes' teorem og curl

•gjennomføre hele den kjedede O6-oppgaven med fluks, divergensteorem og trippelintegral

5.6Drill: vektoranalyse-kjeden O6a–c

•fastsette og kontrollere at alle normaler peker ut av volumet

5.6Drill: vektoranalyse-kjeden O6a–c

•gjenbruke delsvar mellom deloppgavene (delpunkt-kjeding)

5.6Drill: vektoranalyse-kjeden O6a–c

•håndtere Stokes-varianten med curl og høyrehåndsregelen

5.6Drill: vektoranalyse-kjeden O6a–c 5.PPrøver til del 5: Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

•løse eksamensnære oppgaver i linjeintegral, Green, flateintegral og fluks under tidspress

5.PPrøver til del 5: Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

•bruke divergensteoremet til fluks gjennom en krum delflate med normalkontroll

5.PPrøver til del 5: Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

•gjennomføre den fulle O6-kjeden med delpunkt-kjeding og navngitte teoremer

5.PPrøver til del 5: Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

•finne egenverdiene til en 2×2- og 3×3-matrise ved å løse den karakteristiske likningen det(λI − A) = 0

6.1Egenverdier og egenvektorer

•bestemme egenvektorene og egenrommet til hver egenverdi ved radreduksjon av (A − λI)

6.1Egenverdier og egenvektorer

•bruke at summen av egenverdiene er sporet og produktet er determinanten som kontroll, og gjøre rede for algebraisk og geometrisk multiplisitet

6.1Egenverdier og egenvektorer

•diagonalisere en matrise ved å sette egenvektorene som søyler i P og egenverdiene i D, og avgjøre når det er mulig

6.2Diagonalisering, Aⁿ og lim Aⁿv (Markov)

•regne matrisepotenser Aⁿ = PDⁿP⁻¹ og skrive dem på lukket form

6.2Diagonalisering, Aⁿ og lim Aⁿv (Markov)

•bestemme langtidsgrensen lim Aⁿv ved egenvektordekomponering, og finne den stasjonære fordelingen til en Markov-matrise

6.2Diagonalisering, Aⁿ og lim Aⁿv (Markov)

•avgjøre om en tallrekke konvergerer med divergenstesten, geometrisk kriterium, p-rekker og de navngitte konvergenstestene

6.3Tallrekker og potensrekkers konvergensområde

•finne konvergensradiusen til en potensrekke med forholds- eller rottesten

6.3Tallrekker og potensrekkers konvergensområde

•bestemme det fulle konvergensområdet ved å undersøke begge endepunkter separat

6.3Tallrekker og potensrekkers konvergensområde

•finne en lukket sum for en potensrekke ved å manipulere den mot en standardrekke fra formelsamlingen

6.4Summering av potensrekker

•bruke leddvis derivasjon og integrasjon innenfor konvergensradiusen, med korrekt bestemt integrasjonskonstant

6.4Summering av potensrekker

•lese av en tallrekkesum ved å sette inn en tallverdi i konvergensområdet

6.4Summering av potensrekker

•vise at en avbildning er en kontraksjon ved at en matrisenorm eller spektralradiusen er mindre enn 1

6.5Kontraksjon, fikspunkt og Newtons metode i flere variable

•bruke fikspunktprinsippet til å konkludere med et entydig fikspunkt og at iterasjonen konvergerer

6.5Kontraksjon, fikspunkt og Newtons metode i flere variable

•utføre ett–to steg av Newtons metode for et system ved hjelp av Jacobi-matrisen

6.5Kontraksjon, fikspunkt og Newtons metode i flere variable

•løse separable første ordens differensiallikninger ved å skille variablene og integrere, og finne konstantløsningene

6.6Differensiallikninger: separable og lineære første ordens

•løse lineære første ordens likninger med integrerende faktor

6.6Differensiallikninger: separable og lineære første ordens

•løse initialverdiproblemer og verifisere løsningen ved innsetting

6.6Differensiallikninger: separable og lineære første ordens

•løse sammensatte oppgaver i egenverdier, langtidsgrenser, potensrekker, kontraksjon/Newton og differensiallikninger under tidspress

6.PPrøver til del 6: Beredskap: egenverdier og potensrekker

•føre løsninger etter sensorstandarden med navngitte teoremer, egenvektordekomponering og eksakte svar

6.PPrøver til del 6: Beredskap: egenverdier og potensrekker

•vurdere egen mestring av beredskapsdelen med selvdiagnose

6.PPrøver til del 6: Beredskap: egenverdier og potensrekker

•føre en løsning slik sensor krever: navngi teoremene som bærer argumentet, merke radoperasjoner, skrive grenser som ulikheter og gi eksakte svar

7.1Føringsstandarden: slik skriver du en A-besvarelse

•gjøre de sjangerspesifikke kontrollene ($\nabla g=0$-sjekk, eksistens på kompakt mengde, fortegns-/orienteringskontroll, endepunktsjekk) på rett sted

7.1Føringsstandarden: slik skriver du en A-besvarelse

•utnytte kjedingen mellom delpunkter ved å gjenbruke tidligere delsvar

7.1Føringsstandarden: slik skriver du en A-besvarelse

•gjennomføre et komplett midtsemestersett uten hjelpemidler i radreduksjon, egenverdier, tangentplan, implisitt funksjonsteorem og Hesse-klassifisering

7.2Midtveissimulering: lineær algebra og flervariabel (uten hjelpemidler)

•føre hver løsning etter sensorstandarden med merkede radoperasjoner, navngitte teoremer og eksakte svar

7.2Midtveissimulering: lineær algebra og flervariabel (uten hjelpemidler)

•kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers

7.2Midtveissimulering: lineær algebra og flervariabel (uten hjelpemidler)

•gjennomføre et komplett avsluttende sett etter V2025-malen med kjedede delpunkter under tidspress

7.3Avsluttende simulering 1: V2025-regimet (vektoranalyse-tung)

•føre vektoranalyse-kjeden med fortegns-/orienteringskontroll og navngitt divergensteorem

7.3Avsluttende simulering 1: V2025-regimet (vektoranalyse-tung)

•utnytte delpunkt-kjeding ved å gjenbruke inversen fra O1a og fluks/volumintegral fra O6a–b i O6c

7.3Avsluttende simulering 1: V2025-regimet (vektoranalyse-tung)

•gjennomføre et komplett avsluttende sett i beredskapsregimet (egenverdier, potensrekker, Green, Stokes)

7.4Avsluttende simulering 2: gammelt regime (egenverdier + potensrekker)

•føre egenvektordekomponering, endepunktsjekk, Jacobideterminant og kontraksjonsargument etter sensorstandarden

7.4Avsluttende simulering 2: gammelt regime (egenverdier + potensrekker)

•gjenkjenne når historiske ryggradstemaer må holdes varme som beredskap tross regimeskiftet

7.4Avsluttende simulering 2: gammelt regime (egenverdier + potensrekker)

Kapitler med kompetansemål

0Eksamenskartet

0.1Eksamenskartet: to prøver og regimeskiftet 2025

gjøre rede for hvordan MAT1110 vurderes gjennom en midtsemesterprøve uten hjelpemidler og en avsluttende langsvarsprøve
forklare regimeskiftet fra 2025 og hva det betyr for hva du bør prioritere
lese en temafrekvens-oversikt og oversette den til en realistisk lese- og repetisjonsplan
legge en to-spors lesestrategi som dekker både det nye vektoranalyse-regimet og beredskapsstoffet

1Lineær algebra og radreduksjon

1.1Gauss-eliminasjon: trappeform og merkede radoperasjoner

føre et lineært likningssystem som utvidet matrise og radredusere det til trappeform og redusert trappeform med korrekt merkede radoperasjoner
avgjøre om et system har entydig, ingen eller uendelig mange løsninger og parametrisere løsningsmengden når den er uendelig
drøfte hvordan løsbarheten avhenger av en parameter i koeffisientene

1.2Basis, lineær uavhengighet, nullrom, søylerom og rang

avgjøre om vektorer er lineært uavhengige og om de danner en basis, ved å skrive dem som søyler og radredusere
finne en basis for nullrommet og for søylerommet til en matrise, og bestemme rangen
bruke rang–nullitet-setningen og utvide et uavhengig sett til en basis

1.3Invers matrise og inverterbarhetskriteriene

regne inversen til en matrise ved å radredusere [A | Iₙ] til [Iₙ | A⁻¹] med merkede radoperasjoner
avgjøre om en matrise er inverterbar ved hjelp av de ekvivalente inverterbarhetskriteriene
løse Ax = b ved x = A⁻¹b og gjenbruke inversen i senere delpunkter

1.4Lineæravbildninger og løsbarhet av Ax = b

avgjøre om en avbildning er lineær og finne standardmatrisen fra bildene av standardbasisvektorene
knytte bilde til søylerom og kjerne til nullrom, og avgjøre om en lineæravbildning er injektiv, surjektiv og inverterbar
drøfte parameteravhengig løsbarhet av Ax = b

1.5Drill: radreduksjonspakken — basis · invers · parameter

kjenne igjen hvilken av sjanger A-variantene en oppgave er, og stille opp riktig matrise
løse basis-, invers-, nullrom/rang- og parameterløsbarhetsoppgaver raskt med merket føring
kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers og konkludere med navngitte kriterier

1.PPrøver til del 1: Lineær algebra og radreduksjon

løse sammensatte oppgaver i radreduksjon, basis, nullrom, rang og invers under tidspress
føre løsninger etter sensorstandarden med merkede radoperasjoner og navngitte kriterier
kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers, slik en O1-oppgave krever

2Flervariabel differensiering og Jacobi

2.1Partiellderiverte, gradient og tangentplan

regne partiellderiverte og sette sammen gradienten til en funksjon av flere variable
bruke gradienten til retningsderivert og bratteste stigning
sette opp tangentplan og linearisering og bruke dem til å anslå funksjonsverdier
avgjøre om en grense i planet finnes ved å teste ulike baner

2.2Jacobi-matrisen, kjerneregelen på matriseform og linearisering

sette opp Jacobi-matrisen til en vektorfunksjon med rad i lik gradienten til komponent i
bruke kjerneregelen på matriseform med faktorene i riktig rekkefølge og riktig evalueringspunkt
linearisere en vektorfunksjon og bruke det til anslag
regne Jacobideterminanten og avgjøre hvor en funksjon er lokalt inverterbar

2.3Omvendt og implisitt funksjonsteorem via Jacobi

bruke omvendt funksjonsteorem til å vise lokal inverterbarhet og finne Jacobi til den omvendte
verifisere forutsetningene for implisitt funksjonsteorem i riktig rekkefølge og finne den deriverte
bruke den flervariable og systemversjonen av implisitt funksjonsteorem
koble et delpunkt til en invers regnet i et tidligere delpunkt

2.PPrøver til del 2: Flervariabel differensiering og Jacobi

løse eksamensrettede oppgaver på partiellderiverte, gradient, tangentplan og linearisering
regne Jacobi-matrise, determinant og kjerneregel og avgjøre lokal inverterbarhet
bruke omvendt og implisitt funksjonsteorem med korrekt forutsetningssjekk, teoremnavning og delpunkt-kjeding

3Optimering

3.1Stasjonære punkter og Hesse-klassifisering

finne alle stasjonære punkter ved å løse ∇f = 0 og redusere til én variabel uten å miste løsninger
sette opp Hesse-matrisen eksplisitt og klassifisere med annenderiverttesten (D-testen)
gjenkjenne når testen svikter (D = 0) og skille lokale fra globale ekstremum

3.2Lagrange, ∇g = 0-sjekk og ekstremalverdisetningen

sette opp og løse Lagranges betingelse ∇f = λ∇g med bibetingelse, inkludert ∇g = 0-sjekken
dele i tilfeller for å finne alle kandidatpunkter og evaluere f i hver
begrunne eksistens av min/maks med ekstremalverdisetningen på en eksplisitt kompakt mengde, og vurdere når begrunnelse ikke kreves

3.3Taylor i flere variable

sette opp andreordens Taylor-polynom i to variable med gradient- og Hesse-ledd
regne ut Taylor-polynomet for konkrete funksjoner rundt et utviklingspunkt
forklare hvordan Hesse-leddet i et stasjonært punkt bestemmer klassifiseringen (kobling til kap. 3.1)

3.4Drill: optimeringspakken — Hesse og Lagrange på eksamensnivå

kjenne igjen om en oppgave krever fri, betinget eller kombinert (global på lukket område) optimering, og velge riktig algoritme
føre Lagrange fullstendig med ∇g = 0-sjekk, tilfelledeling og evaluering av alle kandidater
finne globale ekstremum på et lukket område ved å kombinere indre Hesse-analyse og rand-Lagrange

3.PPrøver til del 3: Optimering

løse sammensatte optimeringsoppgaver (fri, betinget og kombinert) under tidspress
føre løsninger etter sensorstandarden med eksplisitt Hesse, ∇g = 0-sjekk og evaluering av alle kandidater
begrunne eksistens av ekstremum med ekstremalverdisetningen på en eksplisitt kompakt mengde

4Multiple integraler

4.1Dobbeltintegral over kurveavgrenset område

sette opp og regne dobbeltintegral som iterert integral over type I- og type II-områder
finne skjæringspunkter og beskrive kurveavgrensede områder med eksplisitte ulikheter før oppsett
bytte integrasjonsrekkefølge (Fubini) når den ene veien ikke lar seg integrere, og regne volum mellom flater

4.2Polarkoordinater og variabelskifte med Jacobideterminant

bytte til polarkoordinater ved sirkelsymmetri og huske arealelementet dA = r dr dθ
sette opp det generelle variabelskiftet med Jacobideterminant og absoluttverdi
bruke ellipsekoordinater til å regne areal og integraler over ellipseområder

4.3Trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater

sette opp trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater med riktig volumelement (r henholdsvis ρ²sinφ)
velge koordinatsystem etter symmetri og løse skjæringen mellom to flater før oppsett
beskrive romområdet med eksplisitte ulikheter og faktorisere integralet når integranden separerer

4.4Uegentlige multiple integraler: konvergens via voksende kompakter

definere uegentlige multiple integraler som grenser over en voksende følge kompakter
føre lim-beregningen eksplisitt (aldri «sette inn ∞») og avgjøre konvergens vs. divergens
velge kompakter etter symmetrien og regne radielle uegentlige integraler i polar/kulekoordinater

4.5Drill: multiple integraler — område, koordinatvalg og faktorisering

velge koordinatsystem etter symmetri og løse skjæringen mellom kurver/flater før oppsett
føre dobbelt- og trippelintegral med riktig volumelement og faktorisering under tidspress
avgjøre konvergens av uegentlige multiple integraler med voksende kompakter og lim-føring

4.PPrøver til del 4: Multiple integraler

løse dobbelt- og trippelintegral over kurve-/flateavgrensede områder under tidspress
velge koordinatsystem etter symmetri, løse skjæringen og føre med riktig volumelement
avgjøre konvergens av uegentlige multiple integraler med voksende kompakter og eksplisitt lim

5Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

5.1Parametrisering av kurver og flater; det fundamentale vektorproduktet

parametrisere kurver og flater og regne hastighet, fart og buelengde
regne det fundamentale vektorproduktet ϕ_u × ϕ_v og lese av flateelement og normalvektor
velge fortegn på enhetsnormalen etter oppgitt orientering
gjenkjenne og bruke standardparametriseringene for graf, sylinder, kule og plan disk

5.2Linjeintegral og Greens teorem

regne linjeintegral av skalar- og vektorfelt ved parametrisering
gjenkjenne konservative felt, finne potensial og bruke fundamentalteoremet for linjeintegral
bruke Greens teorem med riktig orientering og redusere til et dobbeltintegral
finne areal av et område via et linjeintegral (areal via Green)

5.3Flateintegral: skalar ∫f dS og fluks ∫F·n dS

regne skalart flateintegral og flateareal med det fundamentale vektorproduktet
regne fluks gjennom en orientert flate og gjøre fortegnskontrollen synlig
bruke den geometriske snarveien for plane flater med konstant normal
skille når absoluttverdi skal med (skalar) og ikke (fluks)

5.4Gauss' divergensteorem (3D fluks)

regne divergensen til et vektorfelt og bruke Gauss' divergensteorem
finne fluks gjennom en krum delflate via ∭div F dV minus den plane delen
kontrollere at alle normaler peker ut av volumet på begge delflatene
navngi teoremet og gjenbruke delsvar i den kjedede O6-oppgaven

5.5Stokes' teorem og curl

regne curl til et vektorfelt og bruke Stokes' teorem
koble randkurvens orientering til normalen med høyrehåndsregelen
gjenkjenne curl som et alt utregnet felt og la randbidrag der F=0 falle bort
se Greens teorem som et spesialtilfelle av Stokes i planet

5.6Drill: vektoranalyse-kjeden O6a–c

gjennomføre hele den kjedede O6-oppgaven med fluks, divergensteorem og trippelintegral
fastsette og kontrollere at alle normaler peker ut av volumet
gjenbruke delsvar mellom deloppgavene (delpunkt-kjeding)
håndtere Stokes-varianten med curl og høyrehåndsregelen

5.PPrøver til del 5: Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

løse eksamensnære oppgaver i linjeintegral, Green, flateintegral og fluks under tidspress
bruke divergensteoremet til fluks gjennom en krum delflate med normalkontroll
gjennomføre den fulle O6-kjeden med delpunkt-kjeding og navngitte teoremer
håndtere Stokes-varianten med curl og høyrehåndsregelen

6Beredskap: egenverdier og potensrekker

6.1Egenverdier og egenvektorer

finne egenverdiene til en 2×2- og 3×3-matrise ved å løse den karakteristiske likningen det(λI − A) = 0
bestemme egenvektorene og egenrommet til hver egenverdi ved radreduksjon av (A − λI)
bruke at summen av egenverdiene er sporet og produktet er determinanten som kontroll, og gjøre rede for algebraisk og geometrisk multiplisitet

6.2Diagonalisering, Aⁿ og lim Aⁿv (Markov)

diagonalisere en matrise ved å sette egenvektorene som søyler i P og egenverdiene i D, og avgjøre når det er mulig
regne matrisepotenser Aⁿ = PDⁿP⁻¹ og skrive dem på lukket form
bestemme langtidsgrensen lim Aⁿv ved egenvektordekomponering, og finne den stasjonære fordelingen til en Markov-matrise

6.3Tallrekker og potensrekkers konvergensområde

avgjøre om en tallrekke konvergerer med divergenstesten, geometrisk kriterium, p-rekker og de navngitte konvergenstestene
finne konvergensradiusen til en potensrekke med forholds- eller rottesten
bestemme det fulle konvergensområdet ved å undersøke begge endepunkter separat

6.4Summering av potensrekker

finne en lukket sum for en potensrekke ved å manipulere den mot en standardrekke fra formelsamlingen
bruke leddvis derivasjon og integrasjon innenfor konvergensradiusen, med korrekt bestemt integrasjonskonstant
lese av en tallrekkesum ved å sette inn en tallverdi i konvergensområdet

6.5Kontraksjon, fikspunkt og Newtons metode i flere variable

vise at en avbildning er en kontraksjon ved at en matrisenorm eller spektralradiusen er mindre enn 1
bruke fikspunktprinsippet til å konkludere med et entydig fikspunkt og at iterasjonen konvergerer
utføre ett–to steg av Newtons metode for et system ved hjelp av Jacobi-matrisen

6.6Differensiallikninger: separable og lineære første ordens

løse separable første ordens differensiallikninger ved å skille variablene og integrere, og finne konstantløsningene
løse lineære første ordens likninger med integrerende faktor
løse initialverdiproblemer og verifisere løsningen ved innsetting

6.PPrøver til del 6: Beredskap: egenverdier og potensrekker

løse sammensatte oppgaver i egenverdier, langtidsgrenser, potensrekker, kontraksjon/Newton og differensiallikninger under tidspress
føre løsninger etter sensorstandarden med navngitte teoremer, egenvektordekomponering og eksakte svar
vurdere egen mestring av beredskapsdelen med selvdiagnose

7Eksamenstrening

7.1Føringsstandarden: slik skriver du en A-besvarelse

føre en løsning slik sensor krever: navngi teoremene som bærer argumentet, merke radoperasjoner, skrive grenser som ulikheter og gi eksakte svar
gjøre de sjangerspesifikke kontrollene ($\nabla g=0$-sjekk, eksistens på kompakt mengde, fortegns-/orienteringskontroll, endepunktsjekk) på rett sted
utnytte kjedingen mellom delpunkter ved å gjenbruke tidligere delsvar

7.2Midtveissimulering: lineær algebra og flervariabel (uten hjelpemidler)

gjennomføre et komplett midtsemestersett uten hjelpemidler i radreduksjon, egenverdier, tangentplan, implisitt funksjonsteorem og Hesse-klassifisering
føre hver løsning etter sensorstandarden med merkede radoperasjoner, navngitte teoremer og eksakte svar
kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers

7.3Avsluttende simulering 1: V2025-regimet (vektoranalyse-tung)

gjennomføre et komplett avsluttende sett etter V2025-malen med kjedede delpunkter under tidspress
føre vektoranalyse-kjeden med fortegns-/orienteringskontroll og navngitt divergensteorem
utnytte delpunkt-kjeding ved å gjenbruke inversen fra O1a og fluks/volumintegral fra O6a–b i O6c

7.4Avsluttende simulering 2: gammelt regime (egenverdier + potensrekker)

gjennomføre et komplett avsluttende sett i beredskapsregimet (egenverdier, potensrekker, Green, Stokes)
føre egenvektordekomponering, endepunktsjekk, Jacobideterminant og kontraksjonsargument etter sensorstandarden
gjenkjenne når historiske ryggradstemaer må holdes varme som beredskap tross regimeskiftet

Tilbake til MAT1110 Kalkulus og lineær algebra

Læringsmål

Oversikt over læringsmål dekket i MAT1110 Kalkulus og lineær algebra

Kilde: Læringsmålene er utformet av Skolesaga på grunnlag av emnets eksamensoppgaver, sensorveiledninger og emnebeskrivelse. De er ikke institusjonens offisielle læringsutbyttebeskrivelser.

130 kompetansemål40 av 40 kapitler har kompetansemål

Alle kompetansemål

•gjøre rede for hvordan MAT1110 vurderes gjennom en midtsemesterprøve uten hjelpemidler og en avsluttende langsvarsprøve

0.1Eksamenskartet: to prøver og regimeskiftet 2025

•forklare regimeskiftet fra 2025 og hva det betyr for hva du bør prioritere

0.1Eksamenskartet: to prøver og regimeskiftet 2025

•lese en temafrekvens-oversikt og oversette den til en realistisk lese- og repetisjonsplan

0.1Eksamenskartet: to prøver og regimeskiftet 2025

•legge en to-spors lesestrategi som dekker både det nye vektoranalyse-regimet og beredskapsstoffet

0.1Eksamenskartet: to prøver og regimeskiftet 2025

•føre et lineært likningssystem som utvidet matrise og radredusere det til trappeform og redusert trappeform med korrekt merkede radoperasjoner

1.1Gauss-eliminasjon: trappeform og merkede radoperasjoner

•avgjøre om et system har entydig, ingen eller uendelig mange løsninger og parametrisere løsningsmengden når den er uendelig

1.1Gauss-eliminasjon: trappeform og merkede radoperasjoner

•drøfte hvordan løsbarheten avhenger av en parameter i koeffisientene

1.1Gauss-eliminasjon: trappeform og merkede radoperasjoner

•avgjøre om vektorer er lineært uavhengige og om de danner en basis, ved å skrive dem som søyler og radredusere

1.2Basis, lineær uavhengighet, nullrom, søylerom og rang

•finne en basis for nullrommet og for søylerommet til en matrise, og bestemme rangen

1.2Basis, lineær uavhengighet, nullrom, søylerom og rang

•bruke rang–nullitet-setningen og utvide et uavhengig sett til en basis

1.2Basis, lineær uavhengighet, nullrom, søylerom og rang

•regne inversen til en matrise ved å radredusere [A | Iₙ] til [Iₙ | A⁻¹] med merkede radoperasjoner

1.3Invers matrise og inverterbarhetskriteriene

•avgjøre om en matrise er inverterbar ved hjelp av de ekvivalente inverterbarhetskriteriene

1.3Invers matrise og inverterbarhetskriteriene

•løse Ax = b ved x = A⁻¹b og gjenbruke inversen i senere delpunkter

1.3Invers matrise og inverterbarhetskriteriene

•avgjøre om en avbildning er lineær og finne standardmatrisen fra bildene av standardbasisvektorene

1.4Lineæravbildninger og løsbarhet av Ax = b

•knytte bilde til søylerom og kjerne til nullrom, og avgjøre om en lineæravbildning er injektiv, surjektiv og inverterbar

1.4Lineæravbildninger og løsbarhet av Ax = b

•drøfte parameteravhengig løsbarhet av Ax = b

1.4Lineæravbildninger og løsbarhet av Ax = b

•kjenne igjen hvilken av sjanger A-variantene en oppgave er, og stille opp riktig matrise

1.5Drill: radreduksjonspakken — basis · invers · parameter

•løse basis-, invers-, nullrom/rang- og parameterløsbarhetsoppgaver raskt med merket føring

1.5Drill: radreduksjonspakken — basis · invers · parameter

•kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers og konkludere med navngitte kriterier

1.5Drill: radreduksjonspakken — basis · invers · parameter

•løse sammensatte oppgaver i radreduksjon, basis, nullrom, rang og invers under tidspress

1.PPrøver til del 1: Lineær algebra og radreduksjon

•føre løsninger etter sensorstandarden med merkede radoperasjoner og navngitte kriterier

1.PPrøver til del 1: Lineær algebra og radreduksjon

•kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers, slik en O1-oppgave krever

1.PPrøver til del 1: Lineær algebra og radreduksjon

•regne partiellderiverte og sette sammen gradienten til en funksjon av flere variable

2.1Partiellderiverte, gradient og tangentplan

•bruke gradienten til retningsderivert og bratteste stigning

2.1Partiellderiverte, gradient og tangentplan

•sette opp tangentplan og linearisering og bruke dem til å anslå funksjonsverdier

2.1Partiellderiverte, gradient og tangentplan

•avgjøre om en grense i planet finnes ved å teste ulike baner

2.1Partiellderiverte, gradient og tangentplan

•sette opp Jacobi-matrisen til en vektorfunksjon med rad i lik gradienten til komponent i

2.2Jacobi-matrisen, kjerneregelen på matriseform og linearisering

•bruke kjerneregelen på matriseform med faktorene i riktig rekkefølge og riktig evalueringspunkt

2.2Jacobi-matrisen, kjerneregelen på matriseform og linearisering

•linearisere en vektorfunksjon og bruke det til anslag

2.2Jacobi-matrisen, kjerneregelen på matriseform og linearisering

•regne Jacobideterminanten og avgjøre hvor en funksjon er lokalt inverterbar

2.2Jacobi-matrisen, kjerneregelen på matriseform og linearisering

•bruke omvendt funksjonsteorem til å vise lokal inverterbarhet og finne Jacobi til den omvendte

2.3Omvendt og implisitt funksjonsteorem via Jacobi

•verifisere forutsetningene for implisitt funksjonsteorem i riktig rekkefølge og finne den deriverte

2.3Omvendt og implisitt funksjonsteorem via Jacobi

•bruke den flervariable og systemversjonen av implisitt funksjonsteorem

2.3Omvendt og implisitt funksjonsteorem via Jacobi

•koble et delpunkt til en invers regnet i et tidligere delpunkt

2.3Omvendt og implisitt funksjonsteorem via Jacobi

•løse eksamensrettede oppgaver på partiellderiverte, gradient, tangentplan og linearisering

2.PPrøver til del 2: Flervariabel differensiering og Jacobi

•regne Jacobi-matrise, determinant og kjerneregel og avgjøre lokal inverterbarhet

2.PPrøver til del 2: Flervariabel differensiering og Jacobi

•bruke omvendt og implisitt funksjonsteorem med korrekt forutsetningssjekk, teoremnavning og delpunkt-kjeding

2.PPrøver til del 2: Flervariabel differensiering og Jacobi

•finne alle stasjonære punkter ved å løse ∇f = 0 og redusere til én variabel uten å miste løsninger

3.1Stasjonære punkter og Hesse-klassifisering

•sette opp Hesse-matrisen eksplisitt og klassifisere med annenderiverttesten (D-testen)

3.1Stasjonære punkter og Hesse-klassifisering

•gjenkjenne når testen svikter (D = 0) og skille lokale fra globale ekstremum

3.1Stasjonære punkter og Hesse-klassifisering

•sette opp og løse Lagranges betingelse ∇f = λ∇g med bibetingelse, inkludert ∇g = 0-sjekken

3.2Lagrange, ∇g = 0-sjekk og ekstremalverdisetningen

•dele i tilfeller for å finne alle kandidatpunkter og evaluere f i hver

3.2Lagrange, ∇g = 0-sjekk og ekstremalverdisetningen

•begrunne eksistens av min/maks med ekstremalverdisetningen på en eksplisitt kompakt mengde, og vurdere når begrunnelse ikke kreves

3.2Lagrange, ∇g = 0-sjekk og ekstremalverdisetningen

•sette opp andreordens Taylor-polynom i to variable med gradient- og Hesse-ledd

3.3Taylor i flere variable

•regne ut Taylor-polynomet for konkrete funksjoner rundt et utviklingspunkt

3.3Taylor i flere variable

•forklare hvordan Hesse-leddet i et stasjonært punkt bestemmer klassifiseringen (kobling til kap. 3.1)

3.3Taylor i flere variable

•kjenne igjen om en oppgave krever fri, betinget eller kombinert (global på lukket område) optimering, og velge riktig algoritme

3.4Drill: optimeringspakken — Hesse og Lagrange på eksamensnivå

•føre Lagrange fullstendig med ∇g = 0-sjekk, tilfelledeling og evaluering av alle kandidater

3.4Drill: optimeringspakken — Hesse og Lagrange på eksamensnivå

•finne globale ekstremum på et lukket område ved å kombinere indre Hesse-analyse og rand-Lagrange

3.4Drill: optimeringspakken — Hesse og Lagrange på eksamensnivå

•løse sammensatte optimeringsoppgaver (fri, betinget og kombinert) under tidspress

3.PPrøver til del 3: Optimering

•føre løsninger etter sensorstandarden med eksplisitt Hesse, ∇g = 0-sjekk og evaluering av alle kandidater

3.PPrøver til del 3: Optimering

•begrunne eksistens av ekstremum med ekstremalverdisetningen på en eksplisitt kompakt mengde

3.PPrøver til del 3: Optimering

•sette opp og regne dobbeltintegral som iterert integral over type I- og type II-områder

4.1Dobbeltintegral over kurveavgrenset område

•finne skjæringspunkter og beskrive kurveavgrensede områder med eksplisitte ulikheter før oppsett

4.1Dobbeltintegral over kurveavgrenset område

•bytte integrasjonsrekkefølge (Fubini) når den ene veien ikke lar seg integrere, og regne volum mellom flater

4.1Dobbeltintegral over kurveavgrenset område

•bytte til polarkoordinater ved sirkelsymmetri og huske arealelementet dA = r dr dθ

4.2Polarkoordinater og variabelskifte med Jacobideterminant

•sette opp det generelle variabelskiftet med Jacobideterminant og absoluttverdi

4.2Polarkoordinater og variabelskifte med Jacobideterminant

•bruke ellipsekoordinater til å regne areal og integraler over ellipseområder

4.2Polarkoordinater og variabelskifte med Jacobideterminant

•sette opp trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater med riktig volumelement (r henholdsvis ρ²sinφ)

4.3Trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater

•velge koordinatsystem etter symmetri og løse skjæringen mellom to flater før oppsett

4.3Trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater

•beskrive romområdet med eksplisitte ulikheter og faktorisere integralet når integranden separerer

4.3Trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater

•definere uegentlige multiple integraler som grenser over en voksende følge kompakter

4.4Uegentlige multiple integraler: konvergens via voksende kompakter

•føre lim-beregningen eksplisitt (aldri «sette inn ∞») og avgjøre konvergens vs. divergens

4.4Uegentlige multiple integraler: konvergens via voksende kompakter

•velge kompakter etter symmetrien og regne radielle uegentlige integraler i polar/kulekoordinater

4.4Uegentlige multiple integraler: konvergens via voksende kompakter

•velge koordinatsystem etter symmetri og løse skjæringen mellom kurver/flater før oppsett

4.5Drill: multiple integraler — område, koordinatvalg og faktorisering

•føre dobbelt- og trippelintegral med riktig volumelement og faktorisering under tidspress

4.5Drill: multiple integraler — område, koordinatvalg og faktorisering

•avgjøre konvergens av uegentlige multiple integraler med voksende kompakter og lim-føring

4.5Drill: multiple integraler — område, koordinatvalg og faktorisering

•løse dobbelt- og trippelintegral over kurve-/flateavgrensede områder under tidspress

4.PPrøver til del 4: Multiple integraler

•velge koordinatsystem etter symmetri, løse skjæringen og føre med riktig volumelement

4.PPrøver til del 4: Multiple integraler

•avgjøre konvergens av uegentlige multiple integraler med voksende kompakter og eksplisitt lim

4.PPrøver til del 4: Multiple integraler

•parametrisere kurver og flater og regne hastighet, fart og buelengde

5.1Parametrisering av kurver og flater; det fundamentale vektorproduktet

•regne det fundamentale vektorproduktet ϕ_u × ϕ_v og lese av flateelement og normalvektor

5.1Parametrisering av kurver og flater; det fundamentale vektorproduktet

•velge fortegn på enhetsnormalen etter oppgitt orientering

5.1Parametrisering av kurver og flater; det fundamentale vektorproduktet

•gjenkjenne og bruke standardparametriseringene for graf, sylinder, kule og plan disk

5.1Parametrisering av kurver og flater; det fundamentale vektorproduktet

•regne linjeintegral av skalar- og vektorfelt ved parametrisering

5.2Linjeintegral og Greens teorem

•gjenkjenne konservative felt, finne potensial og bruke fundamentalteoremet for linjeintegral

5.2Linjeintegral og Greens teorem

•bruke Greens teorem med riktig orientering og redusere til et dobbeltintegral

5.2Linjeintegral og Greens teorem

•finne areal av et område via et linjeintegral (areal via Green)

5.2Linjeintegral og Greens teorem

•regne skalart flateintegral og flateareal med det fundamentale vektorproduktet

5.3Flateintegral: skalar ∫f dS og fluks ∫F·n dS

•regne fluks gjennom en orientert flate og gjøre fortegnskontrollen synlig

5.3Flateintegral: skalar ∫f dS og fluks ∫F·n dS

•bruke den geometriske snarveien for plane flater med konstant normal

5.3Flateintegral: skalar ∫f dS og fluks ∫F·n dS

•skille når absoluttverdi skal med (skalar) og ikke (fluks)

5.3Flateintegral: skalar ∫f dS og fluks ∫F·n dS

•regne divergensen til et vektorfelt og bruke Gauss' divergensteorem

5.4Gauss' divergensteorem (3D fluks)

•finne fluks gjennom en krum delflate via ∭div F dV minus den plane delen

5.4Gauss' divergensteorem (3D fluks)

•kontrollere at alle normaler peker ut av volumet på begge delflatene

5.4Gauss' divergensteorem (3D fluks)

•navngi teoremet og gjenbruke delsvar i den kjedede O6-oppgaven

5.4Gauss' divergensteorem (3D fluks)

•regne curl til et vektorfelt og bruke Stokes' teorem

5.5Stokes' teorem og curl

•koble randkurvens orientering til normalen med høyrehåndsregelen

5.5Stokes' teorem og curl

•gjenkjenne curl som et alt utregnet felt og la randbidrag der F=0 falle bort

5.5Stokes' teorem og curl

•se Greens teorem som et spesialtilfelle av Stokes i planet

5.5Stokes' teorem og curl

•gjennomføre hele den kjedede O6-oppgaven med fluks, divergensteorem og trippelintegral

5.6Drill: vektoranalyse-kjeden O6a–c

•fastsette og kontrollere at alle normaler peker ut av volumet

5.6Drill: vektoranalyse-kjeden O6a–c

•gjenbruke delsvar mellom deloppgavene (delpunkt-kjeding)

5.6Drill: vektoranalyse-kjeden O6a–c

•håndtere Stokes-varianten med curl og høyrehåndsregelen

5.6Drill: vektoranalyse-kjeden O6a–c 5.PPrøver til del 5: Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

•løse eksamensnære oppgaver i linjeintegral, Green, flateintegral og fluks under tidspress

5.PPrøver til del 5: Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

•bruke divergensteoremet til fluks gjennom en krum delflate med normalkontroll

5.PPrøver til del 5: Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

•gjennomføre den fulle O6-kjeden med delpunkt-kjeding og navngitte teoremer

5.PPrøver til del 5: Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

•finne egenverdiene til en 2×2- og 3×3-matrise ved å løse den karakteristiske likningen det(λI − A) = 0

6.1Egenverdier og egenvektorer

•bestemme egenvektorene og egenrommet til hver egenverdi ved radreduksjon av (A − λI)

6.1Egenverdier og egenvektorer

•bruke at summen av egenverdiene er sporet og produktet er determinanten som kontroll, og gjøre rede for algebraisk og geometrisk multiplisitet

6.1Egenverdier og egenvektorer

•diagonalisere en matrise ved å sette egenvektorene som søyler i P og egenverdiene i D, og avgjøre når det er mulig

6.2Diagonalisering, Aⁿ og lim Aⁿv (Markov)

•regne matrisepotenser Aⁿ = PDⁿP⁻¹ og skrive dem på lukket form

6.2Diagonalisering, Aⁿ og lim Aⁿv (Markov)

•bestemme langtidsgrensen lim Aⁿv ved egenvektordekomponering, og finne den stasjonære fordelingen til en Markov-matrise

6.2Diagonalisering, Aⁿ og lim Aⁿv (Markov)

•avgjøre om en tallrekke konvergerer med divergenstesten, geometrisk kriterium, p-rekker og de navngitte konvergenstestene

6.3Tallrekker og potensrekkers konvergensområde

•finne konvergensradiusen til en potensrekke med forholds- eller rottesten

6.3Tallrekker og potensrekkers konvergensområde

•bestemme det fulle konvergensområdet ved å undersøke begge endepunkter separat

6.3Tallrekker og potensrekkers konvergensområde

•finne en lukket sum for en potensrekke ved å manipulere den mot en standardrekke fra formelsamlingen

6.4Summering av potensrekker

•bruke leddvis derivasjon og integrasjon innenfor konvergensradiusen, med korrekt bestemt integrasjonskonstant

6.4Summering av potensrekker

•lese av en tallrekkesum ved å sette inn en tallverdi i konvergensområdet

6.4Summering av potensrekker

•vise at en avbildning er en kontraksjon ved at en matrisenorm eller spektralradiusen er mindre enn 1

6.5Kontraksjon, fikspunkt og Newtons metode i flere variable

•bruke fikspunktprinsippet til å konkludere med et entydig fikspunkt og at iterasjonen konvergerer

6.5Kontraksjon, fikspunkt og Newtons metode i flere variable

•utføre ett–to steg av Newtons metode for et system ved hjelp av Jacobi-matrisen

6.5Kontraksjon, fikspunkt og Newtons metode i flere variable

•løse separable første ordens differensiallikninger ved å skille variablene og integrere, og finne konstantløsningene

6.6Differensiallikninger: separable og lineære første ordens

•løse lineære første ordens likninger med integrerende faktor

6.6Differensiallikninger: separable og lineære første ordens

•løse initialverdiproblemer og verifisere løsningen ved innsetting

6.6Differensiallikninger: separable og lineære første ordens

•løse sammensatte oppgaver i egenverdier, langtidsgrenser, potensrekker, kontraksjon/Newton og differensiallikninger under tidspress

6.PPrøver til del 6: Beredskap: egenverdier og potensrekker

•føre løsninger etter sensorstandarden med navngitte teoremer, egenvektordekomponering og eksakte svar

6.PPrøver til del 6: Beredskap: egenverdier og potensrekker

•vurdere egen mestring av beredskapsdelen med selvdiagnose

6.PPrøver til del 6: Beredskap: egenverdier og potensrekker

•føre en løsning slik sensor krever: navngi teoremene som bærer argumentet, merke radoperasjoner, skrive grenser som ulikheter og gi eksakte svar

7.1Føringsstandarden: slik skriver du en A-besvarelse

•gjøre de sjangerspesifikke kontrollene ($\nabla g=0$-sjekk, eksistens på kompakt mengde, fortegns-/orienteringskontroll, endepunktsjekk) på rett sted

7.1Føringsstandarden: slik skriver du en A-besvarelse

•utnytte kjedingen mellom delpunkter ved å gjenbruke tidligere delsvar

7.1Føringsstandarden: slik skriver du en A-besvarelse

•gjennomføre et komplett midtsemestersett uten hjelpemidler i radreduksjon, egenverdier, tangentplan, implisitt funksjonsteorem og Hesse-klassifisering

7.2Midtveissimulering: lineær algebra og flervariabel (uten hjelpemidler)

•føre hver løsning etter sensorstandarden med merkede radoperasjoner, navngitte teoremer og eksakte svar

7.2Midtveissimulering: lineær algebra og flervariabel (uten hjelpemidler)

•kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers

7.2Midtveissimulering: lineær algebra og flervariabel (uten hjelpemidler)

•gjennomføre et komplett avsluttende sett etter V2025-malen med kjedede delpunkter under tidspress

7.3Avsluttende simulering 1: V2025-regimet (vektoranalyse-tung)

•føre vektoranalyse-kjeden med fortegns-/orienteringskontroll og navngitt divergensteorem

7.3Avsluttende simulering 1: V2025-regimet (vektoranalyse-tung)

•utnytte delpunkt-kjeding ved å gjenbruke inversen fra O1a og fluks/volumintegral fra O6a–b i O6c

7.3Avsluttende simulering 1: V2025-regimet (vektoranalyse-tung)

•gjennomføre et komplett avsluttende sett i beredskapsregimet (egenverdier, potensrekker, Green, Stokes)

7.4Avsluttende simulering 2: gammelt regime (egenverdier + potensrekker)

•føre egenvektordekomponering, endepunktsjekk, Jacobideterminant og kontraksjonsargument etter sensorstandarden

7.4Avsluttende simulering 2: gammelt regime (egenverdier + potensrekker)

•gjenkjenne når historiske ryggradstemaer må holdes varme som beredskap tross regimeskiftet

7.4Avsluttende simulering 2: gammelt regime (egenverdier + potensrekker)

Kapitler med kompetansemål

0Eksamenskartet

0.1Eksamenskartet: to prøver og regimeskiftet 2025

gjøre rede for hvordan MAT1110 vurderes gjennom en midtsemesterprøve uten hjelpemidler og en avsluttende langsvarsprøve
forklare regimeskiftet fra 2025 og hva det betyr for hva du bør prioritere
lese en temafrekvens-oversikt og oversette den til en realistisk lese- og repetisjonsplan
legge en to-spors lesestrategi som dekker både det nye vektoranalyse-regimet og beredskapsstoffet

1Lineær algebra og radreduksjon

1.1Gauss-eliminasjon: trappeform og merkede radoperasjoner

føre et lineært likningssystem som utvidet matrise og radredusere det til trappeform og redusert trappeform med korrekt merkede radoperasjoner
avgjøre om et system har entydig, ingen eller uendelig mange løsninger og parametrisere løsningsmengden når den er uendelig
drøfte hvordan løsbarheten avhenger av en parameter i koeffisientene

1.2Basis, lineær uavhengighet, nullrom, søylerom og rang

avgjøre om vektorer er lineært uavhengige og om de danner en basis, ved å skrive dem som søyler og radredusere
finne en basis for nullrommet og for søylerommet til en matrise, og bestemme rangen
bruke rang–nullitet-setningen og utvide et uavhengig sett til en basis

1.3Invers matrise og inverterbarhetskriteriene

regne inversen til en matrise ved å radredusere [A | Iₙ] til [Iₙ | A⁻¹] med merkede radoperasjoner
avgjøre om en matrise er inverterbar ved hjelp av de ekvivalente inverterbarhetskriteriene
løse Ax = b ved x = A⁻¹b og gjenbruke inversen i senere delpunkter

1.4Lineæravbildninger og løsbarhet av Ax = b

avgjøre om en avbildning er lineær og finne standardmatrisen fra bildene av standardbasisvektorene
knytte bilde til søylerom og kjerne til nullrom, og avgjøre om en lineæravbildning er injektiv, surjektiv og inverterbar
drøfte parameteravhengig løsbarhet av Ax = b

1.5Drill: radreduksjonspakken — basis · invers · parameter

kjenne igjen hvilken av sjanger A-variantene en oppgave er, og stille opp riktig matrise
løse basis-, invers-, nullrom/rang- og parameterløsbarhetsoppgaver raskt med merket føring
kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers og konkludere med navngitte kriterier

1.PPrøver til del 1: Lineær algebra og radreduksjon

løse sammensatte oppgaver i radreduksjon, basis, nullrom, rang og invers under tidspress
føre løsninger etter sensorstandarden med merkede radoperasjoner og navngitte kriterier
kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers, slik en O1-oppgave krever

2Flervariabel differensiering og Jacobi

2.1Partiellderiverte, gradient og tangentplan

regne partiellderiverte og sette sammen gradienten til en funksjon av flere variable
bruke gradienten til retningsderivert og bratteste stigning
sette opp tangentplan og linearisering og bruke dem til å anslå funksjonsverdier
avgjøre om en grense i planet finnes ved å teste ulike baner

2.2Jacobi-matrisen, kjerneregelen på matriseform og linearisering

sette opp Jacobi-matrisen til en vektorfunksjon med rad i lik gradienten til komponent i
bruke kjerneregelen på matriseform med faktorene i riktig rekkefølge og riktig evalueringspunkt
linearisere en vektorfunksjon og bruke det til anslag
regne Jacobideterminanten og avgjøre hvor en funksjon er lokalt inverterbar

2.3Omvendt og implisitt funksjonsteorem via Jacobi

bruke omvendt funksjonsteorem til å vise lokal inverterbarhet og finne Jacobi til den omvendte
verifisere forutsetningene for implisitt funksjonsteorem i riktig rekkefølge og finne den deriverte
bruke den flervariable og systemversjonen av implisitt funksjonsteorem
koble et delpunkt til en invers regnet i et tidligere delpunkt

2.PPrøver til del 2: Flervariabel differensiering og Jacobi

løse eksamensrettede oppgaver på partiellderiverte, gradient, tangentplan og linearisering
regne Jacobi-matrise, determinant og kjerneregel og avgjøre lokal inverterbarhet
bruke omvendt og implisitt funksjonsteorem med korrekt forutsetningssjekk, teoremnavning og delpunkt-kjeding

3Optimering

3.1Stasjonære punkter og Hesse-klassifisering

finne alle stasjonære punkter ved å løse ∇f = 0 og redusere til én variabel uten å miste løsninger
sette opp Hesse-matrisen eksplisitt og klassifisere med annenderiverttesten (D-testen)
gjenkjenne når testen svikter (D = 0) og skille lokale fra globale ekstremum

3.2Lagrange, ∇g = 0-sjekk og ekstremalverdisetningen

sette opp og løse Lagranges betingelse ∇f = λ∇g med bibetingelse, inkludert ∇g = 0-sjekken
dele i tilfeller for å finne alle kandidatpunkter og evaluere f i hver
begrunne eksistens av min/maks med ekstremalverdisetningen på en eksplisitt kompakt mengde, og vurdere når begrunnelse ikke kreves

3.3Taylor i flere variable

sette opp andreordens Taylor-polynom i to variable med gradient- og Hesse-ledd
regne ut Taylor-polynomet for konkrete funksjoner rundt et utviklingspunkt
forklare hvordan Hesse-leddet i et stasjonært punkt bestemmer klassifiseringen (kobling til kap. 3.1)

3.4Drill: optimeringspakken — Hesse og Lagrange på eksamensnivå

kjenne igjen om en oppgave krever fri, betinget eller kombinert (global på lukket område) optimering, og velge riktig algoritme
føre Lagrange fullstendig med ∇g = 0-sjekk, tilfelledeling og evaluering av alle kandidater
finne globale ekstremum på et lukket område ved å kombinere indre Hesse-analyse og rand-Lagrange

3.PPrøver til del 3: Optimering

løse sammensatte optimeringsoppgaver (fri, betinget og kombinert) under tidspress
føre løsninger etter sensorstandarden med eksplisitt Hesse, ∇g = 0-sjekk og evaluering av alle kandidater
begrunne eksistens av ekstremum med ekstremalverdisetningen på en eksplisitt kompakt mengde

4Multiple integraler

4.1Dobbeltintegral over kurveavgrenset område

sette opp og regne dobbeltintegral som iterert integral over type I- og type II-områder
finne skjæringspunkter og beskrive kurveavgrensede områder med eksplisitte ulikheter før oppsett
bytte integrasjonsrekkefølge (Fubini) når den ene veien ikke lar seg integrere, og regne volum mellom flater

4.2Polarkoordinater og variabelskifte med Jacobideterminant

bytte til polarkoordinater ved sirkelsymmetri og huske arealelementet dA = r dr dθ
sette opp det generelle variabelskiftet med Jacobideterminant og absoluttverdi
bruke ellipsekoordinater til å regne areal og integraler over ellipseområder

4.3Trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater

sette opp trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater med riktig volumelement (r henholdsvis ρ²sinφ)
velge koordinatsystem etter symmetri og løse skjæringen mellom to flater før oppsett
beskrive romområdet med eksplisitte ulikheter og faktorisere integralet når integranden separerer

4.4Uegentlige multiple integraler: konvergens via voksende kompakter

definere uegentlige multiple integraler som grenser over en voksende følge kompakter
føre lim-beregningen eksplisitt (aldri «sette inn ∞») og avgjøre konvergens vs. divergens
velge kompakter etter symmetrien og regne radielle uegentlige integraler i polar/kulekoordinater

4.5Drill: multiple integraler — område, koordinatvalg og faktorisering

velge koordinatsystem etter symmetri og løse skjæringen mellom kurver/flater før oppsett
føre dobbelt- og trippelintegral med riktig volumelement og faktorisering under tidspress
avgjøre konvergens av uegentlige multiple integraler med voksende kompakter og lim-føring

4.PPrøver til del 4: Multiple integraler

løse dobbelt- og trippelintegral over kurve-/flateavgrensede områder under tidspress
velge koordinatsystem etter symmetri, løse skjæringen og føre med riktig volumelement
avgjøre konvergens av uegentlige multiple integraler med voksende kompakter og eksplisitt lim

5Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

5.1Parametrisering av kurver og flater; det fundamentale vektorproduktet

parametrisere kurver og flater og regne hastighet, fart og buelengde
regne det fundamentale vektorproduktet ϕ_u × ϕ_v og lese av flateelement og normalvektor
velge fortegn på enhetsnormalen etter oppgitt orientering
gjenkjenne og bruke standardparametriseringene for graf, sylinder, kule og plan disk

5.2Linjeintegral og Greens teorem

regne linjeintegral av skalar- og vektorfelt ved parametrisering
gjenkjenne konservative felt, finne potensial og bruke fundamentalteoremet for linjeintegral
bruke Greens teorem med riktig orientering og redusere til et dobbeltintegral
finne areal av et område via et linjeintegral (areal via Green)

5.3Flateintegral: skalar ∫f dS og fluks ∫F·n dS

regne skalart flateintegral og flateareal med det fundamentale vektorproduktet
regne fluks gjennom en orientert flate og gjøre fortegnskontrollen synlig
bruke den geometriske snarveien for plane flater med konstant normal
skille når absoluttverdi skal med (skalar) og ikke (fluks)

5.4Gauss' divergensteorem (3D fluks)

regne divergensen til et vektorfelt og bruke Gauss' divergensteorem
finne fluks gjennom en krum delflate via ∭div F dV minus den plane delen
kontrollere at alle normaler peker ut av volumet på begge delflatene
navngi teoremet og gjenbruke delsvar i den kjedede O6-oppgaven

5.5Stokes' teorem og curl

regne curl til et vektorfelt og bruke Stokes' teorem
koble randkurvens orientering til normalen med høyrehåndsregelen
gjenkjenne curl som et alt utregnet felt og la randbidrag der F=0 falle bort
se Greens teorem som et spesialtilfelle av Stokes i planet

5.6Drill: vektoranalyse-kjeden O6a–c

gjennomføre hele den kjedede O6-oppgaven med fluks, divergensteorem og trippelintegral
fastsette og kontrollere at alle normaler peker ut av volumet
gjenbruke delsvar mellom deloppgavene (delpunkt-kjeding)
håndtere Stokes-varianten med curl og høyrehåndsregelen

5.PPrøver til del 5: Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

løse eksamensnære oppgaver i linjeintegral, Green, flateintegral og fluks under tidspress
bruke divergensteoremet til fluks gjennom en krum delflate med normalkontroll
gjennomføre den fulle O6-kjeden med delpunkt-kjeding og navngitte teoremer
håndtere Stokes-varianten med curl og høyrehåndsregelen

6Beredskap: egenverdier og potensrekker

6.1Egenverdier og egenvektorer

finne egenverdiene til en 2×2- og 3×3-matrise ved å løse den karakteristiske likningen det(λI − A) = 0
bestemme egenvektorene og egenrommet til hver egenverdi ved radreduksjon av (A − λI)
bruke at summen av egenverdiene er sporet og produktet er determinanten som kontroll, og gjøre rede for algebraisk og geometrisk multiplisitet

6.2Diagonalisering, Aⁿ og lim Aⁿv (Markov)

diagonalisere en matrise ved å sette egenvektorene som søyler i P og egenverdiene i D, og avgjøre når det er mulig
regne matrisepotenser Aⁿ = PDⁿP⁻¹ og skrive dem på lukket form
bestemme langtidsgrensen lim Aⁿv ved egenvektordekomponering, og finne den stasjonære fordelingen til en Markov-matrise

6.3Tallrekker og potensrekkers konvergensområde

avgjøre om en tallrekke konvergerer med divergenstesten, geometrisk kriterium, p-rekker og de navngitte konvergenstestene
finne konvergensradiusen til en potensrekke med forholds- eller rottesten
bestemme det fulle konvergensområdet ved å undersøke begge endepunkter separat

6.4Summering av potensrekker

finne en lukket sum for en potensrekke ved å manipulere den mot en standardrekke fra formelsamlingen
bruke leddvis derivasjon og integrasjon innenfor konvergensradiusen, med korrekt bestemt integrasjonskonstant
lese av en tallrekkesum ved å sette inn en tallverdi i konvergensområdet

6.5Kontraksjon, fikspunkt og Newtons metode i flere variable

vise at en avbildning er en kontraksjon ved at en matrisenorm eller spektralradiusen er mindre enn 1
bruke fikspunktprinsippet til å konkludere med et entydig fikspunkt og at iterasjonen konvergerer
utføre ett–to steg av Newtons metode for et system ved hjelp av Jacobi-matrisen

6.6Differensiallikninger: separable og lineære første ordens

løse separable første ordens differensiallikninger ved å skille variablene og integrere, og finne konstantløsningene
løse lineære første ordens likninger med integrerende faktor
løse initialverdiproblemer og verifisere løsningen ved innsetting

6.PPrøver til del 6: Beredskap: egenverdier og potensrekker

løse sammensatte oppgaver i egenverdier, langtidsgrenser, potensrekker, kontraksjon/Newton og differensiallikninger under tidspress
føre løsninger etter sensorstandarden med navngitte teoremer, egenvektordekomponering og eksakte svar
vurdere egen mestring av beredskapsdelen med selvdiagnose

7Eksamenstrening

7.1Føringsstandarden: slik skriver du en A-besvarelse

føre en løsning slik sensor krever: navngi teoremene som bærer argumentet, merke radoperasjoner, skrive grenser som ulikheter og gi eksakte svar
gjøre de sjangerspesifikke kontrollene ($\nabla g=0$-sjekk, eksistens på kompakt mengde, fortegns-/orienteringskontroll, endepunktsjekk) på rett sted
utnytte kjedingen mellom delpunkter ved å gjenbruke tidligere delsvar

7.2Midtveissimulering: lineær algebra og flervariabel (uten hjelpemidler)

gjennomføre et komplett midtsemestersett uten hjelpemidler i radreduksjon, egenverdier, tangentplan, implisitt funksjonsteorem og Hesse-klassifisering
føre hver løsning etter sensorstandarden med merkede radoperasjoner, navngitte teoremer og eksakte svar
kjede delpunkter ved å gjenbruke en utregnet invers

7.3Avsluttende simulering 1: V2025-regimet (vektoranalyse-tung)

gjennomføre et komplett avsluttende sett etter V2025-malen med kjedede delpunkter under tidspress
føre vektoranalyse-kjeden med fortegns-/orienteringskontroll og navngitt divergensteorem
utnytte delpunkt-kjeding ved å gjenbruke inversen fra O1a og fluks/volumintegral fra O6a–b i O6c

7.4Avsluttende simulering 2: gammelt regime (egenverdier + potensrekker)

gjennomføre et komplett avsluttende sett i beredskapsregimet (egenverdier, potensrekker, Green, Stokes)
føre egenvektordekomponering, endepunktsjekk, Jacobideterminant og kontraksjonsargument etter sensorstandarden
gjenkjenne når historiske ryggradstemaer må holdes varme som beredskap tross regimeskiftet

Tilbake til MAT1110 Kalkulus og lineær algebra