Interaktive lærebøker for norsk skole

Komposisjon av funksjoner.

45 min

5 oppgaver

Komposisjonf∘gIndre og ytre funksjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 5 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Funksjonstyper og egenskaper

Brukes videre i

4.3Kjerneregelen 2.5Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Sammensatte funksjoner

Når vi setter én funksjon inn i en annen, får vi en sammensatt funksjon (også kalt komposisjon). Dette er et viktig begrep som danner grunnlag for kjerneregelen i derivasjon.

Komposisjon av funksjoner

f

✏️Eksempel 1: Beregne komposisjon

La $f(x) = x^2$ og $g(x) = x + 3$ .

Finn:
a) $(f \circ g)(x)$
b) $(g \circ f)(x)$
c) $(f \circ g)(2)$

Løsning:

a) $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Her er $g(x) = x + 3$ den indre funksjonen og $f(x) = x^2$ den ytre.

b) $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 3$

Her er $f(x) = x^2$ den indre funksjonen og $g(x) = x + 3$ den ytre.

c) $(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(2 + 3) = f(5) = 5^2 = 25$

Alternativt: $(f \circ g)(2) = (2 + 3)^2 = 25$

Viktig: Rekkefølgen betyr noe!

Generelt er $f \circ g \neq g \circ f$ .

Fra eksemplet over:
- $(f \circ g)(x) = x^2 + 6x + 9$
- $(g \circ f)(x) = x^2 + 3$

Disse er ulike funksjoner!

📝Oppgave 1

La $f(x) = 2x$ og $g(x) = x - 1$ . Finn:

(f \circ g)(x)

(g \circ f)(x)

(f \circ f)(x)

(g \circ g)(x)

✏️Eksempel 2: Komposisjon med ulike funksjonstyper

La $f(x) = e^x$ og $g(x) = 2x + 1$ .

Finn $(f \circ g)(x)$ og $(g \circ f)(x)$ .

Løsning:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = e^{2x+1}$

Her er:
- Indre funksjon: $g(x) = 2x + 1$
- Ytre funksjon: $f(x) = e^x$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e^x) = 2e^x + 1$

Her er:
- Indre funksjon: $f(x) = e^x$
- Ytre funksjon: $g(x) = 2x + 1$

📝Oppgave 2

Finn $(f \circ g)(x)$ og $(g \circ f)(x)$ .

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = x + 4

f(x) = \ln x

g(x) = x^2

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

g(x) = x + 1

f(x) = x^3

g(x) = \cos x

Identifisere indre og ytre funksjon

Når vi har et sammensatt uttrykk, må vi kunne "se" hvilke funksjoner som er satt sammen. Dette er viktig for derivasjon med kjerneregelen.

✏️Eksempel 3: Identifisere indre og ytre funksjon

Skriv følgende som $f(g(x))$ og identifiser indre og ytre funksjon:

a) $h(x) = (3x - 2)^5$
b) $k(x) = e^{x^2}$
c) $m(x) = \ln(\sin x)$
d) $n(x) = \sqrt{1 - x^2}$

Løsning:

a) $h(x) = (3x - 2)^5$
- Indre: $g(x) = 3x - 2$
- Ytre: $f(u) = u^5$
- $h(x) = f(g(x))$ der $f(u) = u^5$ , $g(x) = 3x - 2$

b) $k(x) = e^{x^2}$
- Indre: $g(x) = x^2$
- Ytre: $f(u) = e^u$
- $k(x) = f(g(x))$

c) $m(x) = \ln(\sin x)$
- Indre: $g(x) = \sin x$
- Ytre: $f(u) = \ln u$
- $m(x) = f(g(x))$

d) $n(x) = \sqrt{1 - x^2}$
- Indre: $g(x) = 1 - x^2$
- Ytre: $f(u) = \sqrt{u}$
- $n(x) = f(g(x))$

Tips for å identifisere indre og ytre funksjon:

Spør deg selv: "Hva er det ytterste jeg gjør med $x$ ?"

- I $(3x-2)^5$ : Det ytterste er å opphøye i 5. Det indre er $3x-2$ .
- I $e^{x^2}$ : Det ytterste er $e$ -funksjonen. Det indre er $x^2$ .
- I $\ln(\sin x)$ : Det ytterste er $\ln$ . Det indre er $\sin x$ .

📝Oppgave 3

Identifiser indre og ytre funksjon.

h(x) = (x^2 + 1)^4

k(x) = \sin(3x)

m(x) = e^{\sqrt{x}}

\displaystyle n(x) = \frac{1}{(2x-3)^2}

p(x) = \ln(x^3 + 1)

Flere enn to funksjoner

Vi kan også sette sammen tre eller flere funksjoner:

$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$

Her regner vi fra innsiden og ut: først $h(x)$ , så $g$ , så $f$ .

✏️Eksempel 4: Trippel komposisjon

La $f(x) = x^2$ , $g(x) = x + 1$ og $h(x) = 2x$ .

Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Løsning:

$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$

Steg 1: $h(x) = 2x$

Steg 2: $g(h(x)) = g(2x) = 2x + 1$

Steg 3: $f(g(h(x))) = f(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$

Svar: $(f \circ g \circ h)(x) = 4x^2 + 4x + 1$

📝Oppgave 4

Finn de sammensatte funksjonene.

La $f(x) = \sqrt{x}$ , $g(x) = x + 4$ , $h(x) = x^2$ . Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

La $f(x) = e^x$ , $g(x) = 2x$ , $h(x) = x + 1$ . Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Skriv $\sin^2(3x)$ som $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Forbindelse til kjerneregelen

Når vi skal derivere sammensatte funksjoner, bruker vi kjerneregelen:

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

- $g(x)$ kalles kjernen
- Vi deriverer den ytre funksjonen $f$ og setter inn kjernen $g(x)$
- Vi ganger med den deriverte av kjernen $g'(x)$

✏️Eksempel 5: Forsmak på kjerneregelen

La $h(x) = (2x + 1)^3$ . Identifiser indre og ytre funksjon og tenk over hvordan du ville derivert.

Løsning:

Indre funksjon (kjernen): $g(x) = 2x + 1$
Ytre funksjon: $f(u) = u^3$

Derivert av ytre: $f'(u) = 3u^2$
Derivert av indre: $g'(x) = 2$

Med kjerneregelen:
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$

Kjerneregelen vil bli grundig behandlet i kapittel 3.

📝Oppgave 5

Sammensatte oppgaver.

La $f(x) = x^2 - 1$ og $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$ . Vis at $\displaystyle (f \circ g)(x) = \frac{1-x^2}{x^2}$ .

Finn funksjoner $f$ og $g$ slik at $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ .

Finn funksjoner $f$ og $g$ slik at $(f \circ g)(x) = e^{\sin x}$ .

Hvis $f(x) = 2x + 1$ og $(f \circ g)(x) = 4x - 1$ , finn $g(x)$ .

📊Sammensatte funksjoner

Visualisering av $f(x) = x^2$ , $g(x) = x + 2$ og $(f \circ g)(x) = (x+2)^2$ .

Oppsummering

Komposisjon:
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Indre og ytre funksjon:
- I $f(g(x))$ er $g$ indre og $f$ ytre
- Den indre funksjonen regnes ut først

Viktig:
- Generelt er $f \circ g \neq g \circ f$
- Komposisjon er grunnlaget for kjerneregelen i derivasjon

Identifisering:
Spør: "Hva er det ytterste jeg gjør med $x$ ?" for å finne ytre funksjon.

Komposisjon av funksjoner.

45 min

5 oppgaver

Komposisjonf∘gIndre og ytre funksjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 5 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Funksjonstyper og egenskaper

Brukes videre i

4.3Kjerneregelen 2.5Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Sammensatte funksjoner

Når vi setter én funksjon inn i en annen, får vi en sammensatt funksjon (også kalt komposisjon). Dette er et viktig begrep som danner grunnlag for kjerneregelen i derivasjon.

Komposisjon av funksjoner

f

✏️Eksempel 1: Beregne komposisjon

La $f(x) = x^2$ og $g(x) = x + 3$ .

Finn:
a) $(f \circ g)(x)$
b) $(g \circ f)(x)$
c) $(f \circ g)(2)$

Løsning:

a) $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Her er $g(x) = x + 3$ den indre funksjonen og $f(x) = x^2$ den ytre.

b) $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 3$

Her er $f(x) = x^2$ den indre funksjonen og $g(x) = x + 3$ den ytre.

c) $(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(2 + 3) = f(5) = 5^2 = 25$

Alternativt: $(f \circ g)(2) = (2 + 3)^2 = 25$

Viktig: Rekkefølgen betyr noe!

Generelt er $f \circ g \neq g \circ f$ .

Fra eksemplet over:
- $(f \circ g)(x) = x^2 + 6x + 9$
- $(g \circ f)(x) = x^2 + 3$

Disse er ulike funksjoner!

📝Oppgave 1

La $f(x) = 2x$ og $g(x) = x - 1$ . Finn:

(f \circ g)(x)

(g \circ f)(x)

(f \circ f)(x)

(g \circ g)(x)

✏️Eksempel 2: Komposisjon med ulike funksjonstyper

La $f(x) = e^x$ og $g(x) = 2x + 1$ .

Finn $(f \circ g)(x)$ og $(g \circ f)(x)$ .

Løsning:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = e^{2x+1}$

Her er:
- Indre funksjon: $g(x) = 2x + 1$
- Ytre funksjon: $f(x) = e^x$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e^x) = 2e^x + 1$

Her er:
- Indre funksjon: $f(x) = e^x$
- Ytre funksjon: $g(x) = 2x + 1$

📝Oppgave 2

Finn $(f \circ g)(x)$ og $(g \circ f)(x)$ .

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = x + 4

f(x) = \ln x

g(x) = x^2

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

g(x) = x + 1

f(x) = x^3

g(x) = \cos x

Identifisere indre og ytre funksjon

Når vi har et sammensatt uttrykk, må vi kunne "se" hvilke funksjoner som er satt sammen. Dette er viktig for derivasjon med kjerneregelen.

✏️Eksempel 3: Identifisere indre og ytre funksjon

Skriv følgende som $f(g(x))$ og identifiser indre og ytre funksjon:

a) $h(x) = (3x - 2)^5$
b) $k(x) = e^{x^2}$
c) $m(x) = \ln(\sin x)$
d) $n(x) = \sqrt{1 - x^2}$

Løsning:

a) $h(x) = (3x - 2)^5$
- Indre: $g(x) = 3x - 2$
- Ytre: $f(u) = u^5$
- $h(x) = f(g(x))$ der $f(u) = u^5$ , $g(x) = 3x - 2$

b) $k(x) = e^{x^2}$
- Indre: $g(x) = x^2$
- Ytre: $f(u) = e^u$
- $k(x) = f(g(x))$

c) $m(x) = \ln(\sin x)$
- Indre: $g(x) = \sin x$
- Ytre: $f(u) = \ln u$
- $m(x) = f(g(x))$

d) $n(x) = \sqrt{1 - x^2}$
- Indre: $g(x) = 1 - x^2$
- Ytre: $f(u) = \sqrt{u}$
- $n(x) = f(g(x))$

Tips for å identifisere indre og ytre funksjon:

Spør deg selv: "Hva er det ytterste jeg gjør med $x$ ?"

📝Oppgave 3

Identifiser indre og ytre funksjon.

h(x) = (x^2 + 1)^4

k(x) = \sin(3x)

m(x) = e^{\sqrt{x}}

\displaystyle n(x) = \frac{1}{(2x-3)^2}

p(x) = \ln(x^3 + 1)

Flere enn to funksjoner

Vi kan også sette sammen tre eller flere funksjoner:

$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$

Her regner vi fra innsiden og ut: først $h(x)$ , så $g$ , så $f$ .

✏️Eksempel 4: Trippel komposisjon

La $f(x) = x^2$ , $g(x) = x + 1$ og $h(x) = 2x$ .

Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Løsning:

$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$

Steg 1: $h(x) = 2x$

Steg 2: $g(h(x)) = g(2x) = 2x + 1$

Steg 3: $f(g(h(x))) = f(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$

Svar: $(f \circ g \circ h)(x) = 4x^2 + 4x + 1$

📝Oppgave 4

Finn de sammensatte funksjonene.

La $f(x) = \sqrt{x}$ , $g(x) = x + 4$ , $h(x) = x^2$ . Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

La $f(x) = e^x$ , $g(x) = 2x$ , $h(x) = x + 1$ . Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Skriv $\sin^2(3x)$ som $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Forbindelse til kjerneregelen

Når vi skal derivere sammensatte funksjoner, bruker vi kjerneregelen:

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

- $g(x)$ kalles kjernen
- Vi deriverer den ytre funksjonen $f$ og setter inn kjernen $g(x)$
- Vi ganger med den deriverte av kjernen $g'(x)$

✏️Eksempel 5: Forsmak på kjerneregelen

La $h(x) = (2x + 1)^3$ . Identifiser indre og ytre funksjon og tenk over hvordan du ville derivert.

Løsning:

Indre funksjon (kjernen): $g(x) = 2x + 1$
Ytre funksjon: $f(u) = u^3$

Derivert av ytre: $f'(u) = 3u^2$
Derivert av indre: $g'(x) = 2$

Med kjerneregelen:
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$

Kjerneregelen vil bli grundig behandlet i kapittel 3.

📝Oppgave 5

Sammensatte oppgaver.

La $f(x) = x^2 - 1$ og $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$ . Vis at $\displaystyle (f \circ g)(x) = \frac{1-x^2}{x^2}$ .

Finn funksjoner $f$ og $g$ slik at $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ .

Finn funksjoner $f$ og $g$ slik at $(f \circ g)(x) = e^{\sin x}$ .

Hvis $f(x) = 2x + 1$ og $(f \circ g)(x) = 4x - 1$ , finn $g(x)$ .

📊Sammensatte funksjoner

Visualisering av $f(x) = x^2$ , $g(x) = x + 2$ og $(f \circ g)(x) = (x+2)^2$ .

Oppsummering

Komposisjon:
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Indre og ytre funksjon:
- I $f(g(x))$ er $g$ indre og $f$ ytre
- Den indre funksjonen regnes ut først

Viktig:
- Generelt er $f \circ g \neq g \circ f$
- Komposisjon er grunnlaget for kjerneregelen i derivasjon

Identifisering:
Spør: "Hva er det ytterste jeg gjør med $x$ ?" for å finne ytre funksjon.

2.3 Sammensatte funksjoner

Sammensatte funksjoner

Identifisere indre og ytre funksjon

Flere enn to funksjoner

Forbindelse til kjerneregelen

Oppsummering

2.3 Sammensatte funksjoner

Sammensatte funksjoner

Identifisere indre og ytre funksjon

Flere enn to funksjoner

Forbindelse til kjerneregelen

Oppsummering