2.5 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Sekantlinje og tangentlinje, differenskvotient og overgangen til momentan vekstfart.

55 min

6 oppgaver

Gjennomsnittlig vekstfartMomentan vekstfartSekantlinjeTangentlinjeDifferenskvotient

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.3Sammensatte funksjoner

Fra gjennomsnittlig til momentan vekstfart

I dagliglivet snakker vi ofte om gjennomsnittsfart: "Vi kjoerte 300 km på 4 timer, altså var gjennomsnittsfarten 75 km/h." Men på et bestemt tidspunkt kan farten være høyere eller lavere enn gjennomsnittet.

Momentan vekstfart (oeyeblikksfart) er farten i ett bestemt punkt. Matematisk definerer vi dette som en grenseverdi, og det leder oss til begrepet derivasjon.

Gjennomsnittlig vekstfart

f

✏️Eksempel 1: Gjennomsnittlig vekstfart

En ball kastes rett opp. Høyden etter $t$ sekunder er $h(t) = 20t - 5t^2$ (i meter).

a) Finn gjennomsnittlig vekstfart (gjennomsnittsfart) på $[1, 3]$ .
b) Finn gjennomsnittlig vekstfart på $[1, 1{,}5]$ .

Løsning:

a) $h(1) = 20 - 5 = 15$ , $h(3) = 60 - 45 = 15$ .

$\frac{h(3) - h(1)}{3 - 1} = \frac{15 - 15}{2} = 0 \text{ m/s}$

b) $h(1{,}5) = 30 - 11{,}25 = 18{,}75$ .

$\frac{h(1{,}5) - h(1)}{1{,}5 - 1} = \frac{18{,}75 - 15}{0{,}5} = 7{,}5 \text{ m/s}$

Gjennomsnittsfarten avhenger altså av hvilket intervall vi ser på.

📝Oppgave 1

Finn gjennomsnittlig vekstfart for $f(x) = x^2$ på de gitte intervallene.

[1, 3]

[1, 2]

[1, 1{,}1]

[1, 1{,}01]

Momentan vekstfart (den deriverte)

f

✏️Eksempel 2: Derivasjon fra definisjonen

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $f(x) = x^2$ .

Løsning:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

Altså $f'(x) = 2x$ . I $x = 1$ får vi $f'(1) = 2$ , som stemmer med moenstrene vi så i oppgave 1.

📝Oppgave 2

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne $f'(x)$ .

f(x) = 3x - 1

f(x) = x^2 + x

f(x) = x^3

📜Tangentens likning

Tangentlinjen til grafen til

f

i punktet

(a, f(a))

har likningen:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Dette er ettpunktsformelen for en rett linje gjennom $(a, f(a))$ med stigningstall $f'(a)$ .

✏️Eksempel 3: Tangentlikning

Finn tangentens likning til $f(x) = x^2 - 3x + 2$ i punktet der $x = 2$ .

Løsning:

Funksjonsverdi: $f(2) = 4 - 6 + 2 = 0$ , så tangentpunktet er $(2, 0)$ .

Derivert: $f'(x) = 2x - 3$ , så $f'(2) = 1$ .

Tangentens likning:
$y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 0 + 1 \cdot (x - 2) = x - 2$

📝Oppgave 3

Finn tangentens likning i det angitte punktet.

f(x) = x^2

x = 3

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

x = 2

f(x) = \sqrt{x}

x = 4

Overgangen fra sekant til tangent er noekkelen til forstaaelsen av derivasjon:

- Sekanten gjennom $(a, f(a))$ og $(a+h, f(a+h))$ har stigningstall $\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
- Når $h \to 0$ , nærmer det andre punktet seg det første
- Sekanten "vrir seg" mot tangenten
- Tangenten har stigningstall $\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Denne overgangen er fundamentet for hele differensialregningen.

📝Oppgave 4

Bruk definisjonen av den deriverte.

Vis at $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ når $f(x) = \sqrt{x}$ , for $x > 0$ .

Vis at $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ når $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ , for $x \neq 0$ .

📝Oppgave 5

Et firma selger $x$ enheter av et produkt. Inntektsfunksjonen er $I(x) = 500x - 2x^2$ (i kroner).

Finn gjennomsnittlig inntektsøkning per enhet når produksjonen økes fra 50 til 60 enheter.

Finn den momentane inntektsendringen når $x = 50$ (marginalinntekten).

For hvilken verdi av $x$ er marginalinntekten lik null?

📝Oppgave 6

La $f(x) = x^2 + 1$ . Finn ligningen for den rette linjen gjennom $(0, -3)$ som er tangent til grafen til $f$ .

Oppsummering

- Gjennomsnittlig vekstfart = stigningstall til sekant = $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
- Momentan vekstfart = stigningstall til tangent = $\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
- Overgangen fra sekant til tangent er grunnlaget for derivasjon
- Tangentens likning: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$
- Den deriverte gir oss fart, marginalinntekt og andre endringsrater

2.5 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Sekantlinje og tangentlinje, differenskvotient og overgangen til momentan vekstfart.

55 min

6 oppgaver

Gjennomsnittlig vekstfartMomentan vekstfartSekantlinjeTangentlinjeDifferenskvotient

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.3Sammensatte funksjoner

Fra gjennomsnittlig til momentan vekstfart

Momentan vekstfart (oeyeblikksfart) er farten i ett bestemt punkt. Matematisk definerer vi dette som en grenseverdi, og det leder oss til begrepet derivasjon.

Gjennomsnittlig vekstfart

f

✏️Eksempel 1: Gjennomsnittlig vekstfart

En ball kastes rett opp. Høyden etter $t$ sekunder er $h(t) = 20t - 5t^2$ (i meter).

a) Finn gjennomsnittlig vekstfart (gjennomsnittsfart) på $[1, 3]$ .
b) Finn gjennomsnittlig vekstfart på $[1, 1{,}5]$ .

Løsning:

a) $h(1) = 20 - 5 = 15$ , $h(3) = 60 - 45 = 15$ .

$\frac{h(3) - h(1)}{3 - 1} = \frac{15 - 15}{2} = 0 \text{ m/s}$

b) $h(1{,}5) = 30 - 11{,}25 = 18{,}75$ .

$\frac{h(1{,}5) - h(1)}{1{,}5 - 1} = \frac{18{,}75 - 15}{0{,}5} = 7{,}5 \text{ m/s}$

Gjennomsnittsfarten avhenger altså av hvilket intervall vi ser på.

📝Oppgave 1

Finn gjennomsnittlig vekstfart for $f(x) = x^2$ på de gitte intervallene.

[1, 3]

[1, 2]

[1, 1{,}1]

[1, 1{,}01]

Momentan vekstfart (den deriverte)

f

✏️Eksempel 2: Derivasjon fra definisjonen

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $f(x) = x^2$ .

Løsning:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

Altså $f'(x) = 2x$ . I $x = 1$ får vi $f'(1) = 2$ , som stemmer med moenstrene vi så i oppgave 1.

📝Oppgave 2

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne $f'(x)$ .

f(x) = 3x - 1

f(x) = x^2 + x

f(x) = x^3

📜Tangentens likning

Tangentlinjen til grafen til

f

i punktet

(a, f(a))

har likningen:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Dette er ettpunktsformelen for en rett linje gjennom $(a, f(a))$ med stigningstall $f'(a)$ .

✏️Eksempel 3: Tangentlikning

Finn tangentens likning til $f(x) = x^2 - 3x + 2$ i punktet der $x = 2$ .

Løsning:

Funksjonsverdi: $f(2) = 4 - 6 + 2 = 0$ , så tangentpunktet er $(2, 0)$ .

Derivert: $f'(x) = 2x - 3$ , så $f'(2) = 1$ .

Tangentens likning:
$y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 0 + 1 \cdot (x - 2) = x - 2$

📝Oppgave 3

Finn tangentens likning i det angitte punktet.

f(x) = x^2

x = 3

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

x = 2

f(x) = \sqrt{x}

x = 4

Overgangen fra sekant til tangent er noekkelen til forstaaelsen av derivasjon:

Denne overgangen er fundamentet for hele differensialregningen.

📝Oppgave 4

Bruk definisjonen av den deriverte.

Vis at $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ når $f(x) = \sqrt{x}$ , for $x > 0$ .

Vis at $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ når $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ , for $x \neq 0$ .

📝Oppgave 5

Et firma selger $x$ enheter av et produkt. Inntektsfunksjonen er $I(x) = 500x - 2x^2$ (i kroner).

Finn gjennomsnittlig inntektsøkning per enhet når produksjonen økes fra 50 til 60 enheter.

Finn den momentane inntektsendringen når $x = 50$ (marginalinntekten).

For hvilken verdi av $x$ er marginalinntekten lik null?

📝Oppgave 6

La $f(x) = x^2 + 1$ . Finn ligningen for den rette linjen gjennom $(0, -3)$ som er tangent til grafen til $f$ .