Interaktive lærebøker for norsk skole

Grafene til sinus, cosinus og tangens med transformasjoner.

55 min

16 oppgaver

SinuskurveCosinuskurveTangenskurveAmplitudePeriodeFaseforskyvning

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen

Trigonometriske grafer

Nar vi plotter $\sin x$ og $\cos x$ som funksjoner av $x$ , far vi periodiske kurver -- de gjentar seg med jevne mellomrom. I dette kapittelet skal vi studere disse grafene og lare hvordan ulike parametere endrer formen pa kurven.

Grafen til $y = \sin x$

Sinusfunksjonen er en bolgelignende kurve med disse egenskapene:

- Periode: $2\pi$ (grafen gjentar seg etter $2\pi$ )
- Amplitude: $1$ (storste avstand fra $x$ -aksen)
- Verdimengde: $[-1, 1]$
- Nullpunkter: $x = n\pi$ for $n \in \mathbb{Z}$
- Toppunkt: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (der $\sin x = 1$ )
- Bunnpunkt: $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ (der $\sin x = -1$ )

📊Grafen til y = sin x

Utforsk sinusfunksjonen interaktivt.

Grafen til $y = \cos x$

Cosinusfunksjonen har samme form som sinusfunksjonen, men er forskjovet $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ mot venstre:

- Periode: $2\pi$
- Amplitude: $1$
- Verdimengde: $[-1, 1]$
- Nullpunkter: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ for $n \in \mathbb{Z}$
- Toppunkt: $x = 2n\pi$ (der $\cos x = 1$ )
- Bunnpunkt: $x = \pi + 2n\pi$ (der $\cos x = -1$ )

Sammenheng: $\displaystyle \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Grafen til $y = \tan x$

Tangensfunksjonen har en helt annen form enn sinus og cosinus:

- Periode: $\pi$ (ikke $2\pi$ !)
- Verdimengde: $(-\infty, \infty)$ -- alle reelle tall
- Nullpunkter: $x = n\pi$ for $n \in \mathbb{Z}$
- Vertikale asymptoter: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (der $\cos x = 0$ )
- Monotont voksende pa hvert intervall mellom to asymptoter

📝Oppgave 1

Oppgi periode, amplitude og verdimengde for hver funksjon.

y = \sin x

y = \cos x

y = \tan x

Den generelle sinusfunksjonen

Ved a endre parameterne i sinusfunksjonen kan vi kontrollere bolgens form:

$y = a \cdot \sin(bx + c) + d$

Hver parameter har en bestemt effekt pa grafen.

Parameterne i $y = a \sin(bx + c) + d$

a

Parameter	Navn	Effekt
$a$	Amplitude	$\|a\|$ = storste avstand fra midtlinjen. Negativ $a$ speiler grafen.
$b$	Vinkelfrekvens	Bestemmer perioden: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{\|b\|}$
$c$	Faseforskyvning	Forskyver grafen horisontalt: $\displaystyle -\frac{c}{b}$ enheter
$d$	Vertikal forskyvning	Forskyver grafen vertikalt (midtlinjen er $y = d$ )

📜Periode for trigonometriske funksjoner

For

y = a \sin(bx + c) + d

y = a \cos(bx + c) + d

$\text{Periode} = T = \frac{2\pi}{|b|}$

For $y = a \tan(bx + c) + d$ :

$\text{Periode} = T = \frac{\pi}{|b|}$

✏️Eksempel 1: Analyse av transformert sinusfunksjon

Bestem amplitude, periode, faseforskyvning og vertikal forskyvning for funksjonen:

$f(x) = 3\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$

Losning:

Vi sammenligner med $y = a \sin(bx + c) + d$ :

$a = 3$ , $b = 2$ , $\displaystyle c = -\frac{\pi}{3}$ , $d = 1$

- Amplitude: $|a| = 3$
- Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$
- Faseforskyvning: $\displaystyle -\frac{c}{b} = -\frac{-\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6}$ (mot hoyre)
- Vertikal forskyvning: $d = 1$ (opp)
- Verdimengde: $[1 - 3, 1 + 3] = [-2, 4]$
- Midtlinje: $y = 1$

📝Oppgave 2

Bestem amplitude, periode, faseforskyvning og verdimengde for hver funksjon.

f(x) = 2\sin(3x)

\displaystyle g(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + 2

\displaystyle h(x) = 4\sin(\frac{x}{2} + \pi)

✏️Eksempel 2: Finn funksjonsuttrykket fra grafen

En sinuslignende graf har folgende egenskaper:
- Storste verdi: $5$ , minste verdi: $1$
- Periode: $\pi$
- Toppunkt i $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$

Finn funksjonsuttrykket pa formen $f(x) = a\sin(bx + c) + d$ .

Losning:

Steg 1: Finn $a$ og $d$

Midtlinjen: $\displaystyle d = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Amplitude: $\displaystyle a = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Steg 2: Finn $b$

Periode $\displaystyle = \frac{2\pi}{b} = \pi$ , sa $b = 2$ .

Steg 3: Finn $c$

Sinusfunksjonen har toppunkt nar argumentet er $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ . Vi trenger:

$\displaystyle 2 \cdot \frac{\pi}{4} + c = \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{2} + c = \frac{\pi}{2}$
$c = 0$

Svar:

$f(x) = 2\sin(2x) + 3$

📝Oppgave 3

Finn et funksjonsuttrykk pa formen $f(x) = a\sin(bx + c) + d$ med de gitte egenskapene.

Amplitude $3$ , periode $4\pi$ , ingen forskyvning

Storste verdi $7$ , minste verdi $-1$ , periode $2\pi$

Amplitude $2$ , periode $\pi$ , toppunkt i $x = 0$

📝Oppgave 4

Finn perioden til hver funksjon.

y = \sin(4x)

\displaystyle y = \cos(\frac{x}{3})

y = \tan(2x)

y = \sin(\pi x)

✏️Eksempel 3: Negativ amplitude og speiling

Beskriv hvordan grafen til $g(x) = -2\cos(x) + 1$ er transformert i forhold til $y = \cos x$ .

Losning:

Vi sammenligner med $y = a\cos(bx + c) + d$ :

$a = -2$ , $b = 1$ , $c = 0$ , $d = 1$

Transformasjonene (i rekkefølge):
1. Strekk vertikalt med faktor $2$ : amplituden okes fra $1$ til $2$
2. Speiling om $x$ -aksen (fordi $a < 0$ ): grafen snus opp-ned
3. Flytt opp med $1$ : midtlinjen flyttes fra $y = 0$ til $y = 1$

Verdimengde: $[1 - 2, 1 + 2] = [-1, 3]$

Merk: $g(0) = -2 \cdot 1 + 1 = -1$ (bunnpunkt, ikke toppunkt, fordi grafen er speilet).

📝Oppgave 5

Beskriv transformasjonene fra $y = \sin x$ til den gitte funksjonen.

y = 3\sin(x) - 2

\displaystyle y = \sin(x - \frac{\pi}{2})

y = -\sin(2x) + 3

📝Oppgave 6

Bruk GeoGebra til a tegne $\displaystyle f(x) = 2\sin(3x - \frac{\pi}{2}) + 1$ . Les av toppunkter, bunnpunkter og nullpunkter fra grafen.

📝Oppgave 7

En sinuslignende funksjon har toppunkter i $\displaystyle (-\frac{\pi}{4}, 6)$ og bunnpunkter i $\displaystyle (\frac{\pi}{4}, 2)$ . Finn funksjonsuttrykket.

📝Oppgave 8

Temperaturen i en by kan tilnarmet beskrives med funksjonen $\displaystyle T(t) = 10\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 4)\right) + 12$ der $T$ er temperaturen i $°C$ og $t$ er maneden (januar = 1).

Finn amplitude, periode og gjennomsnittlig temperatur.

Finn temperaturen i januar ( $t = 1$ ) og juli ( $t = 7$ ).

I hvilke maneder er temperaturen over $17°C$ ?

📝Oppgave 9

Skisser grafen til funksjonen for $x \in [0, 2\pi]$ og merk av viktige punkter.

y = \sin(x) + 1

y = 2\cos(x)

📝Oppgave 10

Avgjor om funksjonen er periodisk. Hvis ja, oppgi perioden.

f(x) = \sin(x) + \cos(x)

g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)

h(x) = x \cdot \sin(x)

📝Oppgave 11

Vis at $\displaystyle \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ .

📝Oppgave 12

Koble funksjonsuttrykket med riktig beskrivelse.

y = 3\cos(x)

-- Hva er verdimengden?

\displaystyle y = \sin(\frac{x}{2})

-- Hva er perioden?

y = \cos(x) - 5

-- Hva er midtlinjen?

📝Oppgave 13

Skriv $f(x) = -3\cos(2x - \pi) + 1$ pa formen $a\sin(bx + c) + d$ .

📝Oppgave 14

Vannstanden i en havn varierer mellom $0{,}5$ m og $3{,}5$ m med en periode pa $12{,}4$ timer. Hoyvannet var kl. 06:00.

Sett opp en modell $h(t) = a\sin(bt + c) + d$ der $t$ er antall timer etter midnatt.

Finn vannstanden kl. 12:00.

📝Oppgave 15

Hvor mange losninger har likningen $\sin x = 0{,}5$ pa intervallet $[0, 4\pi]$ ?

📝Oppgave 16

Funksjonen $f(x) = a\cos(bx) + d$ gar gjennom punktene $(0, 5)$ , $\displaystyle (\frac{\pi}{2}, 1)$ og $(\pi, -3)$ . Finn $a$ , $b$ og $d$ .

Oppsummering

Standardgrafene: $y = \sin x$ og $y = \cos x$ har periode $2\pi$ og amplitude $1$ . $y = \tan x$ har periode $\pi$ .

Den generelle formen: $y = a\sin(bx + c) + d$

- Amplitude: $|a|$
- Periode: $\displaystyle \frac{2\pi}{|b|}$
- Faseforskyvning: $\displaystyle -\frac{c}{b}$
- Vertikal forskyvning: $d$
- Verdimengde: $[d - |a|, d + |a|]$

Parameter	Navn	Effekt
$a$	Amplitude	$\|a\|$ = storste avstand fra midtlinjen. Negativ $a$ speiler grafen.
$b$	Vinkelfrekvens	Bestemmer perioden: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{\|b\|}$
$c$	Faseforskyvning	Forskyver grafen horisontalt: $\displaystyle -\frac{c}{b}$ enheter
$d$	Vertikal forskyvning	Forskyver grafen vertikalt (midtlinjen er $y = d$ )

Parameter

Navn

Effekt

a

Amplitude

|a|

= storste avstand fra midtlinjen. Negativ

a

speiler grafen.

b

Vinkelfrekvens

Bestemmer perioden:

\displaystyle T = \frac{2\pi}{|b|}

c

Faseforskyvning

Forskyver grafen horisontalt:

\displaystyle -\frac{c}{b}

enheter

d

Vertikal forskyvning

Forskyver grafen vertikalt (midtlinjen er

y = d

)

7.2 Trigonometriske grafer

Trigonometriske grafer

Grafen til $y = \sin x$

Grafen til $y = \cos x$

Grafen til $y = \tan x$

Den generelle sinusfunksjonen

Oppsummering

7.2 Trigonometriske grafer

Trigonometriske grafer

Grafen til $y = \sin x$

Grafen til $y = \cos x$

Grafen til $y = \tan x$

Den generelle sinusfunksjonen

Oppsummering

7.2 Trigonometriske grafer

Trigonometriske grafer

Grafen til y=sin⁡xy = \sin xy=sinx

Grafen til y=cos⁡xy = \cos xy=cosx

Grafen til y=tan⁡xy = \tan xy=tanx

Den generelle sinusfunksjonen

Oppsummering

7.2 Trigonometriske grafer

Trigonometriske grafer

Grafen til y=sin⁡xy = \sin xy=sinx

Grafen til y=cos⁡xy = \cos xy=cosx

Grafen til y=tan⁡xy = \tan xy=tanx

Den generelle sinusfunksjonen

Oppsummering

Grafen til $y = \sin x$

Grafen til $y = \cos x$

Grafen til $y = \tan x$

Grafen til $y = \sin x$

Grafen til $y = \cos x$

Grafen til $y = \tan x$