Interaktive lærebøker for norsk skole

Ordnede utvalg med og uten tilbakelegging.

50 min

16 oppgaver

PermutasjonerFakultetOrdnede utvalgTilbakelegging

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Multiplikasjonsprinsippet

Brukes videre i

8.3Kombinasjoner

Ordnede og uordnede utvalg

Når vi velger elementer fra en mengde, er det avgjørende om rekkefølgen har betydning eller ikke.

- Ordnet utvalg (permutasjon): Rekkefølgen teller. Å velge leder og nestleder er noe annet enn nestleder og leder.
- Uordnet utvalg (kombinasjon): Rekkefølgen er likegyldig. Et utvalg av tre personer til en komité er det samme uansett hvilken rekkefølge de velges i.

Begge tilfellene kan beregnes effektivt med formler basert på fakultet.

Fakultet

n

Fakultet kan forenkles trinnvis:

$n! = n \cdot (n-1)!$

Dette betyr at $\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-r+1)$ , som er produktet av de $r$ største faktorene i $n!$ .

📝Oppgave 1

Regn ut.

6!

\displaystyle \frac{8!}{6!}

\displaystyle \frac{10!}{7! \cdot 3!}

\displaystyle \frac{100!}{99!}

Løs oppgaven Tren

Permutasjoner

n

✏️Eksempel 1: Permutasjoner

a) På hvor mange måter kan $5$ bøker plasseres på en hylle?
b) $10$ løpere deltar i et løp. På hvor mange måter kan gull, sølv og bronse fordeles?

Løsning:

a) Alle $5$ bøkene skal ordnes: $P(5) = 5! = 120$ måter.

b) Vi velger $3$ løpere fra $10$ der rekkefølgen betyr noe:

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \text{ måter}$

📝Oppgave 2

En kode består av bokstavene A, B, C, D, E brukt nøyaktig én gang. Hvor mange koder kan lages?

📝Oppgave 3

I en klasse med $25$ elever skal det velges president, visepresident og kasserer. Ingen kan ha mer enn ett verv. Hvor mange mulige utfall finnes?

Kombinasjoner og binomialkoeffisienter

r

Permutasjon vs. kombinasjon

Den vanligste feilen er å blande permutasjoner og kombinasjoner.

Spør deg selv: Betyr rekkefølgen noe?
- Velge $3$ vinnere (1., 2., 3. plass) fra $10$ → permutasjon ( $P(10,3) = 720$ )
- Velge $3$ representanter fra $10$ → kombinasjon ( $\binom{10}{3} = 120$ )

Sammenhengen: $\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{P(n,r)}{r!}$ fordi vi deler bort de $r!$ rekkefølgene.

✏️Eksempel 2: Kombinasjoner

I en gruppe på $12$ personer skal det velges en komité med $4$ medlemmer. Hvor mange mulige komitéer finnes?

Løsning:

Rekkefølgen har ikke betydning (en komité er den samme uansett hvilken rekkefølge medlemmene velges i).

$\binom{12}{4} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11{\,}880}{24} = 495$

Det finnes $495$ mulige komitéer.

📝Oppgave 4

Regn ut.

\binom{7}{3}

\binom{10}{2}

\binom{8}{8}

\binom{20}{18}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

I Lotto velger du $7$ tall fra $1$ til $34$ . Hvor mange mulige Lotto-rekker finnes?

Pascals trekant

Binomialkoeffisientene kan ordnes i en trekant kjent som Pascals trekant. Hvert tall er summen av de to tallene rett over:

$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\ & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \end{array}$

Rad $n$ (telt fra $0$ ) inneholder tallene $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ .

📜Pascals regel

For alle heltall

n \geq 1

1 \leq r \leq n-1

$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$

Denne regelen forklarer hvorfor hvert tall i Pascals trekant er summen av de to over.

📝Oppgave 6

Bruk Pascals regel til å beregne $\binom{6}{2}$ ved hjelp av rad $5$ i Pascals trekant.

📝Oppgave 7

Vis at summen av alle binomialkoeffisientene i rad $n$ er $2^n$ , dvs. $\displaystyle\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$ .

✏️Eksempel 3: Pokerhender

En pokerhand består av $5$ kort fra en standard kortstokk med $52$ kort. Hvor mange mulige hender finnes? Hvor mange av dem er «flush» (alle $5$ kort i samme farge)?

Løsning:

Antall hender totalt: $\displaystyle \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{120} = 2{\,}598{\,}960$

For flush: Velg farge ( $4$ muligheter), deretter $5$ av $13$ kort i den fargen:

$4 \cdot \binom{13}{5} = 4 \cdot 1287 = 5148$

(Dette inkluderer straight flush, som er en undergruppe.)

📝Oppgave 8

En klasse har $14$ gutter og $11$ jenter. På hvor mange måter kan det velges en gruppe på $5$ elever som inneholder nøyaktig $3$ gutter og $2$ jenter?

📝Oppgave 9

Fra en kortstokk med $52$ kort trekkes $5$ kort. Hvor mange hender inneholder nøyaktig $2$ ess?

📝Oppgave 10

Forklar kort forskjellen mellom $P(8, 3)$ og $\binom{8}{3}$ , og regn ut begge.

📝Oppgave 11

Hvor mange diagonaler har en konveks $n$ -kant? Regn ut for $n = 8$ .

📝Oppgave 12

Hvor mange bokstavkombinasjoner (ordnede) kan lages av bokstavene i ordet BANANA?

📝Oppgave 13

I et rutenett skal du gå fra hjørne A (øverst til venstre) til hjørne B (nederst til høyre). Du kan bare gå til høyre (H) eller nedover (N). Rutenettet er $5$ steg til høyre og $3$ steg ned. Hvor mange korteste veier finnes?

📝Oppgave 14

Ved bruk av binomialformelen $(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ :

a) Utvid $(x + 2)^4$ .
b) Finn koeffisienten foran $x^3$ i utviklingen av $(2x - 3)^5$ .

📝Oppgave 15

I et fotballag med $20$ spillere skal det velges $11$ som starter kampen. Hvor mange mulige startoppstillinger finnes (uten hensyn til posisjon)?

📝Oppgave 16

Vis algebraisk at $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ .

Oppsummering

Fakultet: $n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1$ , og $0! = 1$ .

Permutasjoner (ordnet utvalg): $\displaystyle P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

Kombinasjoner (uordnet utvalg): $\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Sammenhengen: $\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{P(n,r)}{r!}$

Pascals regel: $\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$

Binomialformelen: $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$

Huskeregel: Betyr rekkefølgen noe? Ja $\rightarrow$ permutasjon. Nei $\rightarrow$ kombinasjon.

Ordnede utvalg med og uten tilbakelegging.

50 min

16 oppgaver

PermutasjonerFakultetOrdnede utvalgTilbakelegging

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Multiplikasjonsprinsippet

Brukes videre i

8.3Kombinasjoner

Ordnede og uordnede utvalg

Når vi velger elementer fra en mengde, er det avgjørende om rekkefølgen har betydning eller ikke.

Begge tilfellene kan beregnes effektivt med formler basert på fakultet.

Fakultet

n

Fakultet kan forenkles trinnvis:

$n! = n \cdot (n-1)!$

Dette betyr at $\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-r+1)$ , som er produktet av de $r$ største faktorene i $n!$ .

📝Oppgave 1

Regn ut.

6!

\displaystyle \frac{8!}{6!}

\displaystyle \frac{10!}{7! \cdot 3!}

\displaystyle \frac{100!}{99!}

Løs oppgaven Tren

Permutasjoner

n

✏️Eksempel 1: Permutasjoner

a) På hvor mange måter kan $5$ bøker plasseres på en hylle?
b) $10$ løpere deltar i et løp. På hvor mange måter kan gull, sølv og bronse fordeles?

Løsning:

a) Alle $5$ bøkene skal ordnes: $P(5) = 5! = 120$ måter.

b) Vi velger $3$ løpere fra $10$ der rekkefølgen betyr noe:

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \text{ måter}$

📝Oppgave 2

En kode består av bokstavene A, B, C, D, E brukt nøyaktig én gang. Hvor mange koder kan lages?

📝Oppgave 3

I en klasse med $25$ elever skal det velges president, visepresident og kasserer. Ingen kan ha mer enn ett verv. Hvor mange mulige utfall finnes?

Kombinasjoner og binomialkoeffisienter

r

Permutasjon vs. kombinasjon

Den vanligste feilen er å blande permutasjoner og kombinasjoner.

Sammenhengen: $\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{P(n,r)}{r!}$ fordi vi deler bort de $r!$ rekkefølgene.

✏️Eksempel 2: Kombinasjoner

I en gruppe på $12$ personer skal det velges en komité med $4$ medlemmer. Hvor mange mulige komitéer finnes?

Løsning:

Rekkefølgen har ikke betydning (en komité er den samme uansett hvilken rekkefølge medlemmene velges i).

$\binom{12}{4} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11{\,}880}{24} = 495$

Det finnes $495$ mulige komitéer.

📝Oppgave 4

Regn ut.

\binom{7}{3}

\binom{10}{2}

\binom{8}{8}

\binom{20}{18}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

I Lotto velger du $7$ tall fra $1$ til $34$ . Hvor mange mulige Lotto-rekker finnes?

Pascals trekant

Binomialkoeffisientene kan ordnes i en trekant kjent som Pascals trekant. Hvert tall er summen av de to tallene rett over:

Rad $n$ (telt fra $0$ ) inneholder tallene $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ .

📜Pascals regel

For alle heltall

n \geq 1

1 \leq r \leq n-1

$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$

Denne regelen forklarer hvorfor hvert tall i Pascals trekant er summen av de to over.

📝Oppgave 6

Bruk Pascals regel til å beregne $\binom{6}{2}$ ved hjelp av rad $5$ i Pascals trekant.

📝Oppgave 7

Vis at summen av alle binomialkoeffisientene i rad $n$ er $2^n$ , dvs. $\displaystyle\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$ .

✏️Eksempel 3: Pokerhender

En pokerhand består av $5$ kort fra en standard kortstokk med $52$ kort. Hvor mange mulige hender finnes? Hvor mange av dem er «flush» (alle $5$ kort i samme farge)?

Løsning:

Antall hender totalt: $\displaystyle \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{120} = 2{\,}598{\,}960$

For flush: Velg farge ( $4$ muligheter), deretter $5$ av $13$ kort i den fargen:

$4 \cdot \binom{13}{5} = 4 \cdot 1287 = 5148$

(Dette inkluderer straight flush, som er en undergruppe.)

📝Oppgave 8

En klasse har $14$ gutter og $11$ jenter. På hvor mange måter kan det velges en gruppe på $5$ elever som inneholder nøyaktig $3$ gutter og $2$ jenter?

📝Oppgave 9

Fra en kortstokk med $52$ kort trekkes $5$ kort. Hvor mange hender inneholder nøyaktig $2$ ess?

📝Oppgave 10

Forklar kort forskjellen mellom $P(8, 3)$ og $\binom{8}{3}$ , og regn ut begge.

📝Oppgave 11

Hvor mange diagonaler har en konveks $n$ -kant? Regn ut for $n = 8$ .

📝Oppgave 12

Hvor mange bokstavkombinasjoner (ordnede) kan lages av bokstavene i ordet BANANA?

📝Oppgave 13

📝Oppgave 14

Ved bruk av binomialformelen $(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ :

a) Utvid $(x + 2)^4$ .
b) Finn koeffisienten foran $x^3$ i utviklingen av $(2x - 3)^5$ .

📝Oppgave 15

I et fotballag med $20$ spillere skal det velges $11$ som starter kampen. Hvor mange mulige startoppstillinger finnes (uten hensyn til posisjon)?

📝Oppgave 16

Vis algebraisk at $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ .

Oppsummering

Fakultet: $n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1$ , og $0! = 1$ .

Permutasjoner (ordnet utvalg): $\displaystyle P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

Kombinasjoner (uordnet utvalg): $\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Sammenhengen: $\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{P(n,r)}{r!}$

Pascals regel: $\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$

Binomialformelen: $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$

Huskeregel: Betyr rekkefølgen noe? Ja $\rightarrow$ permutasjon. Nei $\rightarrow$ kombinasjon.

8.2 Permutasjoner

Ordnede og uordnede utvalg

Pascals trekant

Oppsummering

8.2 Permutasjoner

Ordnede og uordnede utvalg

Pascals trekant

Oppsummering