Interaktive lærebøker for norsk skole

Forenkle, multiplisere og dividere rasjonale uttrykk.

50 min

12 oppgaver

Rasjonale uttrykkForkortingFellesnevnerAlgebraiske brøker

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Polynomer

Brukes videre i

1.3Likninger og ulikheter

Hva er et rasjonalt uttrykk?

Et rasjonalt uttrykk er en brøk der teller og nevner er polynomer.

Eksempler:
- $\displaystyle \frac{x + 2}{x - 3}$
- $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x + 1}$
- $\displaystyle \frac{2x}{x^2 - 1}$

Rasjonale uttrykk følger de samme reglene som vanlige brøker, men vi må være oppmerksomme på definisjonsmengden.

Rasjonalt uttrykk

\frac{P(x)}{Q(x)}

Forkorting av rasjonale uttrykk

For å forkorte et rasjonalt uttrykk:
1. Faktoriser teller og nevner
2. Stryk felles faktorer

Viktig: Vi kan bare forkorte faktorer, ikke ledd!

✏️Eksempel 1: Forkorting

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ .

Løsning:

Steg 1: Faktoriser teller og nevner

Teller: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ (konjugatsetningen)

Nevner: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ (fullstendig kvadrat)

Steg 2: Forkort
$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}$

Definisjonsmengde: $x \neq -2$

Svar: $\displaystyle \frac{x-2}{x+2}$ , $x \neq -2$

📝Oppgave 1

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .

📝Oppgave 2

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 2x}$ .

📝Oppgave 3

Forkort $\displaystyle \frac{x^3 - x}{x^2 - 1}$ .

Multiplikasjon av rasjonale uttrykk

For å multiplisere rasjonale uttrykk:
$\frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot S(x)}$

Tips: Faktoriser først, så kan du forkorte før du multipliserer.

✏️Eksempel 2: Multiplikasjon

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 1}$ .

Løsning:

Steg 1: Faktoriser
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

Steg 2: Skriv opp og forkort
$\frac{(x-1)(x+1)}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-1}$
$= \frac{(x-1)(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-1)}$
$= x + 1$

Svar: $x + 1$ , $x \neq -3, 1$

📝Oppgave 4

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x - 2}$ .

Divisjon av rasjonale uttrykk

For å dividere rasjonale uttrykk, multipliserer vi med den omvendte brøken:
$\frac{P(x)}{Q(x)} \div \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{S(x)}{R(x)}$

📝Oppgave 5

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x} \div \frac{x + 3}{x^2}$ .

Addisjon og subtraksjon

For å addere eller subtrahere rasjonale uttrykk trenger vi fellesnevner.

$\frac{P(x)}{Q(x)} + \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot S(x) + R(x) \cdot Q(x)}{Q(x) \cdot S(x)}$

✏️Eksempel 3: Addisjon

Regn ut $\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1}$ .

Løsning:

Fellesnevner: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

Utvider brøkene:
$\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

Adderer tellerne:
$= \frac{2(x+1) + 3(x-1)}{x^2 - 1}$
$= \frac{2x + 2 + 3x - 3}{x^2 - 1}$
$= \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$

Svar: $\displaystyle \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$ , $x \neq \pm 1$

📝Oppgave 6

Regn ut $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1}$ .

📝Oppgave 7

Regn ut $\displaystyle \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2}$ .

📝Oppgave 8

Forenkle $\displaystyle \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} - \frac{2x-1}{x^2-x}$ .

📝Oppgave 9

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$ .

📝Oppgave 10

Forenkle $\displaystyle \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$ .

📝Oppgave 11

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4x + 4}$ .

📝Oppgave 12

Vis at $\displaystyle \frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1$ for $x \neq 1$ .

Oppsummering

Rasjonalt uttrykk: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ der $P$ og $Q$ er polynomer

Forkorting: Faktoriser og stryk felles faktorer

Multiplikasjon: $\displaystyle \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$

Divisjon: $\displaystyle \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$

Addisjon/Subtraksjon: Finn fellesnevner

Husk definisjonsmengden!

Forenkle, multiplisere og dividere rasjonale uttrykk.

50 min

12 oppgaver

Rasjonale uttrykkForkortingFellesnevnerAlgebraiske brøker

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Polynomer

Brukes videre i

1.3Likninger og ulikheter

Hva er et rasjonalt uttrykk?

Et rasjonalt uttrykk er en brøk der teller og nevner er polynomer.

Eksempler:
- $\displaystyle \frac{x + 2}{x - 3}$
- $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x + 1}$
- $\displaystyle \frac{2x}{x^2 - 1}$

Rasjonale uttrykk følger de samme reglene som vanlige brøker, men vi må være oppmerksomme på definisjonsmengden.

Rasjonalt uttrykk

\frac{P(x)}{Q(x)}

Forkorting av rasjonale uttrykk

For å forkorte et rasjonalt uttrykk:
1. Faktoriser teller og nevner
2. Stryk felles faktorer

Viktig: Vi kan bare forkorte faktorer, ikke ledd!

✏️Eksempel 1: Forkorting

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ .

Løsning:

Steg 1: Faktoriser teller og nevner

Teller: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ (konjugatsetningen)

Nevner: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ (fullstendig kvadrat)

Steg 2: Forkort
$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}$

Definisjonsmengde: $x \neq -2$

Svar: $\displaystyle \frac{x-2}{x+2}$ , $x \neq -2$

📝Oppgave 1

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .

📝Oppgave 2

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 2x}$ .

📝Oppgave 3

Forkort $\displaystyle \frac{x^3 - x}{x^2 - 1}$ .

Multiplikasjon av rasjonale uttrykk

For å multiplisere rasjonale uttrykk:
$\frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot S(x)}$

Tips: Faktoriser først, så kan du forkorte før du multipliserer.

✏️Eksempel 2: Multiplikasjon

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 1}$ .

Løsning:

Steg 1: Faktoriser
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

Steg 2: Skriv opp og forkort
$\frac{(x-1)(x+1)}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-1}$
$= \frac{(x-1)(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-1)}$
$= x + 1$

Svar: $x + 1$ , $x \neq -3, 1$

📝Oppgave 4

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x - 2}$ .

Divisjon av rasjonale uttrykk

For å dividere rasjonale uttrykk, multipliserer vi med den omvendte brøken:
$\frac{P(x)}{Q(x)} \div \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{S(x)}{R(x)}$

📝Oppgave 5

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x} \div \frac{x + 3}{x^2}$ .

Addisjon og subtraksjon

For å addere eller subtrahere rasjonale uttrykk trenger vi fellesnevner.

$\frac{P(x)}{Q(x)} + \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot S(x) + R(x) \cdot Q(x)}{Q(x) \cdot S(x)}$

✏️Eksempel 3: Addisjon

Regn ut $\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1}$ .

Løsning:

Fellesnevner: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

Utvider brøkene:
$\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

Adderer tellerne:
$= \frac{2(x+1) + 3(x-1)}{x^2 - 1}$
$= \frac{2x + 2 + 3x - 3}{x^2 - 1}$
$= \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$

Svar: $\displaystyle \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$ , $x \neq \pm 1$

📝Oppgave 6

Regn ut $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1}$ .

📝Oppgave 7

Regn ut $\displaystyle \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2}$ .

📝Oppgave 8

Forenkle $\displaystyle \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} - \frac{2x-1}{x^2-x}$ .

📝Oppgave 9

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$ .

📝Oppgave 10

Forenkle $\displaystyle \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$ .

📝Oppgave 11

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4x + 4}$ .

📝Oppgave 12

Vis at $\displaystyle \frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1$ for $x \neq 1$ .

Oppsummering

Rasjonalt uttrykk: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ der $P$ og $Q$ er polynomer

Forkorting: Faktoriser og stryk felles faktorer

Multiplikasjon: $\displaystyle \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$

Divisjon: $\displaystyle \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$

Addisjon/Subtraksjon: Finn fellesnevner

Husk definisjonsmengden!

1.2 Rasjonale uttrykk

Hva er et rasjonalt uttrykk?

Forkorting av rasjonale uttrykk

Multiplikasjon av rasjonale uttrykk

Divisjon av rasjonale uttrykk

Addisjon og subtraksjon

Oppsummering

1.2 Rasjonale uttrykk

Hva er et rasjonalt uttrykk?

Forkorting av rasjonale uttrykk

Multiplikasjon av rasjonale uttrykk

Divisjon av rasjonale uttrykk

Addisjon og subtraksjon

Oppsummering