Interaktive lærebøker for norsk skole

Bruke ulike funksjonstyper til å modellere praktiske sammenhenger.

55 min

14 oppgaver

Matematisk modelleringFunksjonsvalgTilpasningPraktiske problemer

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.5Omvendte funksjoner

Trigonometriske funksjoner i S1

Mange fenomener i naturen og samfunnet gjentar seg med jevne mellomrom: temperaturer gjennom året, tidevann, lyd og lys. Slike periodiske fenomener kan modelleres med trigonometriske funksjoner.

I S1 bruker vi trigonometriske funksjoner som verktøy for modellering. Vi fokuserer på hvordan vi kan tilpasse funksjonene til virkelige datasett og tolke parameterne i kontekst.

Repetisjon: sinus, cosinus og tangens

Fra enhetssirkelen (sirkel med sentrum i origo og radius 1) definerer vi for en vinkel $v$ :

$\cos v = x\text{-koordinaten}, \quad \sin v = y\text{-koordinaten}, \quad \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$

Disse definisjonene gjelder for alle vinkler, ikke bare de mellom $0°$ og $90°$ .

Radianer

\pi \text{ rad} = 180°

Generell sinusfunksjon

f(x) = A \sin\!\bigl(B(x - C)\bigr) + D

✏️Eksempel 1: Bestemme parametere fra graf

En periodisk funksjon har toppunkt $(2, 8)$ og bunnpunkt $(8, 2)$ . Beskriv den som $f(x) = A\sin\!\bigl(B(x - C)\bigr) + D$ .

Løsning:

Likevektslinje: $\displaystyle D = \frac{8 + 2}{2} = 5$

Amplitude: $\displaystyle A = \frac{8 - 2}{2} = 3$

Periode: Avstand topp-bunn er halv periode: $\displaystyle \frac{T}{2} = 8 - 2 = 6$ , så $T = 12$ .

$B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Faseforskyvning: Sinus har toppunkt $\displaystyle \frac{T}{4}$ etter start: $C = 2 - 3 = -1$ .

$f(x) = 3\sin\!\left(\frac{\pi}{6}(x + 1)\right) + 5$

✏️Eksempel 2: Temperaturmodell

Gjennomsnittstemperaturen varierer mellom $-5°$ C i januar ( $t = 1$ ) og $17°$ C i juli ( $t = 7$ ). Sett opp en sinusmodell $T(t) = A\sin\!\bigl(B(t - C)\bigr) + D$ der $t$ er månedsnummer.

Løsning:

$\displaystyle D = \frac{17 + (-5)}{2} = 6$ , $\displaystyle \quad A = \frac{17 - (-5)}{2} = 11$

Periode $T = 12$ : $\displaystyle B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Maks i $t = 7$ : $\displaystyle C = 7 - \frac{12}{4} = 4$

$T(t) = 11\sin\!\left(\frac{\pi}{6}(t - 4)\right) + 6$

Kontroll: $\displaystyle T(7) = 11\sin\!\bigl(\frac{\pi}{2}\bigr) + 6 = 17$ ✓, $\displaystyle \;T(1) = 11\sin\!\bigl(-\frac{\pi}{2}\bigr) + 6 = -5$ ✓

- Bruk cosinus hvis dataene starter i et toppunkt eller bunnpunkt
- Bruk sinus hvis dataene starter ved likevektslinjen og stiger

Sammenhengen: $\displaystyle \cos x = \sin\!\bigl(x + \frac{\pi}{2}\bigr)$

📜Viktige trigonometriske identiteter

Grunnidentitet:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Symmetri:
$\sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x$

Tangens: $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , periode $\pi$ , udefinert for $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ .

Radianer på kalkulatoren

Sett kalkulatoren i radianmodus (RAD) når du regner med trigonometriske modeller der $B$ er oppgitt som f.eks. $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ . Gradmodus (DEG) gir feil svar.

📝Oppgave 1

Gjør om mellom grader og radianer:

Gjør om $120°$ til radianer.

Gjør om $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ radianer til grader.

Gjør om $45°$ til radianer.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

For funksjonen $\displaystyle f(x) = 4\sin\!\bigl(\frac{\pi}{3}x\bigr) + 1$ , bestem amplitude, periode og likevektslinje.

📝Oppgave 3

Vannstanden i en havn varierer mellom 1,2 m og 3,8 m med periode 12,4 timer. Hoyvann inntreffer $t = 3$ timer etter midnatt. Sett opp en sinusmodell $h(t)$ .

📝Oppgave 4

En sinusfunksjon har toppunkt $(3, 10)$ og bunnpunkt $(9, 2)$ . Bestem $A$ , $B$ og $D$ i $f(x) = A\sin(Bx) + D$ .

📝Oppgave 5

Dagslys modelleres med $\displaystyle L(t) = 6{,}5\sin\!\bigl(\frac{\pi}{6}(t - 3{,}5)\bigr) + 12{,}5$ der $t$ er manedsnummer.

Hvor mange timer dagslys er det i juni ( $t = 6$ )?

Nar er det lengst dag?

Hva er forskjellen i daglengde mellom sommer og vinter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Stromforbruket i et hus modelleres med $\displaystyle S(t) = 3\cos\!\bigl(\frac{\pi}{12}t\bigr) + 5$ der $t$ er timer etter midnatt og $S$ er i kW. Finn maks og min forbruk, og nar de inntreffer.

📝Oppgave 7

Vis at $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ for $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ .

📝Oppgave 8

Regn ut uten kalkulator:

\tan 45°

\tan 60°

\tan 0°

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Iskremsalg (tusen enheter) modelleres som $S(t) = a\sin\!\bigl(b(t - c)\bigr) + d$ . Salget er 10 000 i januar ( $t=1$ ), 40 000 i april ( $t=4$ ) og 70 000 i juli ( $t=7$ ). Bestem modellen.

📝Oppgave 10

En pendel svinger med $s(t) = 0{,}15\sin(2\pi t)$ der $s$ er utslag i meter og $t$ er tid i sekunder.

Bestem amplitude og periode.

Hva er utslaget etter $t = 0{,}25$ s?

Nar er utslaget forst lik $0{,}075$ m?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Gitt $\sin x = 0{,}6$ og $\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}$ . Finn $\cos x$ og $\tan x$ .

📝Oppgave 12

Dybden i en innsjo modelleres med $\displaystyle d(t) = 2{,}5\cos\!\bigl(\frac{\pi}{6}(t-4)\bigr) + 8{,}5$ der $t$ er manedsnummer. I hvilke maneder er dybden over 10 m?

📝Oppgave 13

Passasjertall (tusen) pa en ferge modelleres med $\displaystyle P(t) = 25\sin\!\bigl(\frac{\pi}{6}(t-1)\bigr) + 45$ . I hvilke maneder er det flere enn 60 000 passasjerer?

📝Oppgave 14

Temperaturen i et kjoleskap svinger mellom $2°$ C og $8°$ C med periode 30 minutter. Ved $t=0$ er temperaturen $5°$ C og synkende. Sett opp en modell og finn nar temperaturen forst nar $8°$ C.

Oppsummering

Generell sinusfunksjon: $f(x) = A\sin\!\bigl(B(x - C)\bigr) + D$

- $|A|$ = amplitude, $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|}$ = periode, $C$ = faseforskyvning, $D$ = likevektslinje

Fremgangsmate for modellering:
1. $\displaystyle D = \frac{\text{maks} + \text{min}}{2}$
2. $\displaystyle A = \frac{\text{maks} - \text{min}}{2}$
3. $\displaystyle B = \frac{2\pi}{T}$
4. $C$ bestemmes fra toppunktets plassering

Viktige identiteter: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , $\displaystyle \;\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Radianer: $\pi \text{ rad} = 180°$

Bruke ulike funksjonstyper til å modellere praktiske sammenhenger.

55 min

14 oppgaver

Matematisk modelleringFunksjonsvalgTilpasningPraktiske problemer

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.5Omvendte funksjoner

Trigonometriske funksjoner i S1

Mange fenomener i naturen og samfunnet gjentar seg med jevne mellomrom: temperaturer gjennom året, tidevann, lyd og lys. Slike periodiske fenomener kan modelleres med trigonometriske funksjoner.

I S1 bruker vi trigonometriske funksjoner som verktøy for modellering. Vi fokuserer på hvordan vi kan tilpasse funksjonene til virkelige datasett og tolke parameterne i kontekst.

Repetisjon: sinus, cosinus og tangens

Fra enhetssirkelen (sirkel med sentrum i origo og radius 1) definerer vi for en vinkel $v$ :

$\cos v = x\text{-koordinaten}, \quad \sin v = y\text{-koordinaten}, \quad \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$

Disse definisjonene gjelder for alle vinkler, ikke bare de mellom $0°$ og $90°$ .

Radianer

\pi \text{ rad} = 180°

Generell sinusfunksjon

f(x) = A \sin\!\bigl(B(x - C)\bigr) + D

✏️Eksempel 1: Bestemme parametere fra graf

En periodisk funksjon har toppunkt $(2, 8)$ og bunnpunkt $(8, 2)$ . Beskriv den som $f(x) = A\sin\!\bigl(B(x - C)\bigr) + D$ .

Løsning:

Likevektslinje: $\displaystyle D = \frac{8 + 2}{2} = 5$

Amplitude: $\displaystyle A = \frac{8 - 2}{2} = 3$

Periode: Avstand topp-bunn er halv periode: $\displaystyle \frac{T}{2} = 8 - 2 = 6$ , så $T = 12$ .

$B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Faseforskyvning: Sinus har toppunkt $\displaystyle \frac{T}{4}$ etter start: $C = 2 - 3 = -1$ .

$f(x) = 3\sin\!\left(\frac{\pi}{6}(x + 1)\right) + 5$

✏️Eksempel 2: Temperaturmodell

Gjennomsnittstemperaturen varierer mellom $-5°$ C i januar ( $t = 1$ ) og $17°$ C i juli ( $t = 7$ ). Sett opp en sinusmodell $T(t) = A\sin\!\bigl(B(t - C)\bigr) + D$ der $t$ er månedsnummer.

Løsning:

$\displaystyle D = \frac{17 + (-5)}{2} = 6$ , $\displaystyle \quad A = \frac{17 - (-5)}{2} = 11$

Periode $T = 12$ : $\displaystyle B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Maks i $t = 7$ : $\displaystyle C = 7 - \frac{12}{4} = 4$

$T(t) = 11\sin\!\left(\frac{\pi}{6}(t - 4)\right) + 6$

Kontroll: $\displaystyle T(7) = 11\sin\!\bigl(\frac{\pi}{2}\bigr) + 6 = 17$ ✓, $\displaystyle \;T(1) = 11\sin\!\bigl(-\frac{\pi}{2}\bigr) + 6 = -5$ ✓

- Bruk cosinus hvis dataene starter i et toppunkt eller bunnpunkt
- Bruk sinus hvis dataene starter ved likevektslinjen og stiger

Sammenhengen: $\displaystyle \cos x = \sin\!\bigl(x + \frac{\pi}{2}\bigr)$

📜Viktige trigonometriske identiteter

Grunnidentitet:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Symmetri:
$\sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x$

Tangens: $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , periode $\pi$ , udefinert for $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ .

Radianer på kalkulatoren

Sett kalkulatoren i radianmodus (RAD) når du regner med trigonometriske modeller der $B$ er oppgitt som f.eks. $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ . Gradmodus (DEG) gir feil svar.

📝Oppgave 1

Gjør om mellom grader og radianer:

Gjør om $120°$ til radianer.

Gjør om $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ radianer til grader.

Gjør om $45°$ til radianer.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

For funksjonen $\displaystyle f(x) = 4\sin\!\bigl(\frac{\pi}{3}x\bigr) + 1$ , bestem amplitude, periode og likevektslinje.

📝Oppgave 3

Vannstanden i en havn varierer mellom 1,2 m og 3,8 m med periode 12,4 timer. Hoyvann inntreffer $t = 3$ timer etter midnatt. Sett opp en sinusmodell $h(t)$ .

📝Oppgave 4

En sinusfunksjon har toppunkt $(3, 10)$ og bunnpunkt $(9, 2)$ . Bestem $A$ , $B$ og $D$ i $f(x) = A\sin(Bx) + D$ .

📝Oppgave 5

Dagslys modelleres med $\displaystyle L(t) = 6{,}5\sin\!\bigl(\frac{\pi}{6}(t - 3{,}5)\bigr) + 12{,}5$ der $t$ er manedsnummer.

Hvor mange timer dagslys er det i juni ( $t = 6$ )?

Nar er det lengst dag?

Hva er forskjellen i daglengde mellom sommer og vinter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Stromforbruket i et hus modelleres med $\displaystyle S(t) = 3\cos\!\bigl(\frac{\pi}{12}t\bigr) + 5$ der $t$ er timer etter midnatt og $S$ er i kW. Finn maks og min forbruk, og nar de inntreffer.

📝Oppgave 7

Vis at $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ for $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ .

📝Oppgave 8

Regn ut uten kalkulator:

\tan 45°

\tan 60°

\tan 0°

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Iskremsalg (tusen enheter) modelleres som $S(t) = a\sin\!\bigl(b(t - c)\bigr) + d$ . Salget er 10 000 i januar ( $t=1$ ), 40 000 i april ( $t=4$ ) og 70 000 i juli ( $t=7$ ). Bestem modellen.

📝Oppgave 10

En pendel svinger med $s(t) = 0{,}15\sin(2\pi t)$ der $s$ er utslag i meter og $t$ er tid i sekunder.

Bestem amplitude og periode.

Hva er utslaget etter $t = 0{,}25$ s?

Nar er utslaget forst lik $0{,}075$ m?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Gitt $\sin x = 0{,}6$ og $\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}$ . Finn $\cos x$ og $\tan x$ .

📝Oppgave 12

Dybden i en innsjo modelleres med $\displaystyle d(t) = 2{,}5\cos\!\bigl(\frac{\pi}{6}(t-4)\bigr) + 8{,}5$ der $t$ er manedsnummer. I hvilke maneder er dybden over 10 m?

📝Oppgave 13

Passasjertall (tusen) pa en ferge modelleres med $\displaystyle P(t) = 25\sin\!\bigl(\frac{\pi}{6}(t-1)\bigr) + 45$ . I hvilke maneder er det flere enn 60 000 passasjerer?

📝Oppgave 14

Temperaturen i et kjoleskap svinger mellom $2°$ C og $8°$ C med periode 30 minutter. Ved $t=0$ er temperaturen $5°$ C og synkende. Sett opp en modell og finn nar temperaturen forst nar $8°$ C.

Oppsummering

Generell sinusfunksjon: $f(x) = A\sin\!\bigl(B(x - C)\bigr) + D$

- $|A|$ = amplitude, $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|}$ = periode, $C$ = faseforskyvning, $D$ = likevektslinje

Viktige identiteter: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , $\displaystyle \;\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Radianer: $\pi \text{ rad} = 180°$

2.6 Modellering med funksjoner

Trigonometriske funksjoner i S1

Repetisjon: sinus, cosinus og tangens

Oppsummering

2.6 Modellering med funksjoner

Trigonometriske funksjoner i S1

Repetisjon: sinus, cosinus og tangens

Oppsummering