3.10 Funksjonsdrøfting

Systematisk analyse: nullpunkter, monotoni, ekstremalpunkter, vendepunkter og asymptoter.

60 min

16 oppgaver

FunksjonsdrøftingNullpunkterMonotoniEkstremalpunkterVendepunkter

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.9Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Funksjonsdrøfting

En funksjonsdrøfting er en systematisk analyse av en funksjon der vi undersøker alle viktige egenskaper. Målet er å forstå funksjonens oppførsel fullstendig, slik at vi kan tegne grafen og tolke resultatene.

Funksjonsdrøfting er sentralt i S1 fordi det knytter sammen algebra, derivasjon og tolkning. I økonomiske sammenhenger brukes drøfting til å finne optimale produksjonsnivåer, maksimal profitt og vendepunkter i vekst.

Prosedyre for funksjonsdrøfting

f(x)

Monotoni og ekstremalpunkter

Monotoniegenskaper avgjøres av fortegnet til $f'(x)$ :

- $f'(x) > 0$ på et intervall $\Rightarrow$ $f$ er stigende der
- $f'(x) < 0$ på et intervall $\Rightarrow$ $f$ er synkende der
- $f'(x) = 0$ i et punkt $\Rightarrow$ mulig stasjonært punkt

Et stasjonært punkt er et toppunkt hvis $f'$ skifter fra positiv til negativ, og et bunnpunkt hvis $f'$ skifter fra negativ til positiv.

Vi kan også bruke andrederiverte-testen: Hvis $f'(a) = 0$ og $f''(a) < 0$ , er $x = a$ et toppunkt. Hvis $f''(a) > 0$ , er det et bunnpunkt.

Vendepunkter og krumning

Et vendepunkt er et punkt der grafen skifter krumning, altså der grafen går fra å være konkav (buet nedover) til å være konveks (buet oppover), eller omvendt.

- $f''(x) > 0$ : grafen er konveks (krummer oppover)
- $f''(x) < 0$ : grafen er konkav (krummer nedover)
- Vendepunkt der $f''(x) = 0$ og $f''$ skifter fortegn

I økonomiske kontekster har vendepunktet en viktig tolkning. For en kostnadsfunksjon $K(x)$ er vendepunktet der marginalkostnaden $K'(x)$ har sitt minimum. Dette kalles ofte det optimale produksjonspunktet (mest kostnadseffektive punkt).

Asymptoter

En asymptote er en linje som grafen nærmer seg uten å nå (i det uendelige). Vi skiller mellom:

- Vertikal asymptote $x = a$ : oppstår der nevneren i en brøkfunksjon er null (og telleren er ulik null).
- Horisontal asymptote $y = b$ : oppstår når $f(x) \to b$ for $x \to \pm \infty$ .
- Skrå asymptote $y = ax + b$ : oppstår for rasjonale funksjoner der tellergraden er nøyaktig 1 høyere enn nevnergraden.

For polynomfunksjoner finnes det ingen asymptoter. Asymptoter er mest relevante for rasjonale funksjoner og eksponentialfunksjoner.

✏️Eksempel 1: Fullstendig drøfting av tredjegradsfunksjon

Gjennomfør en fullstendig funksjonsdrøfting av $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ .

1. Definisjonsmengde:

D_f = \mathbb{R}

(polynom).

2. Nullpunkter: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 = 0$ . Vi prøver $x = -1$ : $f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0$ (nullpunkt). Polynomdivisjon gir:

$f(x) = (x + 1)(x^2 - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)^2$

Nullpunkter: $x = -1$ og $x = 2$ (dobbelt).

3. Førstederiverte: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

4. Stasjonære punkter: $f'(x) = 0$ gir $x = 0$ og $x = 2$ .

5. Monotoni:
- $f'(x) > 0$ for $x < 0$ : stigende
- $f'(x) < 0$ for $0 < x < 2$ : synkende
- $f'(x) > 0$ for $x > 2$ : stigende

Toppunkt i $(0, 4)$ . Bunnpunkt i $(2, 0)$ .

6. Andrederiverte: $f''(x) = 6x - 6$

7. Vendepunkt: $f''(x) = 0$ gir $x = 1$ . $f''$ skifter fra negativ til positiv, så $(1, f(1)) = (1, 2)$ er et vendepunkt.

8. Grenseverdier: $f(x) \to -\infty$ for $x \to -\infty$ og $f(x) \to +\infty$ for $x \to +\infty$ . Ingen asymptoter.

✏️Eksempel 2: Økonomisk funksjonsdrøfting

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}9x^2 + 30x + 100$ der $x$ er antall enheter (i hundre) og $K$ er i tusen kroner.

a) Finn marginalkostnaden $K'(x)$ .
b) Finn det produksjonsnivået der marginalkostnaden er lavest.
c) Hva er vendepunktet til kostnadsfunksjonen, og hva betyr det?

K'(x) = 0{,}03x^2 - 1{,}8x + 30

b) Vi finner minimumspunktet til $K'(x)$ ved å sette $K''(x) = 0$ :

$K''(x) = 0{,}06x - 1{,}8 = 0 \Rightarrow x = 30$

$K''(30) = 0$ og $K'''(x) = 0{,}06 > 0$ , så $x = 30$ er minimum for $K'$ .

$K'(30) = 0{,}03 \cdot 900 - 1{,}8 \cdot 30 + 30 = 27 - 54 + 30 = 3$ tusen kr per 100 enheter.

c) Vendepunktet til $K$ er i $x = 30$ (der $K''(x) = 0$ med fortegnskifte).

$K(30) = 0{,}01 \cdot 27000 - 0{,}9 \cdot 900 + 30 \cdot 30 + 100 = 270 - 810 + 900 + 100 = 460$

Vendepunktet $(30, 460)$ betyr at ved 3000 enheter skifter kostnadsveksten fra avtagende til tiltagende. Før dette punktet avtar marginalkostnaden (stordriftsfordeler), og etter dette punktet øker marginalkostnaden (stordriftsulemper).

✏️Eksempel 3: Drøfting av rasjonell funksjon

Drøft funksjonen $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ .

1. Definisjonsmengde:

D_f = \mathbb{R}

(nevneren

x^2 + 1 > 0

for alle

x

2. Nullpunkter: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

3. Symmetri: $\displaystyle f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2-1}{x^2+1} = f(x)$ , altså er $f$ en partall-funksjon (symmetrisk om $y$ -aksen).

4. Deriverte: Med kvotientregelen:
$f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x(x^2+1-x^2+1)}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

5. Stasjonært punkt: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ . $f(0) = -1$ .

Monotoni: $f'(x) < 0$ for $x < 0$ (synkende), $f'(x) > 0$ for $x > 0$ (stigende). Bunnpunkt i $(0, -1)$ .

6. Horisontal asymptote: $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2-1}{x^2+1} = 1$ . Horisontal asymptote $y = 1$ .

Verdimengden er $V_f = [-1, 1\rangle$ .

📝Oppgave 3.10.1

Gjennomfør en funksjonsdrøfting av $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ .

Finn nullpunktene.

Finn toppunktet.

Angi stigende og synkende intervaller.

📝Oppgave 3.10.2

Gjennomfør en fullstendig drøfting av $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ .

Finn nullpunktene ved faktorisering.

Finn stasjonære punkter og avgjør type.

Finn vendepunktet.

📝Oppgave 3.10.3

En bedrift har profittfunksjonen $P(x) = -0{,}5x^3 + 12x^2 - 60x - 50$ der $x$ er produsert antall (i tusen) og $P$ er i tusen kroner.

Finn $P'(x)$ og bestem for hvilke $x$ -verdier profittfunksjonen har stasjonære punkter.

Avgjør hvilke som er toppunkt og bunnpunkt.

Finn vendepunktet og tolke det økonomisk.

📝Oppgave 3.10.4

Drøft funksjonen $h(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ .

Finn definisjonsmengden, nullpunkter og eventuelle asymptoter.

Finn ekstremalpunktene.

Vis at $h$ er en oddetallsfunksjon og bruk dette til å skissere grafen.

📝Oppgave 3.10.5

Gitt $f(x) = x^3 - 3x$ .

Finn nullpunktene til $f$ .

Finn stasjonaere punkter og avgjør type.

Finn vendepunktet.

📝Oppgave 3.10.6

Droeft funksjonen $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$ .

Faktoriser $f(x)$ og finn nullpunktene.

Finn alle stasjonaere punkter.

Klassifiser de stasjonaere punktene og skisser grafen.

📝Oppgave 3.10.7

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}8x^2 + 60x + 500$ .

Finn marginalkostnaden $K'(x)$ .

Finn vendepunktet til $K(x)$ og tolke det økonomisk.

Bestem intervaller der kostnadene vokser med avtagende rate og med tiltagende rate.

📝Oppgave 3.10.8

Droeft funksjonen $f(x) = xe^{-x}$ for $x \geq 0$ .

Finn nullpunktet og grenseverdien når $x \to \infty$ .

Finn det stasjonaere punktet.

Finn vendepunktet.

📝Oppgave 3.10.9

Gitt $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ .

Finn toppunktet.

Finn nullpunktene.

Angi verdimengden til $f$ .

📝Oppgave 3.10.10

Droeft $f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$ fullstendig.

Finn definisjonsmengde, nullpunkter og asymptoter.

Finn stasjonaere punkter.

Bestem type stasjonaert punkt og skisser grafen.

📝Oppgave 3.10.11

En funksjon er gitt ved $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ .

Vis at $x = 2$ er et nullpunkt, og faktoriser $f(x)$ .

Finn alle nullpunkter og stasjonaere punkter.

Klassifiser de stasjonaere punktene og finn vendepunktet.

📝Oppgave 3.10.12

Profittfunksjonen til en bedrift er $P(x) = -x^3 + 15x^2 - 48x - 50$ der $x$ er i tusen enheter.

Finn stasjonaere punkter og avgjør type.

Finn den maksimale profitten.

Finn vendepunktet og tolke det.

📝Oppgave 3.10.13

Gitt $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5$ .

Finn $f'(x)$ og de stasjonaere punktene.

Avgjør om de stasjonaere punktene er toppunkt eller bunnpunkt.

📝Oppgave 3.10.14

En fjerdegradsfunksjon er gitt ved $f(x) = x^4 - 4x^3$ .

Finn nullpunktene.

Finn stasjonaere punkter og vendepunkter.

Finn vendepunktene.

📝Oppgave 3.10.15

Droeft funksjonen $f(x) = \dfrac{x^2 + 4}{x}$ for $x \neq 0$ .

Skriv om funksjonen og finn asymptoter.

Finn stasjonaere punkter.

Klassifiser de stasjonaere punktene og skisser grafen.

📝Oppgave 3.10.16

En bedrift har totalkostnad $K(x) = 0{,}005x^3 - 0{,}75x^2 + 40x + 2000$ og selger til fast pris $p = 50$ kr.

Sett opp profittfunksjonen og droeft den.

Finn omtrent hvor mange enheter som gir loennsom produksjon ( $P(x) > 0$ ).

3.10 Funksjonsdrøfting

Systematisk analyse: nullpunkter, monotoni, ekstremalpunkter, vendepunkter og asymptoter.

60 min

16 oppgaver

FunksjonsdrøftingNullpunkterMonotoniEkstremalpunkterVendepunkter

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.9Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Funksjonsdrøfting

Prosedyre for funksjonsdrøfting

f(x)

Monotoni og ekstremalpunkter

Monotoniegenskaper avgjøres av fortegnet til $f'(x)$ :

Et stasjonært punkt er et toppunkt hvis $f'$ skifter fra positiv til negativ, og et bunnpunkt hvis $f'$ skifter fra negativ til positiv.

Vi kan også bruke andrederiverte-testen: Hvis $f'(a) = 0$ og $f''(a) < 0$ , er $x = a$ et toppunkt. Hvis $f''(a) > 0$ , er det et bunnpunkt.

Vendepunkter og krumning

Et vendepunkt er et punkt der grafen skifter krumning, altså der grafen går fra å være konkav (buet nedover) til å være konveks (buet oppover), eller omvendt.

- $f''(x) > 0$ : grafen er konveks (krummer oppover)
- $f''(x) < 0$ : grafen er konkav (krummer nedover)
- Vendepunkt der $f''(x) = 0$ og $f''$ skifter fortegn

Asymptoter

En asymptote er en linje som grafen nærmer seg uten å nå (i det uendelige). Vi skiller mellom:

For polynomfunksjoner finnes det ingen asymptoter. Asymptoter er mest relevante for rasjonale funksjoner og eksponentialfunksjoner.

✏️Eksempel 1: Fullstendig drøfting av tredjegradsfunksjon

Gjennomfør en fullstendig funksjonsdrøfting av $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ .

1. Definisjonsmengde:

D_f = \mathbb{R}

(polynom).

2. Nullpunkter: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 = 0$ . Vi prøver $x = -1$ : $f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0$ (nullpunkt). Polynomdivisjon gir:

$f(x) = (x + 1)(x^2 - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)^2$

Nullpunkter: $x = -1$ og $x = 2$ (dobbelt).

3. Førstederiverte: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

4. Stasjonære punkter: $f'(x) = 0$ gir $x = 0$ og $x = 2$ .

5. Monotoni:
- $f'(x) > 0$ for $x < 0$ : stigende
- $f'(x) < 0$ for $0 < x < 2$ : synkende
- $f'(x) > 0$ for $x > 2$ : stigende

Toppunkt i $(0, 4)$ . Bunnpunkt i $(2, 0)$ .

6. Andrederiverte: $f''(x) = 6x - 6$

7. Vendepunkt: $f''(x) = 0$ gir $x = 1$ . $f''$ skifter fra negativ til positiv, så $(1, f(1)) = (1, 2)$ er et vendepunkt.

8. Grenseverdier: $f(x) \to -\infty$ for $x \to -\infty$ og $f(x) \to +\infty$ for $x \to +\infty$ . Ingen asymptoter.

✏️Eksempel 2: Økonomisk funksjonsdrøfting

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}9x^2 + 30x + 100$ der $x$ er antall enheter (i hundre) og $K$ er i tusen kroner.

a) Finn marginalkostnaden $K'(x)$ .
b) Finn det produksjonsnivået der marginalkostnaden er lavest.
c) Hva er vendepunktet til kostnadsfunksjonen, og hva betyr det?

K'(x) = 0{,}03x^2 - 1{,}8x + 30

b) Vi finner minimumspunktet til $K'(x)$ ved å sette $K''(x) = 0$ :

$K''(x) = 0{,}06x - 1{,}8 = 0 \Rightarrow x = 30$

$K''(30) = 0$ og $K'''(x) = 0{,}06 > 0$ , så $x = 30$ er minimum for $K'$ .

$K'(30) = 0{,}03 \cdot 900 - 1{,}8 \cdot 30 + 30 = 27 - 54 + 30 = 3$ tusen kr per 100 enheter.

c) Vendepunktet til $K$ er i $x = 30$ (der $K''(x) = 0$ med fortegnskifte).

$K(30) = 0{,}01 \cdot 27000 - 0{,}9 \cdot 900 + 30 \cdot 30 + 100 = 270 - 810 + 900 + 100 = 460$

✏️Eksempel 3: Drøfting av rasjonell funksjon

Drøft funksjonen $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ .

1. Definisjonsmengde:

D_f = \mathbb{R}

(nevneren

x^2 + 1 > 0

for alle

x

2. Nullpunkter: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

3. Symmetri: $\displaystyle f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2-1}{x^2+1} = f(x)$ , altså er $f$ en partall-funksjon (symmetrisk om $y$ -aksen).

4. Deriverte: Med kvotientregelen:
$f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x(x^2+1-x^2+1)}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

5. Stasjonært punkt: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ . $f(0) = -1$ .

Monotoni: $f'(x) < 0$ for $x < 0$ (synkende), $f'(x) > 0$ for $x > 0$ (stigende). Bunnpunkt i $(0, -1)$ .

6. Horisontal asymptote: $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2-1}{x^2+1} = 1$ . Horisontal asymptote $y = 1$ .

Verdimengden er $V_f = [-1, 1\rangle$ .

📝Oppgave 3.10.1

Gjennomfør en funksjonsdrøfting av $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ .

Finn nullpunktene.

Finn toppunktet.

Angi stigende og synkende intervaller.

📝Oppgave 3.10.2

Gjennomfør en fullstendig drøfting av $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ .

Finn nullpunktene ved faktorisering.

Finn stasjonære punkter og avgjør type.

Finn vendepunktet.

📝Oppgave 3.10.3

En bedrift har profittfunksjonen $P(x) = -0{,}5x^3 + 12x^2 - 60x - 50$ der $x$ er produsert antall (i tusen) og $P$ er i tusen kroner.

Finn $P'(x)$ og bestem for hvilke $x$ -verdier profittfunksjonen har stasjonære punkter.

Avgjør hvilke som er toppunkt og bunnpunkt.

Finn vendepunktet og tolke det økonomisk.

📝Oppgave 3.10.4

Drøft funksjonen $h(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ .

Finn definisjonsmengden, nullpunkter og eventuelle asymptoter.

Finn ekstremalpunktene.

Vis at $h$ er en oddetallsfunksjon og bruk dette til å skissere grafen.

📝Oppgave 3.10.5

Gitt $f(x) = x^3 - 3x$ .

Finn nullpunktene til $f$ .

Finn stasjonaere punkter og avgjør type.

Finn vendepunktet.

📝Oppgave 3.10.6

Droeft funksjonen $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$ .

Faktoriser $f(x)$ og finn nullpunktene.

Finn alle stasjonaere punkter.

Klassifiser de stasjonaere punktene og skisser grafen.

📝Oppgave 3.10.7

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}8x^2 + 60x + 500$ .

Finn marginalkostnaden $K'(x)$ .

Finn vendepunktet til $K(x)$ og tolke det økonomisk.

Bestem intervaller der kostnadene vokser med avtagende rate og med tiltagende rate.

📝Oppgave 3.10.8

Droeft funksjonen $f(x) = xe^{-x}$ for $x \geq 0$ .

Finn nullpunktet og grenseverdien når $x \to \infty$ .

Finn det stasjonaere punktet.

Finn vendepunktet.

📝Oppgave 3.10.9

Gitt $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ .

Finn toppunktet.

Finn nullpunktene.

Angi verdimengden til $f$ .

📝Oppgave 3.10.10

Droeft $f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$ fullstendig.

Finn definisjonsmengde, nullpunkter og asymptoter.

Finn stasjonaere punkter.

Bestem type stasjonaert punkt og skisser grafen.

📝Oppgave 3.10.11

En funksjon er gitt ved $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ .

Vis at $x = 2$ er et nullpunkt, og faktoriser $f(x)$ .

Finn alle nullpunkter og stasjonaere punkter.

Klassifiser de stasjonaere punktene og finn vendepunktet.

📝Oppgave 3.10.12

Profittfunksjonen til en bedrift er $P(x) = -x^3 + 15x^2 - 48x - 50$ der $x$ er i tusen enheter.

Finn stasjonaere punkter og avgjør type.

Finn den maksimale profitten.

Finn vendepunktet og tolke det.

📝Oppgave 3.10.13

Gitt $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5$ .

Finn $f'(x)$ og de stasjonaere punktene.

Avgjør om de stasjonaere punktene er toppunkt eller bunnpunkt.

📝Oppgave 3.10.14

En fjerdegradsfunksjon er gitt ved $f(x) = x^4 - 4x^3$ .

Finn nullpunktene.

Finn stasjonaere punkter og vendepunkter.

Finn vendepunktene.

📝Oppgave 3.10.15

Droeft funksjonen $f(x) = \dfrac{x^2 + 4}{x}$ for $x \neq 0$ .

Skriv om funksjonen og finn asymptoter.

Finn stasjonaere punkter.

Klassifiser de stasjonaere punktene og skisser grafen.

📝Oppgave 3.10.16

En bedrift har totalkostnad $K(x) = 0{,}005x^3 - 0{,}75x^2 + 40x + 2000$ og selger til fast pris $p = 50$ kr.

Sett opp profittfunksjonen og droeft den.

Finn omtrent hvor mange enheter som gir loennsom produksjon ( $P(x) > 0$ ).