3.4 Derivasjon av spesielle funksjoner

Alle fag for VG2

Derivere eksponential- og logaritmefunksjoner.

50 min

12 oppgaver

Derivasjon av e^xDerivasjon av ln xDerivasjon av a^xDerivasjon av log_a x

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Derivasjonsregler

Hva er funksjonsdrøfting?

Funksjonsdrøfting er en systematisk analyse av en funksjon for å forstå dens egenskaper:
- Definisjonsmengde og verdimengde
- Nullpunkter
- Stigning og synking
- Topp- og bunnpunkter
- Eventuelle asymptoter
- Grafens form

Stigning og synking

f

Topp- og bunnpunkter

f'(x) = 0

✏️Fullstendig funksjonsdrøfting

Gjennomfør en fullstendig drøfting av $f(x) = x^3 - 3x^2$ .

1. Definisjonsmengde:

D_f = \mathbb{R}

2. Nullpunkter: $x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3) = 0$
$x = 0$ (dobbelt) og $x = 3$

3. Derivasjon: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

4. Stasjonære punkter: $f'(x) = 0$ når $x = 0$ eller $x = 2$

5. Fortegnslinje for $f'$ :
- $x < 0$ : $f'(x) > 0$ (stigende)
- $0 < x < 2$ : $f'(x) < 0$ (synkende)
- $x > 2$ : $f'(x) > 0$ (stigende)

6. Ekstrempunkter:
- $x = 0$ : Toppunkt, $f(0) = 0$
- $x = 2$ : Bunnpunkt, $f(2) = 8 - 12 = -4$

7. Grenseverdier:
- $x \to -\infty$ : $f(x) \to -\infty$
- $x \to +\infty$ : $f(x) \to +\infty$

📜Andrederivattesten

Hvis $f'(a) = 0$ :
- $f''(a) < 0 \Rightarrow$ toppunkt i $x = a$
- $f''(a) > 0 \Rightarrow$ bunnunkt i $x = a$
- $f''(a) = 0 \Rightarrow$ testen gir ikke svar (bruk fortegnslinje)

✏️Bruke andrederivattesten

Finn og klassifiser de stasjonære punktene til $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2$ .

f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)

Stasjonære punkter: $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$

$f''(x) = 12x^2 - 24x + 8$

- $f''(0) = 8 > 0$ → Bunnpunkt i $(0, 0)$
- $f''(1) = 12 - 24 + 8 = -4 < 0$ → Toppunkt i $(1, 1)$
- $f''(2) = 48 - 48 + 8 = 8 > 0$ → Bunnpunkt i $(2, 0)$

Vendepunkt

f''(x) = 0

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn de stasjonære punktene til $f(x) = x^2 - 6x + 5$ .

Avgjør om det er et topp- eller bunnpunkt.

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn intervallene der $f(x) = x^3 - 12x$ er stigende.

Finn intervallene der $f$ er synkende.

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn nullpunktene til $f(x) = x^3 - 4x$ .

Finn de stasjonære punktene.

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Gjennomfør en fullstendig drøfting av $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn topp- og bunnpunkter for $f(x) = xe^{-x}$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn vendepunktet til $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Drøft $f(x) = \ln x - x$ for $x > 0$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Drøft $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ fullstendig.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Finn $a$ slik at $f(x) = x^3 + ax^2 + 3x$ har nøyaktig ett stasjonært punkt.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Drøft $f(x) = x^2 e^{-x}$ fullstendig.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Vis at $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ har bare ett stasjonært punkt.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En funksjon er gitt ved $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ der $f(1) = 0$ , $f'(1) = 0$ og $f''(1) = 0$ . Finn $a$ , $b$ og $c$ .

Matematikk S1Tilbake

3.4 Derivasjon av spesielle funksjoner

Alle fag for VG2

Derivere eksponential- og logaritmefunksjoner.

50 min

12 oppgaver

Derivasjon av e^xDerivasjon av ln xDerivasjon av a^xDerivasjon av log_a x

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Derivasjonsregler

Hva er funksjonsdrøfting?

Stigning og synking

f

Topp- og bunnpunkter

f'(x) = 0

✏️Fullstendig funksjonsdrøfting

Gjennomfør en fullstendig drøfting av $f(x) = x^3 - 3x^2$ .

1. Definisjonsmengde:

D_f = \mathbb{R}

2. Nullpunkter: $x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3) = 0$
$x = 0$ (dobbelt) og $x = 3$

3. Derivasjon: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

4. Stasjonære punkter: $f'(x) = 0$ når $x = 0$ eller $x = 2$

5. Fortegnslinje for $f'$ :
- $x < 0$ : $f'(x) > 0$ (stigende)
- $0 < x < 2$ : $f'(x) < 0$ (synkende)
- $x > 2$ : $f'(x) > 0$ (stigende)

6. Ekstrempunkter:
- $x = 0$ : Toppunkt, $f(0) = 0$
- $x = 2$ : Bunnpunkt, $f(2) = 8 - 12 = -4$

7. Grenseverdier:
- $x \to -\infty$ : $f(x) \to -\infty$
- $x \to +\infty$ : $f(x) \to +\infty$

📜Andrederivattesten

Hvis $f'(a) = 0$ :
- $f''(a) < 0 \Rightarrow$ toppunkt i $x = a$
- $f''(a) > 0 \Rightarrow$ bunnunkt i $x = a$
- $f''(a) = 0 \Rightarrow$ testen gir ikke svar (bruk fortegnslinje)

✏️Bruke andrederivattesten

Finn og klassifiser de stasjonære punktene til $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2$ .

f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)

Stasjonære punkter: $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$

$f''(x) = 12x^2 - 24x + 8$

- $f''(0) = 8 > 0$ → Bunnpunkt i $(0, 0)$
- $f''(1) = 12 - 24 + 8 = -4 < 0$ → Toppunkt i $(1, 1)$
- $f''(2) = 48 - 48 + 8 = 8 > 0$ → Bunnpunkt i $(2, 0)$

Vendepunkt

f''(x) = 0

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn de stasjonære punktene til $f(x) = x^2 - 6x + 5$ .

Avgjør om det er et topp- eller bunnpunkt.

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn intervallene der $f(x) = x^3 - 12x$ er stigende.

Finn intervallene der $f$ er synkende.

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn nullpunktene til $f(x) = x^3 - 4x$ .

Finn de stasjonære punktene.

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Gjennomfør en fullstendig drøfting av $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn topp- og bunnpunkter for $f(x) = xe^{-x}$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn vendepunktet til $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Drøft $f(x) = \ln x - x$ for $x > 0$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Drøft $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ fullstendig.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Finn $a$ slik at $f(x) = x^3 + ax^2 + 3x$ har nøyaktig ett stasjonært punkt.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Drøft $f(x) = x^2 e^{-x}$ fullstendig.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Vis at $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ har bare ett stasjonært punkt.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En funksjon er gitt ved $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ der $f(1) = 0$ , $f'(1) = 0$ og $f''(1) = 0$ . Finn $a$ , $b$ og $c$ .