• Lærebøker
  • Python
  • GeoGebra
  • Hoderegning
  • Test deg selv

Søk i Skolesaga

Søk etter lærebøker, kapitler, trinn og verktøy

Gratis interaktive lærebøker for norsk skole.

Lærebok
PersonvernVilkår

© 2025 Skolesaga · Alle rettigheter forbeholdt

Deler av innholdet er utviklet med hjelp av AI-verktøy

Matematikk S1Tilbake
5.4 Avansert kombinatorikk
Avansert kombinatorikk

5.4 Avansert kombinatorikk

Alle fag for VG2

Inklusjon-eksklusjon, stjernemodellen og avanserte telleteknikker.

60 min
5 oppgaver
Inklusjon-eksklusjonStjernemodellenOrdnet utvalgAvansert telling
Din fremgang i kapitlet
0 / 5 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Bygger på
5.3Bayes' setning

Hypergeometrisk fordeling

Tenk deg en urne med kuler av to farger. Du trekker et visst antall kuler uten tilbakelegging. Hvor mange av en bestemt farge får du? Sannsynligheten for dette beskrives av den hypergeometriske fordelingen.

Situasjonen oppstår når vi:
- Har en populasjon med to kategorier (f.eks. rød/blå, defekt/ok, gutt/jente)
- Trekker et utvalg uten tilbakelegging
- Er interessert i antall av den ene kategorien

Hypergeometrisk fordeling
La NNN = totalt antall, MMM = antall med ønsket egenskap, nnn = antall vi trekker. Da er XXX = antall med ønsket egenskap i utvalget hypergeometrisk fordelt:

P(X=k)=(Mk)⋅(N−Mn−k)(Nn)P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}P(X=k)=(nN​)(kM​)⋅(n−kN−M​)​

der k=0,1,2,…,min⁡(n,M)k = 0, 1, 2, \ldots, \min(n, M)k=0,1,2,…,min(n,M).

Forventningsverdi: E(X)=n⋅MN\displaystyle E(X) = n \cdot \frac{M}{N}E(X)=n⋅NM​

Varians: Var(X)=n⋅MN⋅N−MN⋅N−nN−1\displaystyle \text{Var}(X) = n \cdot \frac{M}{N} \cdot \frac{N-M}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}Var(X)=n⋅NM​⋅NN−M​⋅N−1N−n​

✏️Eksempel 1: Trekking av kuler

En urne har 12 kuler: 5 røde og 7 blå. Du trekker 4 kuler uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for nøyaktig 2 røde.

Løsning:

N=12N = 12N=12, M=5M = 5M=5 (røde), n=4n = 4n=4, k=2k = 2k=2.

P(X=2)=(52)⋅(72)(124)=10⋅21495=210495≈0,424P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}}{\binom{12}{4}} = \frac{10 \cdot 21}{495} = \frac{210}{495} \approx 0{,}424P(X=2)=(412​)(25​)⋅(27​)​=49510⋅21​=495210​≈0,424

Sannsynligheten er ca. 42,4 %.

✏️Eksempel 2: Kvalitetskontroll

Et parti med 20 enheter inneholder 3 defekte. Vi trekker 5 for kontroll. Finn P(X≥1)P(X \geq 1)P(X≥1).

Løsning:

Det er enklest å bruke komplementsetningen: P(X≥1)=1−P(X=0)P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)P(X≥1)=1−P(X=0).

P(X=0)=(30)⋅(175)(205)=1⋅618815504≈0,399P(X = 0) = \frac{\binom{3}{0} \cdot \binom{17}{5}}{\binom{20}{5}} = \frac{1 \cdot 6188}{15504} \approx 0{,}399P(X=0)=(520​)(03​)⋅(517​)​=155041⋅6188​≈0,399

P(X≥1)=1−0,399=0,601P(X \geq 1) = 1 - 0{,}399 = 0{,}601P(X≥1)=1−0,399=0,601

Det er ca. 60,1 % sjanse for å oppdage minst en defekt.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

a

En kortstokk har 52 kort. Du trekker 5 kort. Finn sannsynligheten for nøyaktig 2 ess (M=4M = 4M=4 ess).

b

Finn forventningsverdien E(X)E(X)E(X).

📝Oppgave 2

En klasse har 18 jenter og 12 gutter. Det trekkes 5 elever tilfeldig til et utvalg. Finn sannsynligheten for nøyaktig 3 jenter.

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

a

Et lotteri har 50 lodd der 8 er gevinst. Du kjøper 6 lodd. Finn P(X=0)P(X = 0)P(X=0).

b

Finn P(X≥2)P(X \geq 2)P(X≥2).

📝Oppgave 4

Et lager har 100 produkter der 10 er defekte. Kvalitetskontrollen trekker 8 produkter. Finn forventningsverdi og standardavvik for antall defekte i utvalget.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

a

Sett opp hele sannsynlighetsfordelingen for antall røde kuler (XXX) når vi trekker 3 kuler fra en urne med 4 røde og 6 blå.

b

Kontroller at E(X)=n⋅MN\displaystyle E(X) = n \cdot \frac{M}{N}E(X)=n⋅NM​ ved å beregne forventningsverdien fra fordelingen.