Interaktive lærebøker for norsk skole

Binomiske forsøk og binomisk fordeling.

60 min

16 oppgaver

Binomisk forsøkBinomisk fordelingForventningStandardavvik

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1Kombinatorikk

Brukes videre i

6.3Normalfordelingen

Binomiske forsøk

Mange situasjoner i virkeligheten kan beskrives som gjentatte forsøk der vi er interessert i antall «suksesser». For eksempel:
- Antall seksere ved 10 terningkast
- Antall riktige svar på en prøve med flervalgsspørsmål
- Antall defekte produkter i en produksjonsserie
- Antall pasienter som blir friske av en behandling

Disse situasjonene har noe til felles: Vi gjør et forsøk flere ganger, og hvert forsøk har to mulige utfall.

Binomisk forsøk

n

For at modellen skal gjelde, må forsøkene være uavhengige. Det betyr at utfallet av ett forsøk ikke påvirker sannsynligheten i de andre.

Eksempel: Hvis du trekker kuler fra en urne med tilbakelegging, er trekkene uavhengige. Uten tilbakelegging er de avhengige, og da gjelder ikke binomisk fordeling (da bruker vi hypergeometrisk fordeling).

Tommelfingerregel: Trekking uten tilbakelegging kan tilnærmes med binomisk fordeling dersom utvalget er lite sammenlignet med populasjonen (under 10 %).

Binomisk sannsynlighet

For å finne sannsynligheten for nøyaktig $k$ suksesser i $n$ forsøk, trenger vi to ting:
1. Sannsynligheten for én bestemt rekkefølge med $k$ suksesser: $p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
2. Antall rekkefølger med $k$ suksesser blant $n$ forsøk: $\binom{n}{k}$

📜Binomisk sannsynlighetsformel

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

, er sannsynligheten for nøyaktig

k

suksesser:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n$

der $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ er binomialkoeffisienten.

✏️Eksempel 1: Terningkast

Du kaster en rettferdig terning 4 ganger. Finn sannsynligheten for å få nøyaktig 2 seksere.

Løsning:

Her er $n = 4$ , $\displaystyle p = \frac{1}{6}$ (sannsynlighet for sekser), $k = 2$ .

$P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$

$= 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} \approx 0{,}1157$

Sannsynligheten er ca. $11{,}6\%$ .

✏️Eksempel 2: Flervalgstest

En flervalgstest har 8 spørsmål, hvert med 4 alternativer (ett riktig). En elev gjetter tilfeldig. Finn sannsynligheten for at eleven får minst 5 riktige.

Løsning:

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$

$P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$

$P(X=5) = \binom{8}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^3 = 56 \cdot 0{,}000977 \cdot 0{,}4219 \approx 0{,}0231$

$P(X=6) = \binom{8}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^2 = 28 \cdot 0{,}000244 \cdot 0{,}5625 \approx 0{,}00385$

$P(X=7) = \binom{8}{7} \cdot 0{,}25^7 \cdot 0{,}75^1 = 8 \cdot 0{,}0000610 \cdot 0{,}75 \approx 0{,}000366$

$P(X=8) = \binom{8}{8} \cdot 0{,}25^8 \cdot 0{,}75^0 = 1 \cdot 0{,}0000153 \approx 0{,}0000153$

$P(X \geq 5) \approx 0{,}0231 + 0{,}00385 + 0{,}000366 + 0{,}0000153 \approx 0{,}0273$

Sannsynligheten er ca. $2{,}7\%$ . Ren gjetting gir svært sjelden 5 eller flere riktige.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

En mynt kastes 5 ganger. Finn sannsynligheten for nøyaktig 3 kron.

Finn sannsynligheten for minst 4 kron.

📝Oppgave 2

Avgjør om følgende er binomiske forsøk. Begrunn svaret.

Antall seksere ved 10 terningkast.

Antall røde kuler ved trekking av 5 kuler uten tilbakelegging fra en urne med 20 kuler.

Antall gutter blant 6 nyfødte ved et sykehus.

📝Oppgave 3

X \sim \text{Bin}(6, 0{,}3)

. Beregn

P(X = 0)

P(X = 1)

P(X = 2)

📝Oppgave 4

En kvalitetskontroll viser at 5 % av produktene fra en fabrikk er defekte. Det trekkes et utvalg på 10 produkter. Finn sannsynligheten for at det er nøyaktig 1 defekt produkt i utvalget.

📝Oppgave 5

Et legemiddel har 70 % sjanse for å virke. 8 pasienter behandles. Finn sannsynligheten for at legemiddelet virker på minst 6 av dem.

Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

For binomisk fordeling finnes det enkle formler for forventningsverdi og varians.

📜Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

, er:

$E(X) = np$
$\text{Var}(X) = np(1-p)$
$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Eksempel: For $X \sim \text{Bin}(100, 0{,}3)$ :
- $E(X) = 100 \cdot 0{,}3 = 30$
- $\text{Var}(X) = 100 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 21$
- $\sigma = \sqrt{21} \approx 4{,}58$

✏️Eksempel 3: Forventningsverdi og standardavvik

En skarpskytter treffer blinken 80 % av gangene. Hun skyter 50 skudd. Hva er forventet antall treff, og hva er standardavviket?

Løsning:

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}8)$

$E(X) = np = 50 \cdot 0{,}8 = 40$

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 50 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 8$

$\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83$

Vi forventer ca. 40 treff, med et standardavvik på ca. 2,8 treff.

Kumulative sannsynligheter

Ofte er vi interessert i $P(X \leq k)$ eller $P(X \geq k)$ i stedet for $P(X = k)$ .

Kumulativ sannsynlighet:
$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i) = P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)$

Nyttige sammenhenger:
- $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$
- $P(X < k) = P(X \leq k-1)$
- $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$

I praksis bruker vi kalkulator eller tabell for kumulative binomiske sannsynligheter når $n$ er stor.

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

X \sim \text{Bin}(20, 0{,}4)

. Finn

E(X)

\sigma

Y \sim \text{Bin}(50, 0{,}1)

. Finn

E(Y)

\sigma

📝Oppgave 7

En vaksine har 90 % effektivitet. 15 personer vaksineres. Finn sannsynligheten for at alle 15 blir beskyttet.

📝Oppgave 8

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt nordmann er venstrehendt er ca. 10 %. I en klasse med 25 elever, finn sannsynligheten for at det er nøyaktig 3 venstrehendte.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

X \sim \text{Bin}(10, 0{,}5)

. Finn

P(X \leq 3)

Finn $P(X \geq 7)$ .

📝Oppgave 10

I en spørreundersøkelse svarer 60 % at de støtter et forslag. Du spør 12 tilfeldige personer. Finn sannsynligheten for at færre enn halvparten i utvalget støtter forslaget.

📝Oppgave 11

Hva er den mest sannsynlige verdien (typetallet) for $X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ ? Beregn $P(X = k)$ for $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ og finn den høyeste.

📝Oppgave 12

Et flyselskap vet at 5 % av passasjerene ikke møter opp. Flyet har 200 seter, og de selger 210 billetter. La $X$ = antall som ikke møter opp.

Finn $E(X)$ og $\sigma$ .

Flyet er overbooket hvis færre enn 10 ikke møter. Finn $P(X < 10)$ med kalkulator.

📝Oppgave 13

En urne inneholder 3 røde og 7 blå kuler. Du trekker 5 kuler med tilbakelegging. Finn sannsynligheten for at du trekker nøyaktig 2 røde kuler, og sammenlign med resultatet uten tilbakelegging (hypergeometrisk).

📝Oppgave 14

En kvalitetskontrollør godkjenner et parti dersom det er høyst 2 defekte i et utvalg på 20. Defektandelen i produksjonen er 8 %. Finn sannsynligheten for at partiet godkjennes.

📝Oppgave 15

I en familie med 4 barn, la $X$ være antall jenter (anta $p = 0{,}5$ ). Sett opp hele sannsynlighetsfordelingen og tegn et stolpediagram. Beregn $E(X)$ og $\sigma$ både med formelen og direkte fra fordelingen.

📝Oppgave 16

Et firma tilbyr en garanti: Hvis mer enn 3 av 20 produkter er defekte, erstattes hele partiet (verdi 10 000 kr). Defektandelen er 10 %. Hva er forventet erstatningskostnad per parti?

Oppsummering

Binomisk forsøk: $n$ uavhengige forsøk, to utfall, konstant $p$ .

Binomisk sannsynlighet:
$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Forventningsverdi og varians:
$E(X) = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p), \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Kumulative sannsynligheter:
- $P(X \leq k)$ finnes ved å summere, eller bruke kalkulator/tabell
- $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$

Husk: Sjekk alltid at betingelsene for binomisk forsøk er oppfylt før du bruker formelen.

Binomiske forsøk og binomisk fordeling.

60 min

16 oppgaver

Binomisk forsøkBinomisk fordelingForventningStandardavvik

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1Kombinatorikk

Brukes videre i

6.3Normalfordelingen

Binomiske forsøk

Disse situasjonene har noe til felles: Vi gjør et forsøk flere ganger, og hvert forsøk har to mulige utfall.

Binomisk forsøk

n

For at modellen skal gjelde, må forsøkene være uavhengige. Det betyr at utfallet av ett forsøk ikke påvirker sannsynligheten i de andre.

Tommelfingerregel: Trekking uten tilbakelegging kan tilnærmes med binomisk fordeling dersom utvalget er lite sammenlignet med populasjonen (under 10 %).

Binomisk sannsynlighet

📜Binomisk sannsynlighetsformel

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

, er sannsynligheten for nøyaktig

k

suksesser:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n$

der $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ er binomialkoeffisienten.

✏️Eksempel 1: Terningkast

Du kaster en rettferdig terning 4 ganger. Finn sannsynligheten for å få nøyaktig 2 seksere.

Løsning:

Her er $n = 4$ , $\displaystyle p = \frac{1}{6}$ (sannsynlighet for sekser), $k = 2$ .

$P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$

$= 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} \approx 0{,}1157$

Sannsynligheten er ca. $11{,}6\%$ .

✏️Eksempel 2: Flervalgstest

En flervalgstest har 8 spørsmål, hvert med 4 alternativer (ett riktig). En elev gjetter tilfeldig. Finn sannsynligheten for at eleven får minst 5 riktige.

Løsning:

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$

$P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$

$P(X=5) = \binom{8}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^3 = 56 \cdot 0{,}000977 \cdot 0{,}4219 \approx 0{,}0231$

$P(X=6) = \binom{8}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^2 = 28 \cdot 0{,}000244 \cdot 0{,}5625 \approx 0{,}00385$

$P(X=7) = \binom{8}{7} \cdot 0{,}25^7 \cdot 0{,}75^1 = 8 \cdot 0{,}0000610 \cdot 0{,}75 \approx 0{,}000366$

$P(X=8) = \binom{8}{8} \cdot 0{,}25^8 \cdot 0{,}75^0 = 1 \cdot 0{,}0000153 \approx 0{,}0000153$

$P(X \geq 5) \approx 0{,}0231 + 0{,}00385 + 0{,}000366 + 0{,}0000153 \approx 0{,}0273$

Sannsynligheten er ca. $2{,}7\%$ . Ren gjetting gir svært sjelden 5 eller flere riktige.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

En mynt kastes 5 ganger. Finn sannsynligheten for nøyaktig 3 kron.

Finn sannsynligheten for minst 4 kron.

📝Oppgave 2

Avgjør om følgende er binomiske forsøk. Begrunn svaret.

Antall seksere ved 10 terningkast.

Antall røde kuler ved trekking av 5 kuler uten tilbakelegging fra en urne med 20 kuler.

Antall gutter blant 6 nyfødte ved et sykehus.

📝Oppgave 3

X \sim \text{Bin}(6, 0{,}3)

. Beregn

P(X = 0)

P(X = 1)

P(X = 2)

📝Oppgave 4

En kvalitetskontroll viser at 5 % av produktene fra en fabrikk er defekte. Det trekkes et utvalg på 10 produkter. Finn sannsynligheten for at det er nøyaktig 1 defekt produkt i utvalget.

📝Oppgave 5

Et legemiddel har 70 % sjanse for å virke. 8 pasienter behandles. Finn sannsynligheten for at legemiddelet virker på minst 6 av dem.

Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

For binomisk fordeling finnes det enkle formler for forventningsverdi og varians.

📜Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

, er:

$E(X) = np$
$\text{Var}(X) = np(1-p)$
$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Eksempel: For $X \sim \text{Bin}(100, 0{,}3)$ :
- $E(X) = 100 \cdot 0{,}3 = 30$
- $\text{Var}(X) = 100 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 21$
- $\sigma = \sqrt{21} \approx 4{,}58$

✏️Eksempel 3: Forventningsverdi og standardavvik

En skarpskytter treffer blinken 80 % av gangene. Hun skyter 50 skudd. Hva er forventet antall treff, og hva er standardavviket?

Løsning:

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}8)$

$E(X) = np = 50 \cdot 0{,}8 = 40$

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 50 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 8$

$\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83$

Vi forventer ca. 40 treff, med et standardavvik på ca. 2,8 treff.

Kumulative sannsynligheter

Ofte er vi interessert i $P(X \leq k)$ eller $P(X \geq k)$ i stedet for $P(X = k)$ .

Kumulativ sannsynlighet:
$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i) = P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)$

Nyttige sammenhenger:
- $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$
- $P(X < k) = P(X \leq k-1)$
- $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$

I praksis bruker vi kalkulator eller tabell for kumulative binomiske sannsynligheter når $n$ er stor.

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

X \sim \text{Bin}(20, 0{,}4)

. Finn

E(X)

\sigma

Y \sim \text{Bin}(50, 0{,}1)

. Finn

E(Y)

\sigma

📝Oppgave 7

En vaksine har 90 % effektivitet. 15 personer vaksineres. Finn sannsynligheten for at alle 15 blir beskyttet.

📝Oppgave 8

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt nordmann er venstrehendt er ca. 10 %. I en klasse med 25 elever, finn sannsynligheten for at det er nøyaktig 3 venstrehendte.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

X \sim \text{Bin}(10, 0{,}5)

. Finn

P(X \leq 3)

Finn $P(X \geq 7)$ .

📝Oppgave 10

I en spørreundersøkelse svarer 60 % at de støtter et forslag. Du spør 12 tilfeldige personer. Finn sannsynligheten for at færre enn halvparten i utvalget støtter forslaget.

📝Oppgave 11

Hva er den mest sannsynlige verdien (typetallet) for $X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ ? Beregn $P(X = k)$ for $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ og finn den høyeste.

📝Oppgave 12

Et flyselskap vet at 5 % av passasjerene ikke møter opp. Flyet har 200 seter, og de selger 210 billetter. La $X$ = antall som ikke møter opp.

Finn $E(X)$ og $\sigma$ .

Flyet er overbooket hvis færre enn 10 ikke møter. Finn $P(X < 10)$ med kalkulator.

📝Oppgave 13

📝Oppgave 14

En kvalitetskontrollør godkjenner et parti dersom det er høyst 2 defekte i et utvalg på 20. Defektandelen i produksjonen er 8 %. Finn sannsynligheten for at partiet godkjennes.

📝Oppgave 15

📝Oppgave 16

Et firma tilbyr en garanti: Hvis mer enn 3 av 20 produkter er defekte, erstattes hele partiet (verdi 10 000 kr). Defektandelen er 10 %. Hva er forventet erstatningskostnad per parti?

Oppsummering

Binomisk forsøk: $n$ uavhengige forsøk, to utfall, konstant $p$ .

Binomisk sannsynlighet:
$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Forventningsverdi og varians:
$E(X) = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p), \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Kumulative sannsynligheter:
- $P(X \leq k)$ finnes ved å summere, eller bruke kalkulator/tabell
- $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$

Husk: Sjekk alltid at betingelsene for binomisk forsøk er oppfylt før du bruker formelen.

6.2 Binomisk fordeling

Binomiske forsøk

Binomisk sannsynlighet

Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

Kumulative sannsynligheter

Oppsummering

6.2 Binomisk fordeling

Binomiske forsøk

Binomisk sannsynlighet

Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

Kumulative sannsynligheter

Oppsummering