Interaktive lærebøker for norsk skole

Eksponentiell, potens- og logaritmisk regresjon — modellvalg og logaritmisk transformasjon.

55 min

12 oppgaver

Eksponentiell regresjonPotensiell regresjonLogaritmisk transformasjonModellvalg

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Lineær regresjon

Brukes videre i

8.6Selvstendig samfunnsøkonomisk prosjekt

Når lineær regresjon ikke er nok

Ikke alle sammenhenger er lineære. Mange fenomener i naturen og samfunnet følger andre mønstre:
- Eksponentiell vekst: Bakterievekst, rentes rente, smittespredning
- Potenssammenheng: Bremselengde og fart, areal og sidelengde
- Logaritmisk vekst: Lydstyrke (desibel), jordskjelvstyrke (Richter)

Dersom spredningsplottet eller residualplottet viser at en lineær modell ikke passer, prøver vi ikke-lineære modeller.

Eksponentiell regresjon

En eksponentiell modell har formen:
$y = a \cdot b^x \quad \text{eller} \quad y = a \cdot e^{kx}$

der $a > 0$ er startverdien og $b > 0$ (eller $k$ ) bestemmer vekstraten.

Kjennetegn i spredningsplottet:
- Kurven stiger stadig raskere ( $b > 1$ ) eller avtar stadig saktere ( $0 < b < 1$ )
- Ser ut som en «J-form» (vekst) eller «fallende kurve» (nedgang)

Logaritmisk transformasjon

y = a \cdot b^x

✏️Eksempel 1: Eksponentiell regresjon

En bakteriekultur dobles omtrent hvert 3. time. Antall bakterier ble målt:

Timer ( $x$ )	0	3	6	9	12
Antall ( $y$ )	100	210	420	870	1750

Finn en eksponentiell modell

y = a \cdot b^x

Løsning:

Steg 1: Transformer $y$ til $\ln y$ :

$x$	0	3	6	9	12
$\ln y$	4,605	5,347	6,040	6,768	7,467

Steg 2: Lineær regresjon på

(x, \ln y)

:
Med kalkulator:

\ln y = 0{,}237x + 4{,}610

Steg 3: Tilbake til eksponentiell form:

$a = e^{4{,}610} \approx 100{,}5 \approx 100$

$b = e^{0{,}237} \approx 1{,}267$
Modell: $y = 100 \cdot 1{,}267^x$
Tolkning: Startantallet er ca. 100 bakterier, og antallet øker med ca. 26,7 % per time.

Kontroll: $y(3) = 100 \cdot 1{,}267^3 \approx 203$ (nær observert 210) ✓

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Hvilken type sammenheng (lineær, eksponentiell, potens) passer best for befolkningsvekst over tid?

Hvilken passer for sammenhengen mellom radius og areal av en sirkel?

Hvilken passer for lydstyrke (desibel) som funksjon av avstand?

📝Oppgave 2

Verdien av en bil ( $y$ , tusen kr) som funksjon av alder ( $x$ , år):

$x$	0	2	4	6	8	10
$y$	350	270	210	160	125	95

Finn en eksponentiell modell

y = a \cdot b^x

📝Oppgave 3

Antall brukere ( $y$ , millioner) av en app over tid ( $x$ , måneder):

$x$	1	3	6	9	12
$y$	0,5	1,2	4,0	13	42

Vis at en eksponentiell modell passer bedre enn en lineær. Bruk kalkulator.

Potensiell regresjon

En potensmodell har formen:
$y = a \cdot x^b$

Logaritmisk transformasjon:
$\ln y = \ln a + b \cdot \ln x$

Setter vi $Y = \ln y$ og $X = \ln x$ , får vi lineær sammenheng:
$Y = bX + \ln a$

Framgangsmåte:
1. Transformer begge variablene: $(\ln x, \ln y)$
2. Utfør lineær regresjon
3. Eksponenten $b$ er stigningstallet, og $a = e^{\text{konstantledd}}$

✏️Eksempel 2: Potensiell regresjon

Bremselengden ( $y$ , meter) som funksjon av fart ( $x$ , km/t):

$x$	30	50	70	90	110
$y$	6	16	32	53	79

Finn en potensmodell

y = a \cdot x^b

Løsning:

Transformer til $\ln$ -verdier:

$\ln x$	3,401	3,912	4,248	4,500	4,700
$\ln y$	1,792	2,773	3,466	3,970	4,369

Lineær regresjon på

(\ln x, \ln y)

\ln y = 1{,}97 \cdot \ln x - 4{,}92

b = 1{,}97 \approx 2

a = e^{-4{,}92} \approx 0{,}0073

Modell: $y \approx 0{,}0073 \cdot x^2$

Tolkning: Bremselengden er tilnærmet proporsjonal med kvadratet av farten. Dobles farten, firedobles bremselengden.

📝Oppgave 4

Perioden ( $y$ , sekunder) til en pendel som funksjon av lengden ( $l$ , meter):

$l$	0,25	0,50	1,00	1,50	2,00
$y$	1,00	1,41	2,00	2,45	2,83

Finn en potensmodell og sammenlign med den teoretiske formelen

\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Hvordan kan du visuelt avgjøre om en eksponentiell eller en potensmodell passer best?

Hva er forskjellen mellom eksponentiell og potensiell vekst for store $x$ -verdier?

📝Oppgave 6

Kroppsoverflaten ( $y$ , m²) som funksjon av kroppsvekten ( $x$ , kg):

$x$	40	50	60	70	80	90	100
$y$	1,25	1,42	1,56	1,68	1,80	1,90	2,00

Bruk kalkulator til å finne den beste modellen blant lineær, eksponentiell og potens. Sammenlign

R^2

-verdiene.

Velge beste modell

Når du har flere kandidatmodeller, bør du bruke flere kriterier for å velge den beste:

1. $R^2$ -verdien: Høyere er bedre, men vær forsiktig med overtilpasning.

2. Residualplott: Den beste modellen har residualer uten systematisk mønster.

3. Faglig rimelighet: Velg en modell som gir mening i konteksten.

4. Prediksjon: Sjekk at modellen gir rimelige verdier, spesielt utenfor dataområdet.

I GeoGebra kan du bruke følgende kommandoer for regresjonsanalyse:

- RegLin(liste) — Lineær regresjon
- RegExp(liste) — Eksponentiell regresjon
- RegPot(liste) — Potensiell regresjon
- RegLog(liste) — Logaritmisk regresjon
- RegPoly(liste, grad) — Polynomregresjon

I regneark (Excel/Google Sheets):
- Legg inn data og lag et spredningsplott
- Høyreklikk på dataserien → Legg til trendlinje
- Velg type (lineær, eksponentiell, polynom, potens)
- Kryss av for «Vis likning» og «Vis $R^2$ -verdi»

📝Oppgave 7

BNP per innbygger ( $x$ , tusen dollar) og forventet levealder ( $y$ , år) for 7 land:

$x$	2	5	10	20	30	40	60
$y$	55	63	70	75	78	80	82

Finn lineær og logaritmisk modell (

y = a + b \cdot \ln x

), og avgjør hvilken som passer best.

📝Oppgave 8

Norges befolkning (i millioner):

År	1900	1925	1950	1975	2000	2024
Innbyggere	2,24	2,81	3,28	4,01	4,49	5,50

x

= år etter 1900. Finn lineær og eksponentiell modell. Hvilken foretrekker du, og hvorfor?

📝Oppgave 9

Følgende data viser mengden av et radioaktivt stoff ( $y$ , mg) etter $x$ timer:

$x$	0	5	10	15	20	25
$y$	100	71	50	35	25	18

Finn en eksponentiell modell og bestem halveringstiden.

📝Oppgave 10

Et datasett gir følgende $R^2$ -verdier for ulike modeller:

- Lineær: $R^2 = 0{,}72$
- Eksponentiell: $R^2 = 0{,}68$
- Potens: $R^2 = 0{,}91$
- Andegradspolynom: $R^2 = 0{,}95$

Hvilken modell velger du? Diskuter fordeler og ulemper med å velge modellen med høyest $R^2$ .

📝Oppgave 11

Energiforbruket ( $y$ , kWh) i en bygning som funksjon av utetemperatur ( $x$ , °C):

$x$	$-10$	$-5$	0	5	10	15	20
$y$	450	380	300	230	170	120	90

Bruk digitale verktøy til å finne den beste modellen blant lineær, eksponentiell og potens. Tolk modellen.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Forklar hvorfor logaritmisk transformasjon gjør en eksponentiell kurve til en rett linje.

Forklar tilsvarende for potensmodellen $y = a \cdot x^b$ .

Hva er fordelen med å bruke digitale verktøy fremfor manuell beregning for ikke-lineær regresjon?

Oppsummering

Eksponentiell regresjon: $y = a \cdot b^x$ . Lineariseres ved $\ln y = \ln a + x \cdot \ln b$ .

Potensiell regresjon: $y = a \cdot x^b$ . Lineariseres ved $\ln y = \ln a + b \cdot \ln x$ .

Logaritmisk regresjon: $y = a + b \cdot \ln x$ . Allerede lineær i $(\ln x, y)$ .

Velge modell:
1. Sammenlign $R^2$ -verdier
2. Sjekk residualplott for mønstre
3. Vurder faglig rimelighet
4. Vurder prediksjon utenfor dataområdet

Digitale verktøy: GeoGebra (RegExp, RegPot), regneark (trendlinjer), Python/R.

Timer (

x

)

Antall (

y

)

100

210

420

870

1750

x

\ln y

4,605

5,347

6,040

6,768

7,467

x

y

350

270

210

160

125

x

y

0,5

1,2

4,0

x

110

y

\ln x

3,401

3,912

4,248

4,500

4,700

\ln y

1,792

2,773

3,466

3,970

4,369

l

0,25

0,50

1,00

1,50

2,00

y

1,00

1,41

2,00

2,45

2,83

x

100

y

1,25

1,42

1,56

1,68

1,80

1,90

2,00

x

y

År

1900

1925

1950

1975

2000

2024

Innbyggere

2,24

2,81

3,28

4,01

4,49

5,50

x

y

100

x

-10

-5

y

450

380

300

230

170

120

7.3 Ikke-lineær regresjon

Når lineær regresjon ikke er nok

Eksponentiell regresjon

Potensiell regresjon

Velge beste modell

Oppsummering

7.3 Ikke-lineær regresjon

Når lineær regresjon ikke er nok

Eksponentiell regresjon

Potensiell regresjon

Velge beste modell

Oppsummering