Interaktive lærebøker for norsk skole

Bruk residualer og residualplott til å vurdere modellkvalitet og avgjøre når en annen modelltype bør prøves.

50 min

12 oppgaver

ResidualResidualplottModellvurderingUteliggere

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Lineær regresjon

Hvorfor er ikke $R^2$ alene nok?

I 7.1 brukte vi $R^2$ til å si hvor godt regresjonslinjen passer. En høy $R^2$ ser fin ut, men forteller ikke hele historien. To datasett kan ha samme $R^2$ , men det ene kan likevel være håpløst dårlig modellert.

For å være sikker på at modellen er god, må vi se på residualene — avvikene mellom det vi observerte og det modellen sier.

Residual

\hat{y} = ax + b

En god regresjonsmodell har residualer som

- ligger tilfeldig spredt rundt null,
- har omtrent samme spredning for små og store $x$ -verdier,
- ikke viser noe systematisk mønster (ingen kurvatur, ingen trakt, ingen bølge).

Hvis residualene viser et mønster, betyr det at modellen ikke har fanget opp alt som ligger i dataene. Da bør vi prøve en annen modelltype.

Residualplott

e_i

1. Tilfeldig sky rundt null — modellen passer godt. Ingen handling nødvendig.

2. U-form eller bue — den lineære modellen mangler kurvatur. Prøv andregrads-, eksponentiell eller potensmodell.

3. Trakt (vifteform) — spredningen er ujevn. Lavere x-verdier gir små residualer, høyere x-verdier gir store. Vurder om $y$ bør transformeres ( $\ln y$ ) eller om modelltypen er feil.

4. Et fåtall punkter med svært store residualer — uteliggere. Sjekk om det er målefeil i datasettet, eller om punktet er en reell avvikende observasjon.

✏️Eksempel 1: Beregne residualer

For datasettet $(1, 9), (2, 11), (3, 14), (4, 16), (5, 21), (6, 24)$ er regresjonslinjen $\hat{y} = 3x + 5{,}5$ .

Beregn residualene og vurder om en lineær modell passer.

Tabell over $\hat{y}_i$ og $e_i$ :

$x_i$	$y_i$	$\hat{y}_i$	$e_i$
1	9	8{,}5	0{,}5
2	11	11{,}5	$-0{,}5$
3	14	14{,}5	$-0{,}5$
4	16	17{,}5	$-1{,}5$
5	21	20{,}5	0{,}5
6	24	23{,}5	0{,}5

Residualene er små og bytter fortegn (

+, -, -, -, +, +

). Det er ikke et tydelig systematisk mønster, og

\sum e_i = 0

som forventet. Lineær modell passer godt.

✏️Eksempel 2: Når residualene avslører at modellen er feil

En forsker tilpasser en lineær modell $\hat{y} = 4x + 2$ til datasettet:

$x$	1	2	3	4	5	6
$y$	5	7	12	18	27	38

Beregn residualene og vurder modellen.

Tabell:

$x$	$y$	$\hat{y}$	$e = y - \hat{y}$
1	5	6	$-1$
2	7	10	$-3$
3	12	14	$-2$
4	18	18	0
5	27	22	5
6	38	26	12

Residualene har et systematisk mønster: store negative for små

x

, store positive for store

x

. Plottet ville vist en tydelig U-/bue-form.

R^2

kan likevel være ganske høy (

\approx 0{,}9

) fordi den lineære trenden fanger noe. Men residualene avslører at en andregrads- eller eksponentiell modell ville passe bedre.
Konklusjon: Den lineære modellen forkastes til fordel for ikke-lineær.

R^2

gir ett enkelt tall — en oppsummering. Residualplott gir en bilde av hva som faktisk skjer punkt for punkt.

Bruk alltid begge:

- Høy $R^2$ + tilfeldig residualplott $\Rightarrow$ god modell.
- Høy $R^2$ + systematisk mønster $\Rightarrow$ misvisende. Modellen er ikke riktig type.
- Lav $R^2$ + tilfeldig residualplott $\Rightarrow$ riktig modelltype, men dataene har mye støy.
- Lav $R^2$ + systematisk mønster $\Rightarrow$ feil modelltype og mye støy. Start på nytt.

✏️Eksempel 3: Uteligger i et datasett

Et datasett over månedlig strømforbruk og utetemperatur gir én observasjon med residual på $-15{,}0$ kWh, mens alle andre residualer ligger mellom $-2$ og $+2$ kWh.

Hvordan bør dette håndteres?

Residualet er svært stort sammenliknet med de andre — observasjonen er en uteligger.

Praktisk håndtering:

1. Sjekk dataene. Er det en målefeil eller skrivefeil? Var det en spesiell måned (ferie, strømstans, ny måler)?
2. Hvis målefeil: rett opp eller fjern observasjonen, og kjør regresjonen på nytt.
3. Hvis reell, men spesiell hendelse: dokumenter den, men vurder å holde den utenfor modellen — og forklar valget i rapporten.
4. Hvis du ikke vet: rapporter resultater både med og uten uteliggeren slik at leseren ser effekten.

Uteliggere må aldri fjernes bare fordi de er ubehagelige. Begrunn alltid valget.

GeoGebra har innebygd støtte for residualer:

1. Skriv inn punktene som en liste, f.eks. data = {(1,9),(2,11),(3,14),(4,16),(5,21),(6,24)}.
2. Lag regresjonslinjen: f = FitLine(data).
3. Beregn residualene: Residualer = Sequence(y(Element(data, k)) - f(x(Element(data, k))), k, 1, Length(data)).
4. Lag residualpunkter: Sequence((x(Element(data, k)), Element(Residualer, k)), k, 1, Length(data)).
5. Tegn $e = 0$ -linjen som referanse.

I Excel: legg til en kolonne =B2-(SLOPEA2+INTERCEPT) og lag spredningsplott av residualene mot $x$ .

I Python: residuals = y - (ax + b) og plt.scatter(x, residuals).

📝Oppgave 1

For datasettet $(1, 4), (2, 6), (3, 9), (4, 11), (5, 14)$ er regresjonslinjen $\hat{y} = 2{,}5x + 1{,}3$ .

Beregn residualene for alle fem punkter.

Verifiser at $\sum e_i \approx 0$ .

Vurder om modellen passer.

📝Oppgave 2

En lineær modell $\hat{y} = 0{,}8x + 50$ er tilpasset til kroppshøyde og skostørrelse. For en person med $x = 175$ cm er $y = 42$ .

Hva er $\hat{y}$ ?

Hva er residualet?

Hva forteller det enorme residualet oss?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Et residualplott viser at residualene er små for $x$ -verdier mellom 0 og 10, men øker jevnt med $x$ helt opp til $|e| \approx 30$ ved $x = 50$ . Hva forteller dette?

📝Oppgave 4

To modeller for samme datasett gir:

- Modell A: lineær, $R^2 = 0{,}94$ , residualplott viser tydelig U-form.
- Modell B: andregrad, $R^2 = 0{,}91$ , residualplott er tilfeldig spredt.

Hvilken modell bør foretrekkes?

📝Oppgave 5

Tabellen viser SSB-data for prisindeks for nye eneboliger (2015 = 100):

År	2015	2017	2019	2021	2023
Indeks	100	110	117	132	138

En lineær regresjonslinje (med

t =

år etter 2015) er

\hat{y} = 4{,}9t + 100{,}2

Beregn residualene.

Er det noe systematisk mønster?

Hva slags reelle hendelser i 2020–2021 kunne forklart avviket?

📝Oppgave 6

En gruppe elever har samlet inn data om antall kunder per dag og inntekter. Regresjonsmodellen $\hat{y} = 250x + 1200$ gir $R^2 = 0{,}88$ . Når de tegner residualplottet ser de et tydelig U-formet mønster.

Hva skal de gjøre, og hvordan kan de begrunne det i prosjektrapporten?

📝Oppgave 7

For en regresjonsmodell på et datasett med

n = 8

punkter er residualene:

$-0{,}3,\ 0{,}1,\ -0{,}2,\ 0{,}4,\ -0{,}1,\ 0{,}3,\ -0{,}5,\ 0{,}3$

Beregn $\sum e_i$ og kontroller at modellen er tilpasset korrekt.

Beregn $\text{SS}_{\text{res}} = \sum e_i^2$ .

Hvis $\text{SS}_{\text{tot}} = 8{,}2$ , finn $R^2$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

En elev har tilpasset en eksponentiell modell $\hat{y} = 50 \cdot 1{,}05^x$ til årlig BNP-vekst. Residualplottet viser en lett bølgeform rundt nullinjen.

Kan modellen brukes til prediksjon? Drøft.

📝Oppgave 9

Du har gjennomført regresjon på et reelt datasett om arbeidsledighet i Norge fra SSB. $R^2 = 0{,}97$ for både en lineær og en eksponentiell modell. Hvordan velger du mellom dem?

📝Oppgave 10

En klassekamerat påstår: «Hvis $R^2 > 0{,}9$ , er modellen alltid god nok til å bruke i en samfunnsøkonomisk rapport.» Vurder denne påstanden.

📝Oppgave 11

Tabellen viser månedlig konsumprisindeks (KPI, 2015 = 100) i Norge:

Måned	Jan	Mar	Mai	Jul	Sep	Nov
KPI	124	125	126	127	128	129

En elev tilpasser

\hat{y} = 1{,}0t + 124

med

t

som månedsnummer (Jan = 0, Mar = 2, Mai = 4 osv.).

Beregn residualene.

Hva slags mønster ser du?

Hva tyder dette på?

📝Oppgave 12

Drøftingsoppgave: Hvorfor er det viktig å presentere både $R^2$ og residualplott i en samfunnsøkonomisk prosjektrapport, og ikke bare velge tallet som ser best ut?

Residualet

e_i = y_i - \hat{y}_i

måler avviket fra modellen til hvert datapunkt.

Residualplott avslører hva $R^2$ ikke kan se: systematiske mønstre, ujevn spredning og uteliggere.

Tre viktige spørsmål:

1. Er residualene tilfeldig spredt rundt null?
2. Er spredningen jevn for alle $x$ -verdier?
3. Finnes det enkeltobservasjoner med uvanlig store residualer?

Et «ja, ja, nei» til disse spørsmålene betyr en god modell. Et «nei» på første eller andre spørsmål er signal om at en annen modelltype bør prøves.

I samfunnsøkonomiske rapporter skal alltid både $R^2$ og residualplott legges fram. Det er en del av faglig integritet.

x_i

y_i

\hat{y}_i

e_i

8{,}5

0{,}5

11{,}5

-0{,}5

14{,}5

-0{,}5

17{,}5

-1{,}5

20{,}5

0{,}5

23{,}5

0{,}5

x

y

x

y

\hat{y}

e = y - \hat{y}

-1

-3

-2

År

2015

2017

2019

2021

2023

Indeks

100

110

117

132

138

Måned

Jan

Mar

Mai

Jul

Sep

Nov

KPI

124

125

126

127

128

129

7.4 Residualanalyse

Hvorfor er ikke $R^2$ alene nok?

7.4 Residualanalyse

Hvorfor er ikke $R^2$ alene nok?

7.4 Residualanalyse

Hvorfor er ikke R2R^2R2 alene nok?

7.4 Residualanalyse

Hvorfor er ikke R2R^2R2 alene nok?

Hvorfor er ikke $R^2$ alene nok?

Hvorfor er ikke $R^2$ alene nok?