Interaktive lærebøker for norsk skole

Beregne nåverdi og vurdere lønnsomhet av investeringer.

55 min

13 oppgaver

NåverdiInternrenteInvesteringsanalyseDiskonteringKontantstrøm

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Annuitetsmodeller

Profitt og optimering

Profitt (overskudd) er forskjellen mellom inntekt og kostnad. En bedrift ønsker å maksimere profitten, og vi kan bruke derivasjon til å finne det produksjonsnivået som gir størst profitt.

Profittfunksjonen er definert som:
$P(x) = I(x) - K(x)$

der $I(x)$ er totalinntekten og $K(x)$ er totalkostnaden. Profittmaksimering er kanskje den viktigste anvendelsen av derivasjon i økonomisk analyse.

Profittfunksjonen

P(x)

📜MR = MC-prinsippet (profittmaksimering)

Profitten

P(x) = I(x) - K(x)

er størst når:

$P'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I'(x) - K'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I'(x) = K'(x)$

Det vil si: Profitten er maksimal der grenseinntekten (MR) er lik marginalkostnaden (MC).

I tillegg må vi ha $P''(x) < 0$ , altså $I''(x) < K''(x)$ for at det skal være et maksimum.

MR = MC-prinsippet (Marginal Revenue = Marginal Cost):
- Så lenge $I'(x) > K'(x)$ : hver ekstra enhet gir mer inntekt enn den koster $\Rightarrow$ øk produksjonen
- Når $I'(x) < K'(x)$ : hver ekstra enhet koster mer enn den gir i inntekt $\Rightarrow$ reduser produksjonen
- Optimalt: $I'(x) = K'(x)$

✏️Profittmaksimering med fast pris

En bedrift selger en være til fast pris $p = 60$ kroner per enhet. Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}5x^2 + 50x + 400$ .

a) Finn profittfunksjonen $P(x)$ .
b) Finn det optimale produksjonsnivået.
c) Beregn den maksimale profitten.

a) Profittfunksjon:

I(x) = 60x

P(x) = I(x) - K(x) = 60x - 0{,}02x^3 + 1{,}5x^2 - 50x - 400

P(x) = -0{,}02x^3 + 1{,}5x^2 + 10x - 400

b) Optimalt produksjonsnivå:
$P'(x) = -0{,}06x^2 + 3x + 10 = 0$

Alternativt: $I'(x) = K'(x)$ :
$60 = 0{,}06x^2 - 3x + 50$
$0{,}06x^2 - 3x - 10 = 0$

Med abc-formelen:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2{,}4}}{0{,}12} = \frac{3 \pm \sqrt{11{,}4}}{0{,}12}$

$x = \frac{3 + 3{,}376}{0{,}12} \approx 53{,}1 \quad \text{(forkaster negativ løsning)}$

Optimalt produksjonsnivå: ca. 53 enheter.

c) Maksimal profitt:
Vi verifiserer at $P''(53{,}1) = -0{,}12 \cdot 53{,}1 + 3 = -3{,}37 < 0$ . Det er maksimum.

$P(53) = -0{,}02 \cdot 148877 + 1{,}5 \cdot 2809 + 530 - 400$
$\approx -2977{,}5 + 4213{,}5 + 530 - 400 = 1366 \text{ kroner}$

Maksimal profitt er ca. 1366 kroner.

Grafisk tolkning av profittmaksimering

Grafisk kan vi forstå profittmaksimering på to måter:

1. Profittfunksjonen $P(x)$ :
Profittmaksimum er toppunktet på grafen til $P(x)$ . Vi finner det ved å sette $P'(x) = 0$ .

2. Kostnad og inntekt i samme koordinatsystem:
Profitten $P(x) = I(x) - K(x)$ er den vertikale avstanden mellom inntektskurven og kostnadskurven. Denne avstanden er størst der tangentene til $I(x)$ og $K(x)$ er parallelle, altså der $I'(x) = K'(x)$ .

Nullpunktsproduksjon (break-even):
Bedriften har overskudd ( $P(x) > 0$ ) i det intervallet der $I(x) > K(x)$ . Nullpunktene til $P(x)$ kalles break-even-punkter og angir produksjonsnivåene der inntekten akkurat dekker kostnadene.

Break-even (nullpunktsproduksjon)

P(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I(x) = K(x)

✏️Profittmaksimering med variabel pris

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = x^2 + 20x + 200$ og etterspørselsfunksjonen $p(x) = 100 - x$ .

a) Finn profittfunksjonen $P(x)$ .
b) Finn det produksjonsnivået som gir størst profitt.
c) Finn break-even-punktene.

a) Profittfunksjon:

I(x) = (100 - x)x = 100x - x^2

P(x) = 100x - x^2 - x^2 - 20x - 200 = -2x^2 + 80x - 200

b) Profittmaksimering:
$P'(x) = -4x + 80 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 20$

$P''(x) = -4 < 0$ , så $x = 20$ gir maksimum.

Alternativt med MR = MC:
$I'(x) = K'(x) \quad \Rightarrow \quad 100 - 2x = 2x + 20 \quad \Rightarrow \quad x = 20$

$P(20) = -2 \cdot 400 + 80 \cdot 20 - 200 = -800 + 1600 - 200 = 600 \text{ kroner}$

Optimal produksjon er 20 enheter med profitt 600 kroner. Prisen blir $p(20) = 80$ kr.

c) Break-even:
$P(x) = 0: \quad -2x^2 + 80x - 200 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 40x + 100 = 0$

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 400}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{1200}}{2} = 20 \pm 10\sqrt{3}$

$x_1 \approx 2{,}7 \quad \text{og} \quad x_2 \approx 37{,}3$

Bedriften har overskudd for $2{,}7 < x < 37{,}3$ , altså ved produksjon mellom 3 og 37 enheter.

📜Profittmaksimering ved fast pris

Dersom en bedrift selger til fast pris

p

(fullkommen konkurranse), er

I(x) = px

I'(x) = p

MR = MC gir:
$p = K'(x)$

Profitten er maksimal der prisen er lik marginalkostnaden.

Andrederivert-kravet: $P''(x) = -K''(x) < 0$ , altså $K''(x) > 0$ , som betyr at marginalkostnaden skal være voksende i det optimale punktet.

✏️Break-even og profitt med tredjegradskostnad

En bedrift har $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 20x + 300$ og selger til fast pris $p = 20$ . Finn det produksjonsnivået som gir størst profitt.

Profittfunksjon:

P(x) = 20x - (0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 20x + 300)

P(x) = -0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 - 300

MR = MC:
$20 = 0{,}03x^2 - 1{,}2x + 20$
$0{,}03x^2 - 1{,}2x = 0$
$0{,}03x(x - 40) = 0$
$x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 40$

$P''(x) = -0{,}06x + 1{,}2$ . $P''(40) = -2{,}4 + 1{,}2 = -1{,}2 < 0$ : maksimum.
$P''(0) = 1{,}2 > 0$ : minimum.

Optimalt produksjonsnivå er $x = 40$ .

$P(40) = -0{,}01 \cdot 64000 + 0{,}6 \cdot 1600 - 300 = -640 + 960 - 300 = 20 \text{ kroner}$

Strategi for profittoppgaver på eksamen

Fremgangsmåte:
1. Sett opp $P(x) = I(x) - K(x)$
2. Deriver: $P'(x) = I'(x) - K'(x)$
3. Løs $P'(x) = 0$ (eller $I'(x) = K'(x)$ )
4. Sjekk at $P''(x) < 0$ for å bekrefte maksimum
5. Beregn $P(x)$ i det optimale punktet

Husk: Oppgaven kan be om ulike ting:
- «Finn optimalt produksjonsnivå» $\Rightarrow$ finn $x$ der $P'(x) = 0$
- «Finn den maksimale profitten» $\Rightarrow$ beregn $P(x)$ i optimalt punkt
- «Finn prisen ved optimal produksjon» $\Rightarrow$ sett $x$ inn i $p(x)$
- «Finn break-even» $\Rightarrow$ løs $P(x) = 0$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = x^2 + 10x + 100$ og selger til fast pris $p = 50$ . Sett opp profittfunksjonen $P(x)$ .

Finn det optimale produksjonsnivået og den maksimale profitten.

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Bruk MR = MC-prinsippet til å finne optimalt produksjonsnivå for $K(x) = 2x^2 + 8x + 200$ med fast pris $p = 40$ .

Beregn profitten ved optimalt produksjonsnivå.

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Forklar med egne ord hvorfor profitten er maksimal der $I'(x) = K'(x)$ .

Hva er forskjellen mellom å maksimere inntekten og å maksimere profitten? Gi et eksempel.

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn break-even-punktene for $P(x) = -x^2 + 30x - 200$ .

For hvilke produksjonsnivåer har bedriften overskudd?

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

En bedrift har etterspørsel $p(x) = 200 - 4x$ og kostnad $K(x) = 2x^2 + 40x + 100$ . Finn profittfunksjonen og optimalt produksjonsnivå.

Finn den maksimale profitten og prisen ved optimal produksjon.

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 0{,}05x^3 - 3x^2 + 80x + 500$ og fast pris $p = 50$ . Sett opp profittfunksjonen og finn stasjonære punkter.

Avgjør hvilken løsning som gir profittmaksimum, og beregn profitten.

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 450$ og etterspørsel $p(x) = 80 - 0{,}5x$ . Finn break-even-punktene.

Finn det optimale produksjonsnivået og vis at det ligger mellom break-even-punktene.

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 3x^2 + 30x + c$ og selger til fast pris $p = 90$ . Finn den verdien av $c$ (faste kostnader) som gjør at den maksimale profitten er akkurat null.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En monopolist har etterspørsel $p(x) = 150 - 3x$ og kostnad $K(x) = 0{,}5x^3 - 10x^2 + 80x + 100$ . Finn det profittmaksimerende produksjonsnivået.

Beregn den maksimale profitten og monopolistens pris.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

En bedrift med kostnad $K(x) = 2x^2 + bx + 500$ selger til pris $p = 100$ . Optimalt produksjonsnivå er $x = 20$ . Bestem $b$ .

Finn break-even-punktene med den funne $b$ -verdien.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 200$ og etterspørsel $p(x) = 35 - 0{,}2x$ . Sett opp profittfunksjonen.

Finn det optimale produksjonsnivået med MR = MC.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at for en bedrift med andregradskostnad $K(x) = ax^2 + bx + c$ og lineær etterspørsel $p(x) = d - ex$ , er det profittmaksimerende produksjonsnivået $\displaystyle x = \frac{d-b}{2(a+e)}$ .

Vis at den maksimale profitten er $\displaystyle P_{\max} = \frac{(d-b)^2}{4(a+e)} - c$ .

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

En bedrift har $I(x) = 60x$ og $K(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$ . Tegn grafene til $I(x)$ og $K(x)$ i CAS og finn break-even-punktene grafisk.

Finn optimalt produksjonsnivå og maksimal profitt.

Oppsummering

Profittfunksjonen:
$P(x) = I(x) - K(x)$

MR = MC-prinsippet:
Profitten er maksimal der grenseinntekten er lik marginalkostnaden:
$I'(x) = K'(x)$

Sjekk at $P''(x) < 0$ for å bekrefte at det er et maksimumspunkt.

Ved fast pris $p$ :
$p = K'(x) \quad \text{(pris = marginalkostnad)}$

Break-even (nullpunktsproduksjon):
$P(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I(x) = K(x)$

Bedriften har overskudd i intervallet mellom break-even-punktene.

Strategi: Bruk MR = MC som hovedverktøy. Det er ofte enklere enn å derivere hele profittfunksjonen.

Beregne nåverdi og vurdere lønnsomhet av investeringer.

55 min

13 oppgaver

NåverdiInternrenteInvesteringsanalyseDiskonteringKontantstrøm

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Annuitetsmodeller

Profitt og optimering

Profitt (overskudd) er forskjellen mellom inntekt og kostnad. En bedrift ønsker å maksimere profitten, og vi kan bruke derivasjon til å finne det produksjonsnivået som gir størst profitt.

Profittfunksjonen er definert som:
$P(x) = I(x) - K(x)$

der $I(x)$ er totalinntekten og $K(x)$ er totalkostnaden. Profittmaksimering er kanskje den viktigste anvendelsen av derivasjon i økonomisk analyse.

Profittfunksjonen

P(x)

📜MR = MC-prinsippet (profittmaksimering)

Profitten

P(x) = I(x) - K(x)

er størst når:

$P'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I'(x) - K'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I'(x) = K'(x)$

Det vil si: Profitten er maksimal der grenseinntekten (MR) er lik marginalkostnaden (MC).

I tillegg må vi ha $P''(x) < 0$ , altså $I''(x) < K''(x)$ for at det skal være et maksimum.

✏️Profittmaksimering med fast pris

En bedrift selger en være til fast pris $p = 60$ kroner per enhet. Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}5x^2 + 50x + 400$ .

a) Finn profittfunksjonen $P(x)$ .
b) Finn det optimale produksjonsnivået.
c) Beregn den maksimale profitten.

a) Profittfunksjon:

I(x) = 60x

P(x) = I(x) - K(x) = 60x - 0{,}02x^3 + 1{,}5x^2 - 50x - 400

P(x) = -0{,}02x^3 + 1{,}5x^2 + 10x - 400

b) Optimalt produksjonsnivå:
$P'(x) = -0{,}06x^2 + 3x + 10 = 0$

Alternativt: $I'(x) = K'(x)$ :
$60 = 0{,}06x^2 - 3x + 50$
$0{,}06x^2 - 3x - 10 = 0$

Med abc-formelen:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2{,}4}}{0{,}12} = \frac{3 \pm \sqrt{11{,}4}}{0{,}12}$

$x = \frac{3 + 3{,}376}{0{,}12} \approx 53{,}1 \quad \text{(forkaster negativ løsning)}$

Optimalt produksjonsnivå: ca. 53 enheter.

c) Maksimal profitt:
Vi verifiserer at $P''(53{,}1) = -0{,}12 \cdot 53{,}1 + 3 = -3{,}37 < 0$ . Det er maksimum.

$P(53) = -0{,}02 \cdot 148877 + 1{,}5 \cdot 2809 + 530 - 400$
$\approx -2977{,}5 + 4213{,}5 + 530 - 400 = 1366 \text{ kroner}$

Maksimal profitt er ca. 1366 kroner.

Grafisk tolkning av profittmaksimering

Grafisk kan vi forstå profittmaksimering på to måter:

1. Profittfunksjonen $P(x)$ :
Profittmaksimum er toppunktet på grafen til $P(x)$ . Vi finner det ved å sette $P'(x) = 0$ .

Break-even (nullpunktsproduksjon)

P(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I(x) = K(x)

✏️Profittmaksimering med variabel pris

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = x^2 + 20x + 200$ og etterspørselsfunksjonen $p(x) = 100 - x$ .

a) Finn profittfunksjonen $P(x)$ .
b) Finn det produksjonsnivået som gir størst profitt.
c) Finn break-even-punktene.

a) Profittfunksjon:

I(x) = (100 - x)x = 100x - x^2

P(x) = 100x - x^2 - x^2 - 20x - 200 = -2x^2 + 80x - 200

b) Profittmaksimering:
$P'(x) = -4x + 80 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 20$

$P''(x) = -4 < 0$ , så $x = 20$ gir maksimum.

Alternativt med MR = MC:
$I'(x) = K'(x) \quad \Rightarrow \quad 100 - 2x = 2x + 20 \quad \Rightarrow \quad x = 20$

$P(20) = -2 \cdot 400 + 80 \cdot 20 - 200 = -800 + 1600 - 200 = 600 \text{ kroner}$

Optimal produksjon er 20 enheter med profitt 600 kroner. Prisen blir $p(20) = 80$ kr.

c) Break-even:
$P(x) = 0: \quad -2x^2 + 80x - 200 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 40x + 100 = 0$

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 400}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{1200}}{2} = 20 \pm 10\sqrt{3}$

$x_1 \approx 2{,}7 \quad \text{og} \quad x_2 \approx 37{,}3$

Bedriften har overskudd for $2{,}7 < x < 37{,}3$ , altså ved produksjon mellom 3 og 37 enheter.

📜Profittmaksimering ved fast pris

Dersom en bedrift selger til fast pris

p

(fullkommen konkurranse), er

I(x) = px

I'(x) = p

MR = MC gir:
$p = K'(x)$

Profitten er maksimal der prisen er lik marginalkostnaden.

Andrederivert-kravet: $P''(x) = -K''(x) < 0$ , altså $K''(x) > 0$ , som betyr at marginalkostnaden skal være voksende i det optimale punktet.

✏️Break-even og profitt med tredjegradskostnad

En bedrift har $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 20x + 300$ og selger til fast pris $p = 20$ . Finn det produksjonsnivået som gir størst profitt.

Profittfunksjon:

P(x) = 20x - (0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 20x + 300)

P(x) = -0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 - 300

MR = MC:
$20 = 0{,}03x^2 - 1{,}2x + 20$
$0{,}03x^2 - 1{,}2x = 0$
$0{,}03x(x - 40) = 0$
$x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 40$

$P''(x) = -0{,}06x + 1{,}2$ . $P''(40) = -2{,}4 + 1{,}2 = -1{,}2 < 0$ : maksimum.
$P''(0) = 1{,}2 > 0$ : minimum.

Optimalt produksjonsnivå er $x = 40$ .

$P(40) = -0{,}01 \cdot 64000 + 0{,}6 \cdot 1600 - 300 = -640 + 960 - 300 = 20 \text{ kroner}$

Strategi for profittoppgaver på eksamen

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = x^2 + 10x + 100$ og selger til fast pris $p = 50$ . Sett opp profittfunksjonen $P(x)$ .

Finn det optimale produksjonsnivået og den maksimale profitten.

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Bruk MR = MC-prinsippet til å finne optimalt produksjonsnivå for $K(x) = 2x^2 + 8x + 200$ med fast pris $p = 40$ .

Beregn profitten ved optimalt produksjonsnivå.

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Forklar med egne ord hvorfor profitten er maksimal der $I'(x) = K'(x)$ .

Hva er forskjellen mellom å maksimere inntekten og å maksimere profitten? Gi et eksempel.

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn break-even-punktene for $P(x) = -x^2 + 30x - 200$ .

For hvilke produksjonsnivåer har bedriften overskudd?

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

En bedrift har etterspørsel $p(x) = 200 - 4x$ og kostnad $K(x) = 2x^2 + 40x + 100$ . Finn profittfunksjonen og optimalt produksjonsnivå.

Finn den maksimale profitten og prisen ved optimal produksjon.

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 0{,}05x^3 - 3x^2 + 80x + 500$ og fast pris $p = 50$ . Sett opp profittfunksjonen og finn stasjonære punkter.

Avgjør hvilken løsning som gir profittmaksimum, og beregn profitten.

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 450$ og etterspørsel $p(x) = 80 - 0{,}5x$ . Finn break-even-punktene.

Finn det optimale produksjonsnivået og vis at det ligger mellom break-even-punktene.

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 3x^2 + 30x + c$ og selger til fast pris $p = 90$ . Finn den verdien av $c$ (faste kostnader) som gjør at den maksimale profitten er akkurat null.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En monopolist har etterspørsel $p(x) = 150 - 3x$ og kostnad $K(x) = 0{,}5x^3 - 10x^2 + 80x + 100$ . Finn det profittmaksimerende produksjonsnivået.

Beregn den maksimale profitten og monopolistens pris.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

En bedrift med kostnad $K(x) = 2x^2 + bx + 500$ selger til pris $p = 100$ . Optimalt produksjonsnivå er $x = 20$ . Bestem $b$ .

Finn break-even-punktene med den funne $b$ -verdien.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 200$ og etterspørsel $p(x) = 35 - 0{,}2x$ . Sett opp profittfunksjonen.

Finn det optimale produksjonsnivået med MR = MC.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at for en bedrift med andregradskostnad $K(x) = ax^2 + bx + c$ og lineær etterspørsel $p(x) = d - ex$ , er det profittmaksimerende produksjonsnivået $\displaystyle x = \frac{d-b}{2(a+e)}$ .

Vis at den maksimale profitten er $\displaystyle P_{\max} = \frac{(d-b)^2}{4(a+e)} - c$ .

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

En bedrift har $I(x) = 60x$ og $K(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$ . Tegn grafene til $I(x)$ og $K(x)$ i CAS og finn break-even-punktene grafisk.

Finn optimalt produksjonsnivå og maksimal profitt.

Oppsummering

Profittfunksjonen:
$P(x) = I(x) - K(x)$

MR = MC-prinsippet:
Profitten er maksimal der grenseinntekten er lik marginalkostnaden:
$I'(x) = K'(x)$

Sjekk at $P''(x) < 0$ for å bekrefte at det er et maksimumspunkt.

Ved fast pris $p$ :
$p = K'(x) \quad \text{(pris = marginalkostnad)}$

Break-even (nullpunktsproduksjon):
$P(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I(x) = K(x)$

Bedriften har overskudd i intervallet mellom break-even-punktene.

Strategi: Bruk MR = MC som hovedverktøy. Det er ofte enklere enn å derivere hele profittfunksjonen.

8.2 Nåverdi og investeringsanalyse

Profitt og optimering

Grafisk tolkning av profittmaksimering

Strategi for profittoppgaver på eksamen

Oppsummering

8.2 Nåverdi og investeringsanalyse

Profitt og optimering

Grafisk tolkning av profittmaksimering

Strategi for profittoppgaver på eksamen

Oppsummering