Læringsmål

Oversikt over læringsmål dekket i TMA4245 Statistikk

Kilde: Læringsmålene er utformet av Skolesaga på grunnlag av emnets eksamensoppgaver, sensorveiledninger og emnebeskrivelse. De er ikke institusjonens offisielle læringsutbyttebeskrivelser.

163 kompetansemål44 av 44 kapitler har kompetansemål

Alle kompetansemål

•kunne beskrive TMA4245-eksamenens form, hjelpemidler og poengoppsett

0.1Eksamenskartet: slik testes TMA4245

•kunne prioritere lesingen etter hvor hyppig hvert tema faktisk testes

0.1Eksamenskartet: slik testes TMA4245

•kunne gjenkjenne de tilbakevendende oppgavetypene og vite hvor i settet de dukker opp

0.1Eksamenskartet: slik testes TMA4245

•kunne sette opp et fornuftig tidsbudsjett for en firetimers eksamen

0.1Eksamenskartet: slik testes TMA4245

•sette opp utfallsrom og hendelser og regne med komplement, union og snitt

1.1Hendelser, sannsynlighet og uavhengighet

•bruke addisjonsregelen og komplementregelen aktivt uten oppslag

1.1Hendelser, sannsynlighet og uavhengighet

•skille disjunkte fra uavhengige hendelser og bruke at disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet aldri er uavhengige

1.1Hendelser, sannsynlighet og uavhengighet

•avgjøre ut fra $P(A)+P(B)$ om to hendelser kan være disjunkte

1.1Hendelser, sannsynlighet og uavhengighet

•bruke multiplikasjonsprinsippet til å telle sammensatte valg

1.2Kombinatorikk: telle riktig

•velge riktig telleoppsett ut fra om utvalget er ordnet eller uordnet og med eller uten tilbakelegging

1.2Kombinatorikk: telle riktig

•regne med binomiske og multinomiske koeffisienter og hypergeometrisk telling

1.2Kombinatorikk: telle riktig

•løse «minst k»-oppgaver med summering eller komplementteknikk

1.2Kombinatorikk: telle riktig

•regne med betinget sannsynlighet og multiplikasjonsregelen, og definere hendelsene med symboler før regning

1.3Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•bruke loven om total sannsynlighet over en partisjon

1.3Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•bruke Bayes' formel til å snu en betinging og oppdatere sannsynligheter

1.3Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•tolke diagnostiske tester (sensitivitet, spesifisitet, prevalens, PPV) og unngå prosecutor's fallacy

1.3Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•regne ut gjennomsnitt, median, kvartiler og empirisk varians med riktig divisor $n-1$

1.4Deskriptiv statistikk og grafisk tolkning

•lese beliggenhet, spredning og skjevhet ut av boksplott og histogram

1.4Deskriptiv statistikk og grafisk tolkning

•vurdere normalitet fra et Q-Q-plott ved å peke på konkrete mønstre

1.4Deskriptiv statistikk og grafisk tolkning

•skille robuste mål (median, IQR) fra mål som påvirkes av uteliggere (gjennomsnitt, standardavvik)

1.4Deskriptiv statistikk og grafisk tolkning

•løse eksamensrettede kortsvarsoppgaver fra hele Del 1 om hendelser, uavhengighet, kombinatorikk og Bayes

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighetsregningens grunnlag

•definere hendelsene med symboler før regning i Bayes-oppgaver

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighetsregningens grunnlag

•svare med riktig presisjon i Inspera-format (2 desimaler)

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighetsregningens grunnlag

•skille diskrete fra kontinuerlige variable og bruke punktsannsynlighet, tetthet og fordelingsfunksjon riktig

2.1Stokastiske variable, forventning og varians

•forklare at en kontinuerlig variabel har $P(X=x)=0$ og at tettheten ikke er en sannsynlighet

2.1Stokastiske variable, forventning og varians

•regne ut forventning og varians med regneformelen $E(X^2)-[E(X)]^2$

2.1Stokastiske variable, forventning og varians

•bruke regnereglene for $E(aX+bY)$ og $\text{Var}(aX+bY)$ med riktig behandling av kovariansleddet

2.1Stokastiske variable, forventning og varians

•velge riktig diskret fordeling ut fra en situasjonsbeskrivelse og begrunne valget

2.2Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•oppgi forutsetningene for en Poisson-prosess og skalere raten til intervallet med $\lambda t$

2.2Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•regne med binomisk, Poisson, geometrisk, negativ binomisk og hypergeometrisk fordeling

2.2Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•bruke kumulative tabeller riktig med komplement- og intervallregler

2.2Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•regne sannsynligheter, kvantiler og momenter for uniform, eksponensial, gamma og Weibull

2.3Kontinuerlige fordelinger: eksponensial, gamma, Weibull — og «oppskriftsfordelingene»

•utlede og bruke minneløsheten, og forklare at den er unik for eksponensialfordelingen

2.3Kontinuerlige fordelinger: eksponensial, gamma, Weibull — og «oppskriftsfordelingene»

•regne betingede sannsynligheter for Weibull, som ikke er minneløs

2.3Kontinuerlige fordelinger: eksponensial, gamma, Weibull — og «oppskriftsfordelingene»

•bruke standardteknikken (normering, $F$, kvantiler, momenter) på en ukjent oppgitt fordeling

2.3Kontinuerlige fordelinger: eksponensial, gamma, Weibull — og «oppskriftsfordelingene»

•normere en oppgitt tetthet og utlede en komplett stykkevis fordelingsfunksjon

2.4Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)

•regne sannsynligheter, betingede sannsynligheter og kvantiler fra fordelingsfunksjonen

2.4Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)

•regne forventning og varians ved integrasjon med fullstendig mellomregning

2.4Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)

•gjenkjenne når et momentintegral for en hale-tetthet divergerer

2.4Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)

•finne marginal- og betingede fordelinger fra en simultantabell

2.5Simultanfordelinger, kovarians og korrelasjon

•avgjøre uavhengighet ved å sjekke faktorisering i alle celler

2.5Simultanfordelinger, kovarians og korrelasjon

•regne kovarians og korrelasjon, og skalere dem for lineærkombinasjoner

2.5Simultanfordelinger, kovarians og korrelasjon

•forklare at uavhengige variable er ukorrelerte, men ikke omvendt

2.5Simultanfordelinger, kovarians og korrelasjon

•løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 2: momentregning, diskret modellvalg, egendefinert tetthet (sjanger C betyr en oppgave med oppgitt tetthet) og simultanfordelinger

2.PPrøver til del 2: Stokastiske variable og fordelinger

•lese av forventning og standardavvik fra en oppgitt normaltetthet

3.1Normalfordelingen: standardisering og tabellbruk

•standardisere med $Z=(X-\mu)/\sigma$ og bruke $\Phi$-tabellen med symmetri

3.1Normalfordelingen: standardisering og tabellbruk

•regne hale-, intervall- og betingede normalsannsynligheter

3.1Normalfordelingen: standardisering og tabellbruk

•finne kvantiler den motsatte veien fra en gitt sannsynlighet

3.1Normalfordelingen: standardisering og tabellbruk

•bruke at en lineærkombinasjon av simultant normale variable selv er normalfordelt

3.2Lineærkombinasjoner av normalfordelte variable

•regne forventning og varians med riktig kovariansledd for summer og differanser

3.2Lineærkombinasjoner av normalfordelte variable

•bruke fordelingen til gjennomsnittet $\bar{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n)$

3.2Lineærkombinasjoner av normalfordelte variable

•løse betingede sannsynligheter for lineærkombinasjoner

3.2Lineærkombinasjoner av normalfordelte variable

•formulere sentralgrenseteoremet presist med alle tre forutsetninger

3.3Sentralgrenseteoremet og normaltilnærming

•bruke normaltilnærming av binomiske andeler med eksplisitt gyldighetssjekk

3.3Sentralgrenseteoremet og normaltilnærming

•normaltilnærme Poisson-fordelingen for store rater, ev. med kontinuitetskorreksjon

3.3Sentralgrenseteoremet og normaltilnærming

•vurdere når normaltilnærmingen er upålitelig

3.3Sentralgrenseteoremet og normaltilnærming

•løse den rene normal-regneoppgaven raskt og presist etter en fast seks-trinns oppskrift

3.4Drill: normal-regneoppgaven (sjanger A)

•rotere mellom standardisering, kovarianskombinasjon, betinget hale, tetthetsavlesning og baklengs kvantil

3.4Drill: normal-regneoppgaven (sjanger A)

•svare med riktig presisjon i Inspera-format uten avrunding i mellomregningen

3.4Drill: normal-regneoppgaven (sjanger A)

•løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 3: standardisering, lineærkombinasjoner og grenseteoremer

3.PPrøver til del 3: Normalfordelingen og grenseteoremer

•bruke kovariansleddet riktig og unngå de vanligste kombinasjonsfellene

3.PPrøver til del 3: Normalfordelingen og grenseteoremer

•formulere sentralgrenseteoremet og gjøre normaltilnærming med eksplisitt gyldighetssjekk

3.PPrøver til del 3: Normalfordelingen og grenseteoremer

•svare med riktig presisjon i Inspera-format

3.PPrøver til del 3: Normalfordelingen og grenseteoremer

•finne fordelingen til en transformert variabel $Y = g(X)$ med fordelingsfunksjonsteknikken, også for avtakende $g$

4.1Transformasjonsteknikkene og ordningsvariable

•identifisere fordelingen til en sum av uavhengige variable med den momentgenererende funksjonen og entydighetsargumentet

4.1Transformasjonsteknikkene og ordningsvariable

•utlede fordelingsfunksjonen til minimum og maksimum av uavhengige variable og koble dem til serie- og parallellsystemer

4.1Transformasjonsteknikkene og ordningsvariable

•utlede med fordelingsfunksjonsteknikken at $2X/\beta$ er kjikvadratfordelt med 2 frihetsgrader

4.2Drill: eksponensialens kjikvadrat-apparat

•løfte til pivotalen $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ med riktig frihetsgrad via MGF-produktregelen

4.2Drill: eksponensialens kjikvadrat-apparat

•potens- eller log-transformere Weibull-, Gumbel- og Pareto-data til eksponensial før apparatet brukes

4.2Drill: eksponensialens kjikvadrat-apparat

•løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 4 om transformasjoner, MGF-identifikasjon og ordningsvariable

4.PPrøver til del 4: Transformasjoner og ordningsvariable

•utlede pivotalen $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ med riktig frihetsgrad på eksamensnivå

4.PPrøver til del 4: Transformasjoner og ordningsvariable

•velge riktig teknikk (CDF, MGF, min/maks) og oppgi entydighets- og ulikhetsargumentene sensor krever

4.PPrøver til del 4: Transformasjoner og ordningsvariable

•skille estimator (stokastisk) fra estimat (tall) og regne $E(\hat{\theta})$ for å avgjøre forventningsretthet

5.1Estimatorer og deres egenskaper: forventningsretthet, varians og MSE

•regne varians og MSE for en estimator og bruke $\text{MSE}=\text{Var}+[\text{bias}]^2$

5.1Estimatorer og deres egenskaper: forventningsretthet, varians og MSE

•sammenligne estimatorer etter forventningsretthet, varians og MSE og velge med begrunnelse

5.1Estimatorer og deres egenskaper: forventningsretthet, varians og MSE

•forklare hvorfor $S^2$ deler på $n-1$ og at ML-varianten med $n$ er skjev

5.1Estimatorer og deres egenskaper: forventningsretthet, varians og MSE

•sette opp likelihood og log-likelihood som produkt/sum over alle observasjoner

5.2Maximum likelihood: utledningen som alltid kommer

•utlede ML-estimatoren for eksponensial, Poisson, andel, normal og gamma med kjent form

5.2Maximum likelihood: utledningen som alltid kommer

•gjennomføre maksimumskontrollen og avgjøre om ML-estimatoren er forventningsrett

5.2Maximum likelihood: utledningen som alltid kommer

•håndtere kombinert likelihood fra to kilder, ML under bibetingelse og tilfeller uten lukket løsning

5.2Maximum likelihood: utledningen som alltid kommer

•bruke at ML-estimatorer er tilnærmet normalfordelte for stor $n$ og lage et normaltilnærmet konfidensintervall

5.3Asymptotisk normalitet og deltametoden

•bruke deltametoden til å finne tilnærmet varians for en funksjon $g(\hat{\theta})$ av en estimator

5.3Asymptotisk normalitet og deltametoden

•bruke deltametoden for flere uavhengige variable (feilforplantning)

5.3Asymptotisk normalitet og deltametoden

•evaluere den deriverte i forventningen og huske at den kvadreres

5.3Asymptotisk normalitet og deltametoden

•gjennomføre hele åtte-trinns-oppskriften for ML-utledning med estimatorvurdering på eksamenstempo

5.4Drill: ML-utledning med estimatorvurdering (sjanger G)

•utlede ML for eksponensial, Poisson, binomisk, gamma og oppgitte «oppskriftsfordelinger»

5.4Drill: ML-utledning med estimatorvurdering (sjanger G)

•håndtere kombinert likelihood fra to kilder, ML under bibetingelse og transcendente likelihoodligninger

5.4Drill: ML-utledning med estimatorvurdering (sjanger G)

•sammenligne konkurrerende estimatorer med varians og MSE og velge med begrunnelse

5.4Drill: ML-utledning med estimatorvurdering (sjanger G)

•løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 5 om estimatorvurdering og maximum likelihood

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

•utlede ML-estimatorer med maksimumskontroll og vurdere forventningsretthet og varians

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

•håndtere kombinert likelihood, bibetingelse, asymptotisk KI og deltametoden

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

•velge riktig standardintervall (z eller t for μ, kjikvadrat for σ², z for andel) med riktige frihetsgrader

6.1Standardintervallene: μ, σ² og andel — og hva et KI faktisk betyr

•konstruere og tolke konfidensintervaller, og skille dem fra prediksjonsintervaller

6.1Standardintervallene: μ, σ² og andel — og hva et KI faktisk betyr

•formulere den korrekte frekvens-tolkningen og avvise de vanlige feiltolkningene

6.1Standardintervallene: μ, σ² og andel — og hva et KI faktisk betyr

•sette opp ensidige intervaller og sjekke gyldigheten av andelsintervallet

6.1Standardintervallene: μ, σ² og andel — og hva et KI faktisk betyr

•utlede konfidensintervaller med pivotal-metoden i tre steg, med korrekt ulikhetshåndtering ved invertering

6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

•konstruere det eksakte kjikvadrat-intervallet for eksponensialforventningen $\beta$ med frihetsgrad $2n$

6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

•sammenligne det eksakte intervallet med det normaltilnærmede og begrunne hvorfor det eksakte foretrekkes

6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

•transformere et konfidensintervall til en avledet størrelse via en monoton funksjon

6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

•løse eksamensrettede konfidensintervall-oppgaver fra hele Del 6 (z, t, kjikvadrat, andel, pivotal)

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall

•velge riktig intervall med riktige frihetsgrader og skille KI fra prediksjonsintervall

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall

•utlede det eksakte eksponensialintervallet og transformere det til avledede størrelser

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall

•formulere den korrekte tolkningen og avvise de vanlige feiltolkningene

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall

•gjennomføre hele seksstegs-testritualet for z-test, t-test og andelstest med riktig retning og riktige frihetsgrader

7.1Testritualet: hypoteser, testobservator, p-verdi og konklusjon i ord

•oppgi testobservatorens fordeling under nullhypotesen og velge mellom forkastningsområde og p-verdi

7.1Testritualet: hypoteser, testobservator, p-verdi og konklusjon i ord

•definere og tolke p-verdien presist og avvise de vanlige feiltolkningene

7.1Testritualet: hypoteser, testobservator, p-verdi og konklusjon i ord

•definere type I- og type II-feil, signifikansnivået og dualiteten mellom test og konfidensintervall

7.1Testritualet: hypoteser, testobservator, p-verdi og konklusjon i ord

•velge riktig testobservator og frihetsgrader for varians-, to-utvalgs- og parrede tester

7.2Testkatalogen: varians, eksakte tester, to utvalg, parret design og fortegnstest

•gjennomføre eksakt binomisk og Poisson-test når normaltilnærmingen ikke holder

7.2Testkatalogen: varians, eksakte tester, to utvalg, parret design og fortegnstest

•skille parret design fra to uavhengige utvalg og analysere differansene korrekt

7.2Testkatalogen: varians, eksakte tester, to utvalg, parret design og fortegnstest

•gjennomføre og tolke fortegnstesten som robust supplement til den parrede t-testen

7.2Testkatalogen: varians, eksakte tester, to utvalg, parret design og fortegnstest

•skille type I-feil, type II-feil og styrke, og regne styrken til en ensidig z-test ved en gitt sann parameterverdi

7.3Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget

•forklare hvordan styrken øker med utvalgsstørrelse, effektstørrelse og signifikansnivå

7.3Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget

•utlede dimensjoneringsformelen og finne utvalgsstørrelsen som gir ønsket styrke, med korrekt opprunding

7.3Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget

•overføre styrke- og dimensjoneringsregningen til andels- og Poisson-tester

7.3Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget

•gjennomføre hele estimering-til-test-kjeden på nye fordelinger: modelldefinisjon, ML-estimator, forventningsretthet og varians

7.4Drill: den store kjeden — ML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

•konstruere eksakte konfidensintervaller via pivotaler og bruke samme pivotal til en eksakt hypotesetest

7.4Drill: den store kjeden — ML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

•regne styrke og dimensjonering i kjedens siste ledd og holde den røde tråden mellom alle ledd

7.4Drill: den store kjeden — ML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

•gjenkjenne og transformere oppskriftsfordelinger (Weibull, gamma) til kjent maskineri

7.4Drill: den store kjeden — ML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

•gjennomføre hele testritualet for z-, t- og andelstest under eksamenslignende tidspress

7.PPrøver til del 7: Hypotesetesting

•velge riktig test fra katalogen (varians, eksakt, parret, to utvalg, fortegnstest) og tolke sprikende konklusjoner

7.PPrøver til del 7: Hypotesetesting

•regne styrke og dimensjonering og vurdere beslutningsrisiko

7.PPrøver til del 7: Hypotesetesting

•føre en full estimering-til-styrke-kjede sammenhengende på en ny fordeling

7.PPrøver til del 7: Hypotesetesting

•sette opp regresjonsmodellen og oppgi de tre feilantagelsene der de brukes

8.1Modellen og minste kvadraters metode

•utlede LS-estimatene via normalligningene og regne dem ut fra oppgitte summer

8.1Modellen og minste kvadraters metode

•vise at maximum likelihood gir samme estimat som minste kvadraters metode under normalfeil

8.1Modellen og minste kvadraters metode

•finne forventning og varians til helningen og bruke variansestimatet s² = SSE/(n−2)

8.1Modellen og minste kvadraters metode

•teste og lage konfidensintervall for helningen med riktig frihetsgrad $n-2$

8.2Inferens og prediksjon i regresjon — og residualplottet sensor alltid spør om

•skille konfidensintervall for forventningen fra prediksjonsintervall for en ny observasjon

8.2Inferens og prediksjon i regresjon — og residualplottet sensor alltid spør om

•tolke residualplott og koble mønster til den antagelsen som svikter

8.2Inferens og prediksjon i regresjon — og residualplottet sensor alltid spør om

•håndtere ln-lineære og andre modeller som er lineære i parametrene, med tilbaketransformasjon

8.2Inferens og prediksjon i regresjon — og residualplottet sensor alltid spør om

•utlede LS-estimatoren i regresjon uten konstantledd fra råsummene

8.3NTNU-varianten: regresjon uten konstantledd og tre estimatorer for β

•vise at de tre foreslåtte estimatorene er forventningsrette og finne variansene deres

8.3NTNU-varianten: regresjon uten konstantledd og tre estimatorer for β

•begrunne hvorfor LS-estimatoren har minst varians og bør velges

8.3NTNU-varianten: regresjon uten konstantledd og tre estimatorer for β

•gjennomføre test og konfidensintervall i origo-modellen med riktig frihetsgrad $n-1$

8.3NTNU-varianten: regresjon uten konstantledd og tre estimatorer for β

•løse fullstendige regresjonsoppgaver på eksamensnivå fra oppgitte summer

8.PPrøver til del 8: Enkel lineær regresjon

•skille konfidens- og prediksjonsintervall og tolke residualplott

8.PPrøver til del 8: Enkel lineær regresjon

•sammenligne estimatorer i modellen uten konstantledd med riktig frihetsgrad

8.PPrøver til del 8: Enkel lineær regresjon

•utlede den inverse fordelingsfunksjonen $F^{-1}$ og bruke inversjonsmetoden til å simulere fra en oppgitt fordeling

9.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•skrive komplett, vektorisert numpy-kode med riktige idiomer for trekk, forventning og varians

9.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•lese ferdig simuleringskode og avgjøre hvilken fordeling den genererer og hva den estimerer

9.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•unngå de vanligste numpy-fellene (scale mot varians, ddof, F mot f)

9.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•bruke at en sannsynlighet er en forventet indikator til å estimere sannsynligheter og forventninger med Monte Carlo

9.2Monte Carlo som inferensverktøy: simulert sannsynlighet, p-verdi og styrke

•simulere en p-verdi ved å generere data under $H_0$ og telle andelen minst så ekstreme observatorer

9.2Monte Carlo som inferensverktøy: simulert sannsynlighet, p-verdi og styrke

•simulere styrken til en test ved å generere data under alternativet og telle forkastninger

9.2Monte Carlo som inferensverktøy: simulert sannsynlighet, p-verdi og styrke

•kontrollere en feilforplantning (deltametoden) ved simulering med riktig bruk av ddof=1

9.2Monte Carlo som inferensverktøy: simulert sannsynlighet, p-verdi og styrke

•utlede $F^{-1}$ og skrive kjørbar simuleringskode under tidspress

9.PPrøver til del 9: Simulering og Python

•lese og fullføre gitt simuleringskode

9.PPrøver til del 9: Simulering og Python

•simulere p-verdi og styrke med riktig fordeling og retning

9.PPrøver til del 9: Simulering og Python

•kontrollere en feilforplantning med simulering mot deltametoden

9.PPrøver til del 9: Simulering og Python

•kunne svare i eksakt kortsvarformat med riktig antall desimaler, desimalkomma og benevning — uten avrundingsfeil i mellomregningen

10.1Kortsvar- og Inspera-drill: fellene, presisjonen og tolkningene

•kunne gjenkjenne og unngå de klassiske fellene: disjunkt vs. uavhengig, punktsannsynlighet for kontinuerlige variable, glemt kovariansledd, minneløshet og $n-1$-divisoren

10.1Kortsvar- og Inspera-drill: fellene, presisjonen og tolkningene

•kunne velge riktig tolkning av konfidensintervall og p-verdi i flervalgsoppgaver, og skille konfidens- fra prediksjonsintervall

10.1Kortsvar- og Inspera-drill: fellene, presisjonen og tolkningene

•kunne skille parret fra to-utvalgsdesign og lese av median, kvartilbredde og skjevhet fra boksplott og Q-Q-plott

10.1Kortsvar- og Inspera-drill: fellene, presisjonen og tolkningene

•gjennomføre et komplett firetimers eksamenssett i Inspera-hybridformat under tidspress

10.2Øvingseksamen 1: Inspera-hybrid med full kjede

•koble sammen egendefinert tetthet, sannsynlighetsmaksimering og eksakt konfidensintervall i én oppgave

10.2Øvingseksamen 1: Inspera-hybrid med full kjede

•levere presise tallsvar i de autorettede delene og fullstendige begrunnelser i de håndrettede

10.2Øvingseksamen 1: Inspera-hybrid med full kjede

•løse store sammenhengende fortellingsoppgaver der hvert delpunkt teller likt

10.3Øvingseksamen 2: klassisk papireksamen med fortellingsoppgaver

•kombinere sannsynlighetsregning, levetidsmodeller og parrede tester slik en papireksamen krever

10.3Øvingseksamen 2: klassisk papireksamen med fortellingsoppgaver

•skrive og tolke Python-kode som estimerer styrken til en test ved simulering

10.3Øvingseksamen 2: klassisk papireksamen med fortellingsoppgaver

•håndtere en ukjent oppskriftsfordeling med oppgitt CDF ved standardteknikkene

10.4Øvingseksamen 3: Inspera-hybrid med oppskriftsfordeling og deltametode

•bruke deltametoden og bekrefte resultatet med simulering

10.4Øvingseksamen 3: Inspera-hybrid med oppskriftsfordeling og deltametode

•sammenligne flere estimatorer i regresjon uten konstantledd

10.4Øvingseksamen 3: Inspera-hybrid med oppskriftsfordeling og deltametode

Kapitler med kompetansemål

0Eksamenskart

0.1Eksamenskartet: slik testes TMA4245

kunne beskrive TMA4245-eksamenens form, hjelpemidler og poengoppsett
kunne prioritere lesingen etter hvor hyppig hvert tema faktisk testes
kunne gjenkjenne de tilbakevendende oppgavetypene og vite hvor i settet de dukker opp
kunne sette opp et fornuftig tidsbudsjett for en firetimers eksamen

1Sannsynlighetsregningens grunnlag

1.1Hendelser, sannsynlighet og uavhengighet

sette opp utfallsrom og hendelser og regne med komplement, union og snitt
bruke addisjonsregelen og komplementregelen aktivt uten oppslag
skille disjunkte fra uavhengige hendelser og bruke at disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet aldri er uavhengige
avgjøre ut fra $P(A)+P(B)$ om to hendelser kan være disjunkte

1.2Kombinatorikk: telle riktig

bruke multiplikasjonsprinsippet til å telle sammensatte valg
velge riktig telleoppsett ut fra om utvalget er ordnet eller uordnet og med eller uten tilbakelegging
regne med binomiske og multinomiske koeffisienter og hypergeometrisk telling
løse «minst k»-oppgaver med summering eller komplementteknikk

1.3Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

regne med betinget sannsynlighet og multiplikasjonsregelen, og definere hendelsene med symboler før regning
bruke loven om total sannsynlighet over en partisjon
bruke Bayes' formel til å snu en betinging og oppdatere sannsynligheter
tolke diagnostiske tester (sensitivitet, spesifisitet, prevalens, PPV) og unngå prosecutor's fallacy

1.4Deskriptiv statistikk og grafisk tolkning

regne ut gjennomsnitt, median, kvartiler og empirisk varians med riktig divisor $n-1$
lese beliggenhet, spredning og skjevhet ut av boksplott og histogram
vurdere normalitet fra et Q-Q-plott ved å peke på konkrete mønstre
skille robuste mål (median, IQR) fra mål som påvirkes av uteliggere (gjennomsnitt, standardavvik)

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighetsregningens grunnlag

løse eksamensrettede kortsvarsoppgaver fra hele Del 1 om hendelser, uavhengighet, kombinatorikk og Bayes
definere hendelsene med symboler før regning i Bayes-oppgaver
svare med riktig presisjon i Inspera-format (2 desimaler)

2Stokastiske variable og fordelinger

2.1Stokastiske variable, forventning og varians

skille diskrete fra kontinuerlige variable og bruke punktsannsynlighet, tetthet og fordelingsfunksjon riktig
forklare at en kontinuerlig variabel har $P(X=x)=0$ og at tettheten ikke er en sannsynlighet
regne ut forventning og varians med regneformelen $E(X^2)-[E(X)]^2$
bruke regnereglene for $E(aX+bY)$ og $\text{Var}(aX+bY)$ med riktig behandling av kovariansleddet

2.2Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

velge riktig diskret fordeling ut fra en situasjonsbeskrivelse og begrunne valget
oppgi forutsetningene for en Poisson-prosess og skalere raten til intervallet med $\lambda t$
regne med binomisk, Poisson, geometrisk, negativ binomisk og hypergeometrisk fordeling
bruke kumulative tabeller riktig med komplement- og intervallregler

2.3Kontinuerlige fordelinger: eksponensial, gamma, Weibull — og «oppskriftsfordelingene»

regne sannsynligheter, kvantiler og momenter for uniform, eksponensial, gamma og Weibull
utlede og bruke minneløsheten, og forklare at den er unik for eksponensialfordelingen
regne betingede sannsynligheter for Weibull, som ikke er minneløs
bruke standardteknikken (normering, $F$, kvantiler, momenter) på en ukjent oppgitt fordeling

2.4Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)

normere en oppgitt tetthet og utlede en komplett stykkevis fordelingsfunksjon
regne sannsynligheter, betingede sannsynligheter og kvantiler fra fordelingsfunksjonen
regne forventning og varians ved integrasjon med fullstendig mellomregning
gjenkjenne når et momentintegral for en hale-tetthet divergerer

2.5Simultanfordelinger, kovarians og korrelasjon

finne marginal- og betingede fordelinger fra en simultantabell
avgjøre uavhengighet ved å sjekke faktorisering i alle celler
regne kovarians og korrelasjon, og skalere dem for lineærkombinasjoner
forklare at uavhengige variable er ukorrelerte, men ikke omvendt

2.PPrøver til del 2: Stokastiske variable og fordelinger

løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 2: momentregning, diskret modellvalg, egendefinert tetthet (sjanger C betyr en oppgave med oppgitt tetthet) og simultanfordelinger

3Normalfordelingen og grenseteoremer

3.1Normalfordelingen: standardisering og tabellbruk

lese av forventning og standardavvik fra en oppgitt normaltetthet
standardisere med $Z=(X-\mu)/\sigma$ og bruke $\Phi$-tabellen med symmetri
regne hale-, intervall- og betingede normalsannsynligheter
finne kvantiler den motsatte veien fra en gitt sannsynlighet

3.2Lineærkombinasjoner av normalfordelte variable

bruke at en lineærkombinasjon av simultant normale variable selv er normalfordelt
regne forventning og varians med riktig kovariansledd for summer og differanser
bruke fordelingen til gjennomsnittet $\bar{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n)$
løse betingede sannsynligheter for lineærkombinasjoner

3.3Sentralgrenseteoremet og normaltilnærming

formulere sentralgrenseteoremet presist med alle tre forutsetninger
bruke normaltilnærming av binomiske andeler med eksplisitt gyldighetssjekk
normaltilnærme Poisson-fordelingen for store rater, ev. med kontinuitetskorreksjon
vurdere når normaltilnærmingen er upålitelig

3.4Drill: normal-regneoppgaven (sjanger A)

løse den rene normal-regneoppgaven raskt og presist etter en fast seks-trinns oppskrift
rotere mellom standardisering, kovarianskombinasjon, betinget hale, tetthetsavlesning og baklengs kvantil
svare med riktig presisjon i Inspera-format uten avrunding i mellomregningen

3.PPrøver til del 3: Normalfordelingen og grenseteoremer

løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 3: standardisering, lineærkombinasjoner og grenseteoremer
bruke kovariansleddet riktig og unngå de vanligste kombinasjonsfellene
formulere sentralgrenseteoremet og gjøre normaltilnærming med eksplisitt gyldighetssjekk
svare med riktig presisjon i Inspera-format

4Transformasjoner og ordningsvariable

4.1Transformasjonsteknikkene og ordningsvariable

finne fordelingen til en transformert variabel $Y = g(X)$ med fordelingsfunksjonsteknikken, også for avtakende $g$
identifisere fordelingen til en sum av uavhengige variable med den momentgenererende funksjonen og entydighetsargumentet
utlede fordelingsfunksjonen til minimum og maksimum av uavhengige variable og koble dem til serie- og parallellsystemer

4.2Drill: eksponensialens kjikvadrat-apparat

utlede med fordelingsfunksjonsteknikken at $2X/\beta$ er kjikvadratfordelt med 2 frihetsgrader
løfte til pivotalen $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ med riktig frihetsgrad via MGF-produktregelen
potens- eller log-transformere Weibull-, Gumbel- og Pareto-data til eksponensial før apparatet brukes

4.PPrøver til del 4: Transformasjoner og ordningsvariable

løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 4 om transformasjoner, MGF-identifikasjon og ordningsvariable
utlede pivotalen $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ med riktig frihetsgrad på eksamensnivå
velge riktig teknikk (CDF, MGF, min/maks) og oppgi entydighets- og ulikhetsargumentene sensor krever

5Punktestimering

5.1Estimatorer og deres egenskaper: forventningsretthet, varians og MSE

skille estimator (stokastisk) fra estimat (tall) og regne $E(\hat{\theta})$ for å avgjøre forventningsretthet
regne varians og MSE for en estimator og bruke $\text{MSE}=\text{Var}+[\text{bias}]^2$
sammenligne estimatorer etter forventningsretthet, varians og MSE og velge med begrunnelse
forklare hvorfor $S^2$ deler på $n-1$ og at ML-varianten med $n$ er skjev

5.2Maximum likelihood: utledningen som alltid kommer

sette opp likelihood og log-likelihood som produkt/sum over alle observasjoner
utlede ML-estimatoren for eksponensial, Poisson, andel, normal og gamma med kjent form
gjennomføre maksimumskontrollen og avgjøre om ML-estimatoren er forventningsrett
håndtere kombinert likelihood fra to kilder, ML under bibetingelse og tilfeller uten lukket løsning

5.3Asymptotisk normalitet og deltametoden

bruke at ML-estimatorer er tilnærmet normalfordelte for stor $n$ og lage et normaltilnærmet konfidensintervall
bruke deltametoden til å finne tilnærmet varians for en funksjon $g(\hat{\theta})$ av en estimator
bruke deltametoden for flere uavhengige variable (feilforplantning)
evaluere den deriverte i forventningen og huske at den kvadreres

5.4Drill: ML-utledning med estimatorvurdering (sjanger G)

gjennomføre hele åtte-trinns-oppskriften for ML-utledning med estimatorvurdering på eksamenstempo
utlede ML for eksponensial, Poisson, binomisk, gamma og oppgitte «oppskriftsfordelinger»
håndtere kombinert likelihood fra to kilder, ML under bibetingelse og transcendente likelihoodligninger
sammenligne konkurrerende estimatorer med varians og MSE og velge med begrunnelse

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 5 om estimatorvurdering og maximum likelihood
utlede ML-estimatorer med maksimumskontroll og vurdere forventningsretthet og varians
håndtere kombinert likelihood, bibetingelse, asymptotisk KI og deltametoden

6Konfidensintervall

6.1Standardintervallene: μ, σ² og andel — og hva et KI faktisk betyr

velge riktig standardintervall (z eller t for μ, kjikvadrat for σ², z for andel) med riktige frihetsgrader
konstruere og tolke konfidensintervaller, og skille dem fra prediksjonsintervaller
formulere den korrekte frekvens-tolkningen og avvise de vanlige feiltolkningene
sette opp ensidige intervaller og sjekke gyldigheten av andelsintervallet

6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

utlede konfidensintervaller med pivotal-metoden i tre steg, med korrekt ulikhetshåndtering ved invertering
konstruere det eksakte kjikvadrat-intervallet for eksponensialforventningen $\beta$ med frihetsgrad $2n$
sammenligne det eksakte intervallet med det normaltilnærmede og begrunne hvorfor det eksakte foretrekkes
transformere et konfidensintervall til en avledet størrelse via en monoton funksjon

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall

løse eksamensrettede konfidensintervall-oppgaver fra hele Del 6 (z, t, kjikvadrat, andel, pivotal)
velge riktig intervall med riktige frihetsgrader og skille KI fra prediksjonsintervall
utlede det eksakte eksponensialintervallet og transformere det til avledede størrelser
formulere den korrekte tolkningen og avvise de vanlige feiltolkningene

7Hypotesetesting

7.1Testritualet: hypoteser, testobservator, p-verdi og konklusjon i ord

gjennomføre hele seksstegs-testritualet for z-test, t-test og andelstest med riktig retning og riktige frihetsgrader
oppgi testobservatorens fordeling under nullhypotesen og velge mellom forkastningsområde og p-verdi
definere og tolke p-verdien presist og avvise de vanlige feiltolkningene
definere type I- og type II-feil, signifikansnivået og dualiteten mellom test og konfidensintervall

7.2Testkatalogen: varians, eksakte tester, to utvalg, parret design og fortegnstest

velge riktig testobservator og frihetsgrader for varians-, to-utvalgs- og parrede tester
gjennomføre eksakt binomisk og Poisson-test når normaltilnærmingen ikke holder
skille parret design fra to uavhengige utvalg og analysere differansene korrekt
gjennomføre og tolke fortegnstesten som robust supplement til den parrede t-testen

7.3Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget

skille type I-feil, type II-feil og styrke, og regne styrken til en ensidig z-test ved en gitt sann parameterverdi
forklare hvordan styrken øker med utvalgsstørrelse, effektstørrelse og signifikansnivå
utlede dimensjoneringsformelen og finne utvalgsstørrelsen som gir ønsket styrke, med korrekt opprunding
overføre styrke- og dimensjoneringsregningen til andels- og Poisson-tester

7.4Drill: den store kjeden — ML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

gjennomføre hele estimering-til-test-kjeden på nye fordelinger: modelldefinisjon, ML-estimator, forventningsretthet og varians
konstruere eksakte konfidensintervaller via pivotaler og bruke samme pivotal til en eksakt hypotesetest
regne styrke og dimensjonering i kjedens siste ledd og holde den røde tråden mellom alle ledd
gjenkjenne og transformere oppskriftsfordelinger (Weibull, gamma) til kjent maskineri

7.PPrøver til del 7: Hypotesetesting

gjennomføre hele testritualet for z-, t- og andelstest under eksamenslignende tidspress
velge riktig test fra katalogen (varians, eksakt, parret, to utvalg, fortegnstest) og tolke sprikende konklusjoner
regne styrke og dimensjonering og vurdere beslutningsrisiko
føre en full estimering-til-styrke-kjede sammenhengende på en ny fordeling

8Enkel lineær regresjon

8.1Modellen og minste kvadraters metode

sette opp regresjonsmodellen og oppgi de tre feilantagelsene der de brukes
utlede LS-estimatene via normalligningene og regne dem ut fra oppgitte summer
vise at maximum likelihood gir samme estimat som minste kvadraters metode under normalfeil
finne forventning og varians til helningen og bruke variansestimatet s² = SSE/(n−2)

8.2Inferens og prediksjon i regresjon — og residualplottet sensor alltid spør om

teste og lage konfidensintervall for helningen med riktig frihetsgrad $n-2$
skille konfidensintervall for forventningen fra prediksjonsintervall for en ny observasjon
tolke residualplott og koble mønster til den antagelsen som svikter
håndtere ln-lineære og andre modeller som er lineære i parametrene, med tilbaketransformasjon

8.3NTNU-varianten: regresjon uten konstantledd og tre estimatorer for β

utlede LS-estimatoren i regresjon uten konstantledd fra råsummene
vise at de tre foreslåtte estimatorene er forventningsrette og finne variansene deres
begrunne hvorfor LS-estimatoren har minst varians og bør velges
gjennomføre test og konfidensintervall i origo-modellen med riktig frihetsgrad $n-1$

8.PPrøver til del 8: Enkel lineær regresjon

løse fullstendige regresjonsoppgaver på eksamensnivå fra oppgitte summer
skille konfidens- og prediksjonsintervall og tolke residualplott
sammenligne estimatorer i modellen uten konstantledd med riktig frihetsgrad

9Simulering og Python

9.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

utlede den inverse fordelingsfunksjonen $F^{-1}$ og bruke inversjonsmetoden til å simulere fra en oppgitt fordeling
skrive komplett, vektorisert numpy-kode med riktige idiomer for trekk, forventning og varians
lese ferdig simuleringskode og avgjøre hvilken fordeling den genererer og hva den estimerer
unngå de vanligste numpy-fellene (scale mot varians, ddof, F mot f)

9.2Monte Carlo som inferensverktøy: simulert sannsynlighet, p-verdi og styrke

bruke at en sannsynlighet er en forventet indikator til å estimere sannsynligheter og forventninger med Monte Carlo
simulere en p-verdi ved å generere data under $H_0$ og telle andelen minst så ekstreme observatorer
simulere styrken til en test ved å generere data under alternativet og telle forkastninger
kontrollere en feilforplantning (deltametoden) ved simulering med riktig bruk av ddof=1

9.PPrøver til del 9: Simulering og Python

utlede $F^{-1}$ og skrive kjørbar simuleringskode under tidspress
lese og fullføre gitt simuleringskode
simulere p-verdi og styrke med riktig fordeling og retning
kontrollere en feilforplantning med simulering mot deltametoden

10Eksamenstrening

10.1Kortsvar- og Inspera-drill: fellene, presisjonen og tolkningene

kunne svare i eksakt kortsvarformat med riktig antall desimaler, desimalkomma og benevning — uten avrundingsfeil i mellomregningen
kunne gjenkjenne og unngå de klassiske fellene: disjunkt vs. uavhengig, punktsannsynlighet for kontinuerlige variable, glemt kovariansledd, minneløshet og $n-1$-divisoren
kunne velge riktig tolkning av konfidensintervall og p-verdi i flervalgsoppgaver, og skille konfidens- fra prediksjonsintervall
kunne skille parret fra to-utvalgsdesign og lese av median, kvartilbredde og skjevhet fra boksplott og Q-Q-plott

10.2Øvingseksamen 1: Inspera-hybrid med full kjede

gjennomføre et komplett firetimers eksamenssett i Inspera-hybridformat under tidspress
koble sammen egendefinert tetthet, sannsynlighetsmaksimering og eksakt konfidensintervall i én oppgave
levere presise tallsvar i de autorettede delene og fullstendige begrunnelser i de håndrettede

10.3Øvingseksamen 2: klassisk papireksamen med fortellingsoppgaver

løse store sammenhengende fortellingsoppgaver der hvert delpunkt teller likt
kombinere sannsynlighetsregning, levetidsmodeller og parrede tester slik en papireksamen krever
skrive og tolke Python-kode som estimerer styrken til en test ved simulering

10.4Øvingseksamen 3: Inspera-hybrid med oppskriftsfordeling og deltametode

håndtere en ukjent oppskriftsfordeling med oppgitt CDF ved standardteknikkene
bruke deltametoden og bekrefte resultatet med simulering
sammenligne flere estimatorer i regresjon uten konstantledd

Tilbake til TMA4245 Statistikk

Læringsmål

Oversikt over læringsmål dekket i TMA4245 Statistikk

Kilde: Læringsmålene er utformet av Skolesaga på grunnlag av emnets eksamensoppgaver, sensorveiledninger og emnebeskrivelse. De er ikke institusjonens offisielle læringsutbyttebeskrivelser.

163 kompetansemål44 av 44 kapitler har kompetansemål

Alle kompetansemål

•kunne beskrive TMA4245-eksamenens form, hjelpemidler og poengoppsett

0.1Eksamenskartet: slik testes TMA4245

•kunne prioritere lesingen etter hvor hyppig hvert tema faktisk testes

0.1Eksamenskartet: slik testes TMA4245

•kunne gjenkjenne de tilbakevendende oppgavetypene og vite hvor i settet de dukker opp

0.1Eksamenskartet: slik testes TMA4245

•kunne sette opp et fornuftig tidsbudsjett for en firetimers eksamen

0.1Eksamenskartet: slik testes TMA4245

•sette opp utfallsrom og hendelser og regne med komplement, union og snitt

1.1Hendelser, sannsynlighet og uavhengighet

•bruke addisjonsregelen og komplementregelen aktivt uten oppslag

1.1Hendelser, sannsynlighet og uavhengighet

•skille disjunkte fra uavhengige hendelser og bruke at disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet aldri er uavhengige

1.1Hendelser, sannsynlighet og uavhengighet

•avgjøre ut fra $P(A)+P(B)$ om to hendelser kan være disjunkte

1.1Hendelser, sannsynlighet og uavhengighet

•bruke multiplikasjonsprinsippet til å telle sammensatte valg

1.2Kombinatorikk: telle riktig

•velge riktig telleoppsett ut fra om utvalget er ordnet eller uordnet og med eller uten tilbakelegging

1.2Kombinatorikk: telle riktig

•regne med binomiske og multinomiske koeffisienter og hypergeometrisk telling

1.2Kombinatorikk: telle riktig

•løse «minst k»-oppgaver med summering eller komplementteknikk

1.2Kombinatorikk: telle riktig

•regne med betinget sannsynlighet og multiplikasjonsregelen, og definere hendelsene med symboler før regning

1.3Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•bruke loven om total sannsynlighet over en partisjon

1.3Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•bruke Bayes' formel til å snu en betinging og oppdatere sannsynligheter

1.3Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•tolke diagnostiske tester (sensitivitet, spesifisitet, prevalens, PPV) og unngå prosecutor's fallacy

1.3Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•regne ut gjennomsnitt, median, kvartiler og empirisk varians med riktig divisor $n-1$

1.4Deskriptiv statistikk og grafisk tolkning

•lese beliggenhet, spredning og skjevhet ut av boksplott og histogram

1.4Deskriptiv statistikk og grafisk tolkning

•vurdere normalitet fra et Q-Q-plott ved å peke på konkrete mønstre

1.4Deskriptiv statistikk og grafisk tolkning

•skille robuste mål (median, IQR) fra mål som påvirkes av uteliggere (gjennomsnitt, standardavvik)

1.4Deskriptiv statistikk og grafisk tolkning

•løse eksamensrettede kortsvarsoppgaver fra hele Del 1 om hendelser, uavhengighet, kombinatorikk og Bayes

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighetsregningens grunnlag

•definere hendelsene med symboler før regning i Bayes-oppgaver

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighetsregningens grunnlag

•svare med riktig presisjon i Inspera-format (2 desimaler)

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighetsregningens grunnlag

•skille diskrete fra kontinuerlige variable og bruke punktsannsynlighet, tetthet og fordelingsfunksjon riktig

2.1Stokastiske variable, forventning og varians

•forklare at en kontinuerlig variabel har $P(X=x)=0$ og at tettheten ikke er en sannsynlighet

2.1Stokastiske variable, forventning og varians

•regne ut forventning og varians med regneformelen $E(X^2)-[E(X)]^2$

2.1Stokastiske variable, forventning og varians

•bruke regnereglene for $E(aX+bY)$ og $\text{Var}(aX+bY)$ med riktig behandling av kovariansleddet

2.1Stokastiske variable, forventning og varians

•velge riktig diskret fordeling ut fra en situasjonsbeskrivelse og begrunne valget

2.2Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•oppgi forutsetningene for en Poisson-prosess og skalere raten til intervallet med $\lambda t$

2.2Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•regne med binomisk, Poisson, geometrisk, negativ binomisk og hypergeometrisk fordeling

2.2Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•bruke kumulative tabeller riktig med komplement- og intervallregler

2.2Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•regne sannsynligheter, kvantiler og momenter for uniform, eksponensial, gamma og Weibull

2.3Kontinuerlige fordelinger: eksponensial, gamma, Weibull — og «oppskriftsfordelingene»

•utlede og bruke minneløsheten, og forklare at den er unik for eksponensialfordelingen

2.3Kontinuerlige fordelinger: eksponensial, gamma, Weibull — og «oppskriftsfordelingene»

•regne betingede sannsynligheter for Weibull, som ikke er minneløs

2.3Kontinuerlige fordelinger: eksponensial, gamma, Weibull — og «oppskriftsfordelingene»

•bruke standardteknikken (normering, $F$, kvantiler, momenter) på en ukjent oppgitt fordeling

2.3Kontinuerlige fordelinger: eksponensial, gamma, Weibull — og «oppskriftsfordelingene»

•normere en oppgitt tetthet og utlede en komplett stykkevis fordelingsfunksjon

2.4Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)

•regne sannsynligheter, betingede sannsynligheter og kvantiler fra fordelingsfunksjonen

2.4Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)

•regne forventning og varians ved integrasjon med fullstendig mellomregning

2.4Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)

•gjenkjenne når et momentintegral for en hale-tetthet divergerer

2.4Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)

•finne marginal- og betingede fordelinger fra en simultantabell

2.5Simultanfordelinger, kovarians og korrelasjon

•avgjøre uavhengighet ved å sjekke faktorisering i alle celler

2.5Simultanfordelinger, kovarians og korrelasjon

•regne kovarians og korrelasjon, og skalere dem for lineærkombinasjoner

2.5Simultanfordelinger, kovarians og korrelasjon

•forklare at uavhengige variable er ukorrelerte, men ikke omvendt

2.5Simultanfordelinger, kovarians og korrelasjon

•løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 2: momentregning, diskret modellvalg, egendefinert tetthet (sjanger C betyr en oppgave med oppgitt tetthet) og simultanfordelinger

2.PPrøver til del 2: Stokastiske variable og fordelinger

•lese av forventning og standardavvik fra en oppgitt normaltetthet

3.1Normalfordelingen: standardisering og tabellbruk

•standardisere med $Z=(X-\mu)/\sigma$ og bruke $\Phi$-tabellen med symmetri

3.1Normalfordelingen: standardisering og tabellbruk

•regne hale-, intervall- og betingede normalsannsynligheter

3.1Normalfordelingen: standardisering og tabellbruk

•finne kvantiler den motsatte veien fra en gitt sannsynlighet

3.1Normalfordelingen: standardisering og tabellbruk

•bruke at en lineærkombinasjon av simultant normale variable selv er normalfordelt

3.2Lineærkombinasjoner av normalfordelte variable

•regne forventning og varians med riktig kovariansledd for summer og differanser

3.2Lineærkombinasjoner av normalfordelte variable

•bruke fordelingen til gjennomsnittet $\bar{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n)$

3.2Lineærkombinasjoner av normalfordelte variable

•løse betingede sannsynligheter for lineærkombinasjoner

3.2Lineærkombinasjoner av normalfordelte variable

•formulere sentralgrenseteoremet presist med alle tre forutsetninger

3.3Sentralgrenseteoremet og normaltilnærming

•bruke normaltilnærming av binomiske andeler med eksplisitt gyldighetssjekk

3.3Sentralgrenseteoremet og normaltilnærming

•normaltilnærme Poisson-fordelingen for store rater, ev. med kontinuitetskorreksjon

3.3Sentralgrenseteoremet og normaltilnærming

•vurdere når normaltilnærmingen er upålitelig

3.3Sentralgrenseteoremet og normaltilnærming

•løse den rene normal-regneoppgaven raskt og presist etter en fast seks-trinns oppskrift

3.4Drill: normal-regneoppgaven (sjanger A)

•rotere mellom standardisering, kovarianskombinasjon, betinget hale, tetthetsavlesning og baklengs kvantil

3.4Drill: normal-regneoppgaven (sjanger A)

•svare med riktig presisjon i Inspera-format uten avrunding i mellomregningen

3.4Drill: normal-regneoppgaven (sjanger A)

•løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 3: standardisering, lineærkombinasjoner og grenseteoremer

3.PPrøver til del 3: Normalfordelingen og grenseteoremer

•bruke kovariansleddet riktig og unngå de vanligste kombinasjonsfellene

3.PPrøver til del 3: Normalfordelingen og grenseteoremer

•formulere sentralgrenseteoremet og gjøre normaltilnærming med eksplisitt gyldighetssjekk

3.PPrøver til del 3: Normalfordelingen og grenseteoremer

•svare med riktig presisjon i Inspera-format

3.PPrøver til del 3: Normalfordelingen og grenseteoremer

•finne fordelingen til en transformert variabel $Y = g(X)$ med fordelingsfunksjonsteknikken, også for avtakende $g$

4.1Transformasjonsteknikkene og ordningsvariable

•identifisere fordelingen til en sum av uavhengige variable med den momentgenererende funksjonen og entydighetsargumentet

4.1Transformasjonsteknikkene og ordningsvariable

•utlede fordelingsfunksjonen til minimum og maksimum av uavhengige variable og koble dem til serie- og parallellsystemer

4.1Transformasjonsteknikkene og ordningsvariable

•utlede med fordelingsfunksjonsteknikken at $2X/\beta$ er kjikvadratfordelt med 2 frihetsgrader

4.2Drill: eksponensialens kjikvadrat-apparat

•løfte til pivotalen $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ med riktig frihetsgrad via MGF-produktregelen

4.2Drill: eksponensialens kjikvadrat-apparat

•potens- eller log-transformere Weibull-, Gumbel- og Pareto-data til eksponensial før apparatet brukes

4.2Drill: eksponensialens kjikvadrat-apparat

•løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 4 om transformasjoner, MGF-identifikasjon og ordningsvariable

4.PPrøver til del 4: Transformasjoner og ordningsvariable

•utlede pivotalen $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ med riktig frihetsgrad på eksamensnivå

4.PPrøver til del 4: Transformasjoner og ordningsvariable

•velge riktig teknikk (CDF, MGF, min/maks) og oppgi entydighets- og ulikhetsargumentene sensor krever

4.PPrøver til del 4: Transformasjoner og ordningsvariable

•skille estimator (stokastisk) fra estimat (tall) og regne $E(\hat{\theta})$ for å avgjøre forventningsretthet

5.1Estimatorer og deres egenskaper: forventningsretthet, varians og MSE

•regne varians og MSE for en estimator og bruke $\text{MSE}=\text{Var}+[\text{bias}]^2$

5.1Estimatorer og deres egenskaper: forventningsretthet, varians og MSE

•sammenligne estimatorer etter forventningsretthet, varians og MSE og velge med begrunnelse

5.1Estimatorer og deres egenskaper: forventningsretthet, varians og MSE

•forklare hvorfor $S^2$ deler på $n-1$ og at ML-varianten med $n$ er skjev

5.1Estimatorer og deres egenskaper: forventningsretthet, varians og MSE

•sette opp likelihood og log-likelihood som produkt/sum over alle observasjoner

5.2Maximum likelihood: utledningen som alltid kommer

•utlede ML-estimatoren for eksponensial, Poisson, andel, normal og gamma med kjent form

5.2Maximum likelihood: utledningen som alltid kommer

•gjennomføre maksimumskontrollen og avgjøre om ML-estimatoren er forventningsrett

5.2Maximum likelihood: utledningen som alltid kommer

•håndtere kombinert likelihood fra to kilder, ML under bibetingelse og tilfeller uten lukket løsning

5.2Maximum likelihood: utledningen som alltid kommer

•bruke at ML-estimatorer er tilnærmet normalfordelte for stor $n$ og lage et normaltilnærmet konfidensintervall

5.3Asymptotisk normalitet og deltametoden

•bruke deltametoden til å finne tilnærmet varians for en funksjon $g(\hat{\theta})$ av en estimator

5.3Asymptotisk normalitet og deltametoden

•bruke deltametoden for flere uavhengige variable (feilforplantning)

5.3Asymptotisk normalitet og deltametoden

•evaluere den deriverte i forventningen og huske at den kvadreres

5.3Asymptotisk normalitet og deltametoden

•gjennomføre hele åtte-trinns-oppskriften for ML-utledning med estimatorvurdering på eksamenstempo

5.4Drill: ML-utledning med estimatorvurdering (sjanger G)

•utlede ML for eksponensial, Poisson, binomisk, gamma og oppgitte «oppskriftsfordelinger»

5.4Drill: ML-utledning med estimatorvurdering (sjanger G)

•håndtere kombinert likelihood fra to kilder, ML under bibetingelse og transcendente likelihoodligninger

5.4Drill: ML-utledning med estimatorvurdering (sjanger G)

•sammenligne konkurrerende estimatorer med varians og MSE og velge med begrunnelse

5.4Drill: ML-utledning med estimatorvurdering (sjanger G)

•løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 5 om estimatorvurdering og maximum likelihood

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

•utlede ML-estimatorer med maksimumskontroll og vurdere forventningsretthet og varians

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

•håndtere kombinert likelihood, bibetingelse, asymptotisk KI og deltametoden

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

•velge riktig standardintervall (z eller t for μ, kjikvadrat for σ², z for andel) med riktige frihetsgrader

6.1Standardintervallene: μ, σ² og andel — og hva et KI faktisk betyr

•konstruere og tolke konfidensintervaller, og skille dem fra prediksjonsintervaller

6.1Standardintervallene: μ, σ² og andel — og hva et KI faktisk betyr

•formulere den korrekte frekvens-tolkningen og avvise de vanlige feiltolkningene

6.1Standardintervallene: μ, σ² og andel — og hva et KI faktisk betyr

•sette opp ensidige intervaller og sjekke gyldigheten av andelsintervallet

6.1Standardintervallene: μ, σ² og andel — og hva et KI faktisk betyr

•utlede konfidensintervaller med pivotal-metoden i tre steg, med korrekt ulikhetshåndtering ved invertering

6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

•konstruere det eksakte kjikvadrat-intervallet for eksponensialforventningen $\beta$ med frihetsgrad $2n$

6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

•sammenligne det eksakte intervallet med det normaltilnærmede og begrunne hvorfor det eksakte foretrekkes

6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

•transformere et konfidensintervall til en avledet størrelse via en monoton funksjon

6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

•løse eksamensrettede konfidensintervall-oppgaver fra hele Del 6 (z, t, kjikvadrat, andel, pivotal)

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall

•velge riktig intervall med riktige frihetsgrader og skille KI fra prediksjonsintervall

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall

•utlede det eksakte eksponensialintervallet og transformere det til avledede størrelser

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall

•formulere den korrekte tolkningen og avvise de vanlige feiltolkningene

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall

•gjennomføre hele seksstegs-testritualet for z-test, t-test og andelstest med riktig retning og riktige frihetsgrader

7.1Testritualet: hypoteser, testobservator, p-verdi og konklusjon i ord

•oppgi testobservatorens fordeling under nullhypotesen og velge mellom forkastningsområde og p-verdi

7.1Testritualet: hypoteser, testobservator, p-verdi og konklusjon i ord

•definere og tolke p-verdien presist og avvise de vanlige feiltolkningene

7.1Testritualet: hypoteser, testobservator, p-verdi og konklusjon i ord

•definere type I- og type II-feil, signifikansnivået og dualiteten mellom test og konfidensintervall

7.1Testritualet: hypoteser, testobservator, p-verdi og konklusjon i ord

•velge riktig testobservator og frihetsgrader for varians-, to-utvalgs- og parrede tester

7.2Testkatalogen: varians, eksakte tester, to utvalg, parret design og fortegnstest

•gjennomføre eksakt binomisk og Poisson-test når normaltilnærmingen ikke holder

7.2Testkatalogen: varians, eksakte tester, to utvalg, parret design og fortegnstest

•skille parret design fra to uavhengige utvalg og analysere differansene korrekt

7.2Testkatalogen: varians, eksakte tester, to utvalg, parret design og fortegnstest

•gjennomføre og tolke fortegnstesten som robust supplement til den parrede t-testen

7.2Testkatalogen: varians, eksakte tester, to utvalg, parret design og fortegnstest

•skille type I-feil, type II-feil og styrke, og regne styrken til en ensidig z-test ved en gitt sann parameterverdi

7.3Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget

•forklare hvordan styrken øker med utvalgsstørrelse, effektstørrelse og signifikansnivå

7.3Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget

•utlede dimensjoneringsformelen og finne utvalgsstørrelsen som gir ønsket styrke, med korrekt opprunding

7.3Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget

•overføre styrke- og dimensjoneringsregningen til andels- og Poisson-tester

7.3Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget

•gjennomføre hele estimering-til-test-kjeden på nye fordelinger: modelldefinisjon, ML-estimator, forventningsretthet og varians

7.4Drill: den store kjeden — ML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

•konstruere eksakte konfidensintervaller via pivotaler og bruke samme pivotal til en eksakt hypotesetest

7.4Drill: den store kjeden — ML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

•regne styrke og dimensjonering i kjedens siste ledd og holde den røde tråden mellom alle ledd

7.4Drill: den store kjeden — ML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

•gjenkjenne og transformere oppskriftsfordelinger (Weibull, gamma) til kjent maskineri

7.4Drill: den store kjeden — ML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

•gjennomføre hele testritualet for z-, t- og andelstest under eksamenslignende tidspress

7.PPrøver til del 7: Hypotesetesting

•velge riktig test fra katalogen (varians, eksakt, parret, to utvalg, fortegnstest) og tolke sprikende konklusjoner

7.PPrøver til del 7: Hypotesetesting

•regne styrke og dimensjonering og vurdere beslutningsrisiko

7.PPrøver til del 7: Hypotesetesting

•føre en full estimering-til-styrke-kjede sammenhengende på en ny fordeling

7.PPrøver til del 7: Hypotesetesting

•sette opp regresjonsmodellen og oppgi de tre feilantagelsene der de brukes

8.1Modellen og minste kvadraters metode

•utlede LS-estimatene via normalligningene og regne dem ut fra oppgitte summer

8.1Modellen og minste kvadraters metode

•vise at maximum likelihood gir samme estimat som minste kvadraters metode under normalfeil

8.1Modellen og minste kvadraters metode

•finne forventning og varians til helningen og bruke variansestimatet s² = SSE/(n−2)

8.1Modellen og minste kvadraters metode

•teste og lage konfidensintervall for helningen med riktig frihetsgrad $n-2$

8.2Inferens og prediksjon i regresjon — og residualplottet sensor alltid spør om

•skille konfidensintervall for forventningen fra prediksjonsintervall for en ny observasjon

8.2Inferens og prediksjon i regresjon — og residualplottet sensor alltid spør om

•tolke residualplott og koble mønster til den antagelsen som svikter

8.2Inferens og prediksjon i regresjon — og residualplottet sensor alltid spør om

•håndtere ln-lineære og andre modeller som er lineære i parametrene, med tilbaketransformasjon

8.2Inferens og prediksjon i regresjon — og residualplottet sensor alltid spør om

•utlede LS-estimatoren i regresjon uten konstantledd fra råsummene

8.3NTNU-varianten: regresjon uten konstantledd og tre estimatorer for β

•vise at de tre foreslåtte estimatorene er forventningsrette og finne variansene deres

8.3NTNU-varianten: regresjon uten konstantledd og tre estimatorer for β

•begrunne hvorfor LS-estimatoren har minst varians og bør velges

8.3NTNU-varianten: regresjon uten konstantledd og tre estimatorer for β

•gjennomføre test og konfidensintervall i origo-modellen med riktig frihetsgrad $n-1$

8.3NTNU-varianten: regresjon uten konstantledd og tre estimatorer for β

•løse fullstendige regresjonsoppgaver på eksamensnivå fra oppgitte summer

8.PPrøver til del 8: Enkel lineær regresjon

•skille konfidens- og prediksjonsintervall og tolke residualplott

8.PPrøver til del 8: Enkel lineær regresjon

•sammenligne estimatorer i modellen uten konstantledd med riktig frihetsgrad

8.PPrøver til del 8: Enkel lineær regresjon

•utlede den inverse fordelingsfunksjonen $F^{-1}$ og bruke inversjonsmetoden til å simulere fra en oppgitt fordeling

9.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•skrive komplett, vektorisert numpy-kode med riktige idiomer for trekk, forventning og varians

9.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•lese ferdig simuleringskode og avgjøre hvilken fordeling den genererer og hva den estimerer

9.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•unngå de vanligste numpy-fellene (scale mot varians, ddof, F mot f)

9.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•bruke at en sannsynlighet er en forventet indikator til å estimere sannsynligheter og forventninger med Monte Carlo

9.2Monte Carlo som inferensverktøy: simulert sannsynlighet, p-verdi og styrke

•simulere en p-verdi ved å generere data under $H_0$ og telle andelen minst så ekstreme observatorer

9.2Monte Carlo som inferensverktøy: simulert sannsynlighet, p-verdi og styrke

•simulere styrken til en test ved å generere data under alternativet og telle forkastninger

9.2Monte Carlo som inferensverktøy: simulert sannsynlighet, p-verdi og styrke

•kontrollere en feilforplantning (deltametoden) ved simulering med riktig bruk av ddof=1

9.2Monte Carlo som inferensverktøy: simulert sannsynlighet, p-verdi og styrke

•utlede $F^{-1}$ og skrive kjørbar simuleringskode under tidspress

9.PPrøver til del 9: Simulering og Python

•lese og fullføre gitt simuleringskode

9.PPrøver til del 9: Simulering og Python

•simulere p-verdi og styrke med riktig fordeling og retning

9.PPrøver til del 9: Simulering og Python

•kontrollere en feilforplantning med simulering mot deltametoden

9.PPrøver til del 9: Simulering og Python

•kunne svare i eksakt kortsvarformat med riktig antall desimaler, desimalkomma og benevning — uten avrundingsfeil i mellomregningen

10.1Kortsvar- og Inspera-drill: fellene, presisjonen og tolkningene

•kunne gjenkjenne og unngå de klassiske fellene: disjunkt vs. uavhengig, punktsannsynlighet for kontinuerlige variable, glemt kovariansledd, minneløshet og $n-1$-divisoren

10.1Kortsvar- og Inspera-drill: fellene, presisjonen og tolkningene

•kunne velge riktig tolkning av konfidensintervall og p-verdi i flervalgsoppgaver, og skille konfidens- fra prediksjonsintervall

10.1Kortsvar- og Inspera-drill: fellene, presisjonen og tolkningene

•kunne skille parret fra to-utvalgsdesign og lese av median, kvartilbredde og skjevhet fra boksplott og Q-Q-plott

10.1Kortsvar- og Inspera-drill: fellene, presisjonen og tolkningene

•gjennomføre et komplett firetimers eksamenssett i Inspera-hybridformat under tidspress

10.2Øvingseksamen 1: Inspera-hybrid med full kjede

•koble sammen egendefinert tetthet, sannsynlighetsmaksimering og eksakt konfidensintervall i én oppgave

10.2Øvingseksamen 1: Inspera-hybrid med full kjede

•levere presise tallsvar i de autorettede delene og fullstendige begrunnelser i de håndrettede

10.2Øvingseksamen 1: Inspera-hybrid med full kjede

•løse store sammenhengende fortellingsoppgaver der hvert delpunkt teller likt

10.3Øvingseksamen 2: klassisk papireksamen med fortellingsoppgaver

•kombinere sannsynlighetsregning, levetidsmodeller og parrede tester slik en papireksamen krever

10.3Øvingseksamen 2: klassisk papireksamen med fortellingsoppgaver

•skrive og tolke Python-kode som estimerer styrken til en test ved simulering

10.3Øvingseksamen 2: klassisk papireksamen med fortellingsoppgaver

•håndtere en ukjent oppskriftsfordeling med oppgitt CDF ved standardteknikkene

10.4Øvingseksamen 3: Inspera-hybrid med oppskriftsfordeling og deltametode

•bruke deltametoden og bekrefte resultatet med simulering

10.4Øvingseksamen 3: Inspera-hybrid med oppskriftsfordeling og deltametode

•sammenligne flere estimatorer i regresjon uten konstantledd

10.4Øvingseksamen 3: Inspera-hybrid med oppskriftsfordeling og deltametode

Kapitler med kompetansemål

0Eksamenskart

0.1Eksamenskartet: slik testes TMA4245

kunne beskrive TMA4245-eksamenens form, hjelpemidler og poengoppsett
kunne prioritere lesingen etter hvor hyppig hvert tema faktisk testes
kunne gjenkjenne de tilbakevendende oppgavetypene og vite hvor i settet de dukker opp
kunne sette opp et fornuftig tidsbudsjett for en firetimers eksamen

1Sannsynlighetsregningens grunnlag

1.1Hendelser, sannsynlighet og uavhengighet

sette opp utfallsrom og hendelser og regne med komplement, union og snitt
bruke addisjonsregelen og komplementregelen aktivt uten oppslag
skille disjunkte fra uavhengige hendelser og bruke at disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet aldri er uavhengige
avgjøre ut fra $P(A)+P(B)$ om to hendelser kan være disjunkte

1.2Kombinatorikk: telle riktig

bruke multiplikasjonsprinsippet til å telle sammensatte valg
velge riktig telleoppsett ut fra om utvalget er ordnet eller uordnet og med eller uten tilbakelegging
regne med binomiske og multinomiske koeffisienter og hypergeometrisk telling
løse «minst k»-oppgaver med summering eller komplementteknikk

1.3Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

regne med betinget sannsynlighet og multiplikasjonsregelen, og definere hendelsene med symboler før regning
bruke loven om total sannsynlighet over en partisjon
bruke Bayes' formel til å snu en betinging og oppdatere sannsynligheter
tolke diagnostiske tester (sensitivitet, spesifisitet, prevalens, PPV) og unngå prosecutor's fallacy

1.4Deskriptiv statistikk og grafisk tolkning

regne ut gjennomsnitt, median, kvartiler og empirisk varians med riktig divisor $n-1$
lese beliggenhet, spredning og skjevhet ut av boksplott og histogram
vurdere normalitet fra et Q-Q-plott ved å peke på konkrete mønstre
skille robuste mål (median, IQR) fra mål som påvirkes av uteliggere (gjennomsnitt, standardavvik)

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighetsregningens grunnlag

løse eksamensrettede kortsvarsoppgaver fra hele Del 1 om hendelser, uavhengighet, kombinatorikk og Bayes
definere hendelsene med symboler før regning i Bayes-oppgaver
svare med riktig presisjon i Inspera-format (2 desimaler)

2Stokastiske variable og fordelinger

2.1Stokastiske variable, forventning og varians

skille diskrete fra kontinuerlige variable og bruke punktsannsynlighet, tetthet og fordelingsfunksjon riktig
forklare at en kontinuerlig variabel har $P(X=x)=0$ og at tettheten ikke er en sannsynlighet
regne ut forventning og varians med regneformelen $E(X^2)-[E(X)]^2$
bruke regnereglene for $E(aX+bY)$ og $\text{Var}(aX+bY)$ med riktig behandling av kovariansleddet

2.2Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

velge riktig diskret fordeling ut fra en situasjonsbeskrivelse og begrunne valget
oppgi forutsetningene for en Poisson-prosess og skalere raten til intervallet med $\lambda t$
regne med binomisk, Poisson, geometrisk, negativ binomisk og hypergeometrisk fordeling
bruke kumulative tabeller riktig med komplement- og intervallregler

2.3Kontinuerlige fordelinger: eksponensial, gamma, Weibull — og «oppskriftsfordelingene»

regne sannsynligheter, kvantiler og momenter for uniform, eksponensial, gamma og Weibull
utlede og bruke minneløsheten, og forklare at den er unik for eksponensialfordelingen
regne betingede sannsynligheter for Weibull, som ikke er minneløs
bruke standardteknikken (normering, $F$, kvantiler, momenter) på en ukjent oppgitt fordeling

2.4Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)

normere en oppgitt tetthet og utlede en komplett stykkevis fordelingsfunksjon
regne sannsynligheter, betingede sannsynligheter og kvantiler fra fordelingsfunksjonen
regne forventning og varians ved integrasjon med fullstendig mellomregning
gjenkjenne når et momentintegral for en hale-tetthet divergerer

2.5Simultanfordelinger, kovarians og korrelasjon

finne marginal- og betingede fordelinger fra en simultantabell
avgjøre uavhengighet ved å sjekke faktorisering i alle celler
regne kovarians og korrelasjon, og skalere dem for lineærkombinasjoner
forklare at uavhengige variable er ukorrelerte, men ikke omvendt

2.PPrøver til del 2: Stokastiske variable og fordelinger

løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 2: momentregning, diskret modellvalg, egendefinert tetthet (sjanger C betyr en oppgave med oppgitt tetthet) og simultanfordelinger

3Normalfordelingen og grenseteoremer

3.1Normalfordelingen: standardisering og tabellbruk

lese av forventning og standardavvik fra en oppgitt normaltetthet
standardisere med $Z=(X-\mu)/\sigma$ og bruke $\Phi$-tabellen med symmetri
regne hale-, intervall- og betingede normalsannsynligheter
finne kvantiler den motsatte veien fra en gitt sannsynlighet

3.2Lineærkombinasjoner av normalfordelte variable

bruke at en lineærkombinasjon av simultant normale variable selv er normalfordelt
regne forventning og varians med riktig kovariansledd for summer og differanser
bruke fordelingen til gjennomsnittet $\bar{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n)$
løse betingede sannsynligheter for lineærkombinasjoner

3.3Sentralgrenseteoremet og normaltilnærming

formulere sentralgrenseteoremet presist med alle tre forutsetninger
bruke normaltilnærming av binomiske andeler med eksplisitt gyldighetssjekk
normaltilnærme Poisson-fordelingen for store rater, ev. med kontinuitetskorreksjon
vurdere når normaltilnærmingen er upålitelig

3.4Drill: normal-regneoppgaven (sjanger A)

løse den rene normal-regneoppgaven raskt og presist etter en fast seks-trinns oppskrift
rotere mellom standardisering, kovarianskombinasjon, betinget hale, tetthetsavlesning og baklengs kvantil
svare med riktig presisjon i Inspera-format uten avrunding i mellomregningen

3.PPrøver til del 3: Normalfordelingen og grenseteoremer

løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 3: standardisering, lineærkombinasjoner og grenseteoremer
bruke kovariansleddet riktig og unngå de vanligste kombinasjonsfellene
formulere sentralgrenseteoremet og gjøre normaltilnærming med eksplisitt gyldighetssjekk
svare med riktig presisjon i Inspera-format

4Transformasjoner og ordningsvariable

4.1Transformasjonsteknikkene og ordningsvariable

finne fordelingen til en transformert variabel $Y = g(X)$ med fordelingsfunksjonsteknikken, også for avtakende $g$
identifisere fordelingen til en sum av uavhengige variable med den momentgenererende funksjonen og entydighetsargumentet
utlede fordelingsfunksjonen til minimum og maksimum av uavhengige variable og koble dem til serie- og parallellsystemer

4.2Drill: eksponensialens kjikvadrat-apparat

utlede med fordelingsfunksjonsteknikken at $2X/\beta$ er kjikvadratfordelt med 2 frihetsgrader
løfte til pivotalen $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ med riktig frihetsgrad via MGF-produktregelen
potens- eller log-transformere Weibull-, Gumbel- og Pareto-data til eksponensial før apparatet brukes

4.PPrøver til del 4: Transformasjoner og ordningsvariable

løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 4 om transformasjoner, MGF-identifikasjon og ordningsvariable
utlede pivotalen $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ med riktig frihetsgrad på eksamensnivå
velge riktig teknikk (CDF, MGF, min/maks) og oppgi entydighets- og ulikhetsargumentene sensor krever

5Punktestimering

5.1Estimatorer og deres egenskaper: forventningsretthet, varians og MSE

skille estimator (stokastisk) fra estimat (tall) og regne $E(\hat{\theta})$ for å avgjøre forventningsretthet
regne varians og MSE for en estimator og bruke $\text{MSE}=\text{Var}+[\text{bias}]^2$
sammenligne estimatorer etter forventningsretthet, varians og MSE og velge med begrunnelse
forklare hvorfor $S^2$ deler på $n-1$ og at ML-varianten med $n$ er skjev

5.2Maximum likelihood: utledningen som alltid kommer

sette opp likelihood og log-likelihood som produkt/sum over alle observasjoner
utlede ML-estimatoren for eksponensial, Poisson, andel, normal og gamma med kjent form
gjennomføre maksimumskontrollen og avgjøre om ML-estimatoren er forventningsrett
håndtere kombinert likelihood fra to kilder, ML under bibetingelse og tilfeller uten lukket løsning

5.3Asymptotisk normalitet og deltametoden

bruke at ML-estimatorer er tilnærmet normalfordelte for stor $n$ og lage et normaltilnærmet konfidensintervall
bruke deltametoden til å finne tilnærmet varians for en funksjon $g(\hat{\theta})$ av en estimator
bruke deltametoden for flere uavhengige variable (feilforplantning)
evaluere den deriverte i forventningen og huske at den kvadreres

5.4Drill: ML-utledning med estimatorvurdering (sjanger G)

gjennomføre hele åtte-trinns-oppskriften for ML-utledning med estimatorvurdering på eksamenstempo
utlede ML for eksponensial, Poisson, binomisk, gamma og oppgitte «oppskriftsfordelinger»
håndtere kombinert likelihood fra to kilder, ML under bibetingelse og transcendente likelihoodligninger
sammenligne konkurrerende estimatorer med varians og MSE og velge med begrunnelse

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

løse eksamensrettede oppgaver fra hele Del 5 om estimatorvurdering og maximum likelihood
utlede ML-estimatorer med maksimumskontroll og vurdere forventningsretthet og varians
håndtere kombinert likelihood, bibetingelse, asymptotisk KI og deltametoden

6Konfidensintervall

6.1Standardintervallene: μ, σ² og andel — og hva et KI faktisk betyr

velge riktig standardintervall (z eller t for μ, kjikvadrat for σ², z for andel) med riktige frihetsgrader
konstruere og tolke konfidensintervaller, og skille dem fra prediksjonsintervaller
formulere den korrekte frekvens-tolkningen og avvise de vanlige feiltolkningene
sette opp ensidige intervaller og sjekke gyldigheten av andelsintervallet

6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

utlede konfidensintervaller med pivotal-metoden i tre steg, med korrekt ulikhetshåndtering ved invertering
konstruere det eksakte kjikvadrat-intervallet for eksponensialforventningen $\beta$ med frihetsgrad $2n$
sammenligne det eksakte intervallet med det normaltilnærmede og begrunne hvorfor det eksakte foretrekkes
transformere et konfidensintervall til en avledet størrelse via en monoton funksjon

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall

løse eksamensrettede konfidensintervall-oppgaver fra hele Del 6 (z, t, kjikvadrat, andel, pivotal)
velge riktig intervall med riktige frihetsgrader og skille KI fra prediksjonsintervall
utlede det eksakte eksponensialintervallet og transformere det til avledede størrelser
formulere den korrekte tolkningen og avvise de vanlige feiltolkningene

7Hypotesetesting

7.1Testritualet: hypoteser, testobservator, p-verdi og konklusjon i ord

gjennomføre hele seksstegs-testritualet for z-test, t-test og andelstest med riktig retning og riktige frihetsgrader
oppgi testobservatorens fordeling under nullhypotesen og velge mellom forkastningsområde og p-verdi
definere og tolke p-verdien presist og avvise de vanlige feiltolkningene
definere type I- og type II-feil, signifikansnivået og dualiteten mellom test og konfidensintervall

7.2Testkatalogen: varians, eksakte tester, to utvalg, parret design og fortegnstest

velge riktig testobservator og frihetsgrader for varians-, to-utvalgs- og parrede tester
gjennomføre eksakt binomisk og Poisson-test når normaltilnærmingen ikke holder
skille parret design fra to uavhengige utvalg og analysere differansene korrekt
gjennomføre og tolke fortegnstesten som robust supplement til den parrede t-testen

7.3Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget

skille type I-feil, type II-feil og styrke, og regne styrken til en ensidig z-test ved en gitt sann parameterverdi
forklare hvordan styrken øker med utvalgsstørrelse, effektstørrelse og signifikansnivå
utlede dimensjoneringsformelen og finne utvalgsstørrelsen som gir ønsket styrke, med korrekt opprunding
overføre styrke- og dimensjoneringsregningen til andels- og Poisson-tester

7.4Drill: den store kjeden — ML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

gjennomføre hele estimering-til-test-kjeden på nye fordelinger: modelldefinisjon, ML-estimator, forventningsretthet og varians
konstruere eksakte konfidensintervaller via pivotaler og bruke samme pivotal til en eksakt hypotesetest
regne styrke og dimensjonering i kjedens siste ledd og holde den røde tråden mellom alle ledd
gjenkjenne og transformere oppskriftsfordelinger (Weibull, gamma) til kjent maskineri

7.PPrøver til del 7: Hypotesetesting

gjennomføre hele testritualet for z-, t- og andelstest under eksamenslignende tidspress
velge riktig test fra katalogen (varians, eksakt, parret, to utvalg, fortegnstest) og tolke sprikende konklusjoner
regne styrke og dimensjonering og vurdere beslutningsrisiko
føre en full estimering-til-styrke-kjede sammenhengende på en ny fordeling

8Enkel lineær regresjon

8.1Modellen og minste kvadraters metode

sette opp regresjonsmodellen og oppgi de tre feilantagelsene der de brukes
utlede LS-estimatene via normalligningene og regne dem ut fra oppgitte summer
vise at maximum likelihood gir samme estimat som minste kvadraters metode under normalfeil
finne forventning og varians til helningen og bruke variansestimatet s² = SSE/(n−2)

8.2Inferens og prediksjon i regresjon — og residualplottet sensor alltid spør om

teste og lage konfidensintervall for helningen med riktig frihetsgrad $n-2$
skille konfidensintervall for forventningen fra prediksjonsintervall for en ny observasjon
tolke residualplott og koble mønster til den antagelsen som svikter
håndtere ln-lineære og andre modeller som er lineære i parametrene, med tilbaketransformasjon

8.3NTNU-varianten: regresjon uten konstantledd og tre estimatorer for β

utlede LS-estimatoren i regresjon uten konstantledd fra råsummene
vise at de tre foreslåtte estimatorene er forventningsrette og finne variansene deres
begrunne hvorfor LS-estimatoren har minst varians og bør velges
gjennomføre test og konfidensintervall i origo-modellen med riktig frihetsgrad $n-1$

8.PPrøver til del 8: Enkel lineær regresjon

løse fullstendige regresjonsoppgaver på eksamensnivå fra oppgitte summer
skille konfidens- og prediksjonsintervall og tolke residualplott
sammenligne estimatorer i modellen uten konstantledd med riktig frihetsgrad

9Simulering og Python

9.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

utlede den inverse fordelingsfunksjonen $F^{-1}$ og bruke inversjonsmetoden til å simulere fra en oppgitt fordeling
skrive komplett, vektorisert numpy-kode med riktige idiomer for trekk, forventning og varians
lese ferdig simuleringskode og avgjøre hvilken fordeling den genererer og hva den estimerer
unngå de vanligste numpy-fellene (scale mot varians, ddof, F mot f)

9.2Monte Carlo som inferensverktøy: simulert sannsynlighet, p-verdi og styrke

bruke at en sannsynlighet er en forventet indikator til å estimere sannsynligheter og forventninger med Monte Carlo
simulere en p-verdi ved å generere data under $H_0$ og telle andelen minst så ekstreme observatorer
simulere styrken til en test ved å generere data under alternativet og telle forkastninger
kontrollere en feilforplantning (deltametoden) ved simulering med riktig bruk av ddof=1

9.PPrøver til del 9: Simulering og Python

utlede $F^{-1}$ og skrive kjørbar simuleringskode under tidspress
lese og fullføre gitt simuleringskode
simulere p-verdi og styrke med riktig fordeling og retning
kontrollere en feilforplantning med simulering mot deltametoden

10Eksamenstrening

10.1Kortsvar- og Inspera-drill: fellene, presisjonen og tolkningene

kunne svare i eksakt kortsvarformat med riktig antall desimaler, desimalkomma og benevning — uten avrundingsfeil i mellomregningen
kunne gjenkjenne og unngå de klassiske fellene: disjunkt vs. uavhengig, punktsannsynlighet for kontinuerlige variable, glemt kovariansledd, minneløshet og $n-1$-divisoren
kunne velge riktig tolkning av konfidensintervall og p-verdi i flervalgsoppgaver, og skille konfidens- fra prediksjonsintervall
kunne skille parret fra to-utvalgsdesign og lese av median, kvartilbredde og skjevhet fra boksplott og Q-Q-plott

10.2Øvingseksamen 1: Inspera-hybrid med full kjede

gjennomføre et komplett firetimers eksamenssett i Inspera-hybridformat under tidspress
koble sammen egendefinert tetthet, sannsynlighetsmaksimering og eksakt konfidensintervall i én oppgave
levere presise tallsvar i de autorettede delene og fullstendige begrunnelser i de håndrettede

10.3Øvingseksamen 2: klassisk papireksamen med fortellingsoppgaver

løse store sammenhengende fortellingsoppgaver der hvert delpunkt teller likt
kombinere sannsynlighetsregning, levetidsmodeller og parrede tester slik en papireksamen krever
skrive og tolke Python-kode som estimerer styrken til en test ved simulering

10.4Øvingseksamen 3: Inspera-hybrid med oppskriftsfordeling og deltametode

håndtere en ukjent oppskriftsfordeling med oppgitt CDF ved standardteknikkene
bruke deltametoden og bekrefte resultatet med simulering
sammenligne flere estimatorer i regresjon uten konstantledd

Tilbake til TMA4245 Statistikk